Částice v bublinové komoře

Minule jsme si řekli, že k popisu zdánlivého kolapsu lze použít operátor hustoty a vystopování přes ty stupně volnosti, které nadále nemáme pod kontrolou a nebudeme na nich již nic měřit. V tomto příspěvku bych rád ukázal pěkný popis částice v bublinové komoře, která do ní vletí podél osy z jako široký vlnový balík (jehož šířku budeme popisovat jen podél jedné osy x kolmé na směr šíření) a teprve srážky s ostatními částicemi tento vlnový balík zúží. Odpovězme tedy na otázku, proč, i když částice ve vakuu bude popsaná velmi širokou vlnovou funkcí, uvidíme v bublinové komoře jen úzké trubice excitovaných atomů. Soustředíme se jenom na jednu srážku s molekulou z bublinové komory, ke které dojde v čase t₀ a následně budeme sledovat další časový vývoj původní (měřené) částice bez srážek. Spočítáme, jak se vyvíjí celková vlnová funkce dvou částic Ψ(x,X,t), kde malými písmeny budeme značit polohu x nebo hybnost p měřené částice a velkými písmeny X, P ty samé veličiny „měřící“ částice plynu. Jelikož k popisu podsystému nemůžeme použít vlnovou funkci, sestavíme „spojitý“ operátor hustoty Ψ(x',X',t)Ψ(x,X,t) a následně integrací Ψ(x',Z,t)Ψ(x,Z,t) přes Z spočteme redukovaný operátor hustoty (RDO - z anglického reduced density operator) ψ(x',t)ψ(x,t), který budeme diskutovat na obrázcích. Pojďme se nyní podívat na několik technických detailů. (Pokud vás problém zajímá jen kvantitativně, přeskočte až k diskusi.)

Technická část

Hamiltonián měřené částice je volný Hamiltonián H_S. Modelujeme jen jednu srážku s další částicí zanedbatelné hmotnosti a pro zjednodušení nebudeme zkoumat její vnitřní dynamiku, její Hamiltonián H_A tedy bude nulový. Zajímavá je interakční část H_SA, která je lokální v poloze (odtud součin xX) a v čase (odtud Diracova δ-funkce).



Na začátku budou měřená i měřící částice realizovány gaussovským vlnovým balíkem. Z technických důvodů budeme s měřící částicí pracovat v hybnostní reprezentaci a s měřenou v polohové. Jejich celková vlnová funkce v čase 0 bude



Popisovat tedy tento systém částic začínáme právě v okamžiku srážky. Časový vývoj Ψ(t) spočítáme jako



S výhodou přitom použijeme, že



neboť jde o operátor posunutí hybnosti, jak se snadno přesvědčíme, pokud si tento operátor napíšeme v p-reprezentaci. Interakční Hamiltonián H_SA má tedy tu zajímavou vlastnost, že když podle něj sestrojíme evoluční operátor, chová se jako operátor posunutí - nahrazuje hybnosti za posunuté hybnosti - a tedy se s ním velice jednoduše počítá. S gaussovskými balíky se zachází rovněž příjemně, protože místo řešení diferenciální rovnice lze snadno přejít do p-reprezentace, kde stačí vlnovou funkci vynásobit funkcí p. Konkrétní výpočty jsou již jen technikalita. Tvary získaných operátorů hustoty jsou složité, proto uvedu jen operátor hustoty těsně před měřením



a těsně po měření



N a N' jsou normalizační konstanty.

Diskuse

Nyní se již zaměřme na diskusi výsledků. Do grafů vynáším RDO měřené částice, který závisí na souřadnicích x a x'. Jednu z os jsem na grafech invertoval (čili vynáším -x místo x), protože pak opticky grafy mají stejný význam, jako matice hustoty, které jsme diskutovali v minulém příspěvku. Na diagonále odečítáme hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě, tedy to, čemu běžně odpovídá čtverec vlnové funkce. Mimo diagonálu vidíme koherence, které odlišují statistický soubor mnoha vlnových balíků od superpozice.

Na obrázku 1 vidíme RDO vlnového balíku měřené částice těsně před interakcí s měřící částicí. Vidíme, že vlnový balík je kruhový - koherence mimo diagonálu nesou informaci o tom, že jde o čistý kvantový stav, nikoliv o statistickou směs úzkých vlnových balíků s různými pravděpodobnostmi nalezení. Těsně po srážce s měřící částicí se vlnový balík zúží v mimodiagonálním směru. Diagonála se srážkou nezmění - v obou případech nese informaci o pravděpodobnosti „kdybychom se podívali“. Měření se ale projeví ztrátou koherencí mimo diagonálu. Nyní již nejde o široký vlnový balík, ale o mnoho úzkých vlnových balíků rozložených podél diagonály, protože částice prošla zdánlivým kolapsem vlnové funkce. Při skutečném měření bychom viděli jenom jeden z nich - tento diagram popisuje to, co uvidíme po mnoha opakovaných měřeních na souboru.

Obr. 1: Redukovaný operátor hustoty gaussovského balíku měřené částice před srážkou. Koherence mimo diagonálu vypovídají o tom, že jde o čistý kvantový stav v superpozici poloh a ne o statistickou směs.

Obr. 2: RDO měřené částice těsně po srážce. Rozložení pravděpodobností na diagonále se nemění, ale ztráta koherencí vypovídá o rozpadu vlnového balíku na soubor úzkých vlnových balíků podél diagonály.

Abychom se přesvědčili, že po srážce skutečně vidíme směs mnoha malých vlnových balíků v různých místech a ne jeden vlnový balík, sledujme rychlost rozplývání výsledného RDO. Je známo, že každý vlnový balík (v x-reprezentaci) se pomalu rozplývá. To je důsledkem principu neurčitosti - čím přesněji známe polohu (čím je vlnový balík užší), tím méně víme o jeho hybnosti. A jelikož vlnový balík obsahuje i rychlé i pomalé složky, rozplývá se. Tím více, čím je užší. Na obrázku 3 vidíme jeden z úzkých vlnových balíků, jaký bychom získali měřením ze souboru z obrázku 2. Srovnejte, jak se rozplyne původní neměřený balík (obr. 4) a jak by se rozplynul tento úzký vlnový balík za stejný čas (obr. 5). Když se podíváme na obr. 6, vidíme, jak se za stejný čas rozplyne RDO měřené částice po srážce. Jasně vidíme, že nová rychlost rozpínání dobře odpovídá rozšiřování úzkého balíku a ne původního širokého balíku (sledujme diagonálu). Z toho můžeme také usoudit, že obr. 2 skutečně ukazuje statistickou směs mnoha úzkých vlnových balíků a ne jeden balík široký. Aneb právě jsme ukázali, jak se srážkami s ostatními molekulami plynu dochází ke kolapsu na vlnové funkci měřené částice - skokovému přechodu z široké vlnové funkce na vlnovou funkci úzkou - a že se na tento kolaps můžeme dívat jen jako na kolaps zdánlivý, protože celková vlnová funkce obou částic žádným kolapsem neprochází. Toto je také východiském pro Everettovu interpretaci mnoha světů, která přidává vysvětlení, proč ze statistického souboru, který je na konci procesu dekoherence, vidíme jen jeden náhodný výsledek. Ale o ní až někdy příště.

Obr. 3: Směsí takto širokých vlnových balíků je systém těsně po srážce s měřící částicí.

Obr. 4: Původní vlnový balík bez srážky by se po jistém čase T rozšířil takto. 

Obr. 5: Úzký vlnový balík z obr. 3 se za stejný čas rozšíří více.

Obr. 6: A takto se za stejný čas po srážce s měřící částicí rozšíří soubor z obr. 2 - po diagonále prakticky stejně, jako úzký balík z obr. 3. To dokladuje, že po srážce zbude skutečně směs mnoha úzkých vlnových balíků, do kterých vlnová funkce po srážce zkolabuje, a ne původní široký vlnový balík.