Při nedávném absolvování přednášky Interpretace kvantové mechaniky doc. Pavla Krtouše jsem narazil na velice jednoduchý a silný formalismus, který umožňuje tyto věci počítat a rád bych se o něj podělil. Co bych chtěl ukázat je zdánlivý kolaps vlnové funkce na případě částice, která prolétá bublinovou komorou a její následná lokalizace. Nejprve však musím udělat krátký teoretický úvod, který však vydá na celý článek.
K čemu je operátor hustoty
Klíčem k pochopení teorie dekoherence je fakt, že pro popis podsystému interagujícího i se svým okolím, nestačí vlnová funkce, ale potřebujeme použít tzv. operátor hustoty. Jde o ekvivalentní popis, který ale kromě kvantových stavů systému umí navíc popsat i statistické soubory systémů. Kvantová teorie nám říká, že pokud lze částici přivést do stavu spin nahoru, ψ(↑), nebo spin dolů, ψ(↓), můžeme na ní vytvořit i libovolnou lineární kombinaci těchto stavů Aψ(↑)+Bψ(↓), kde A a B jsou komplexní čísla. Matice/operátor hustoty ale umí víc než to. Je totiž velký rozdíl, jestli mám statistický soubor, kde všechny prvky jsou ve stavu ψ(↑)+ψ(↓) a statistický soubor, kdy je (náhodná) polovina atomů ve stavu ψ(↑) a druhá polovina ve stavu ψ(↓). Když provedu měření, tak v obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti procentech spin dolů. Případ souboru stavů ψ(↑)+ψ(↓), tzv. kvantově koherentní případ, ale rozeznám, když pootočím měřící přístroj o 90°. Najednou naměřím vždy stav ψ(→), nikdy stav ψ(←), zatímco u statistické směsi naměřím opět jenom poměr 50:50. V řeči operátoru hustoty je diskutovaný koherentní soubor popsán maticí![\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D,.gif)
zatímco statistická směs maticí
![\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{array}\right].](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%200%5C%5C0%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D..gif)
Diagonální elementy matice hustoty udávají pravděpodobnosti měření. V obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti spin dolů - na diagonále jsou poloviny. Co odlišuje oba případy jsou mimodiagonální elementy, nazývané někdy koherence, které říkají, že pokud matici hustoty převedu do jiné báze podobnostní transformací (otočím měřící přístroj), diagonální elementy se změní. V tomto případě třeba můžu přejít do báze vlevo-vpravo, kde budu mít jistotu, jaký výsledek naměřím:
![\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right]_{\leftarrow/\rightarrow}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]_{\uparrow/\downarrow}\cdot\left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%20%26%200%5C%5C0%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D_%7B%5Cleftarrow/%5Crightarrow%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D-1%20%26%201%5C%5C1%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D_%7B%5Cuparrow/%5Cdownarrow%7D%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D-1%20%26%201%5C%5C1%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5E%7B-1%7D.gif)
Bez koherencí mohu ale přístrojem točit jak chci a výsledek se nezmění - pořád uvidím jen statistickou směs:
![\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]_{\leftarrow/\rightarrow}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]_{\uparrow/\downarrow}\cdot\left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%200%5C%5C0%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D_%7B%5Cleftarrow/%5Crightarrow%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D-1%20%26%201%5C%5C1%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%200%5C%5C0%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D_%7B%5Cuparrow/%5Cdownarrow%7D%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D-1%20%26%201%5C%5C1%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5E%7B-1%7D.gif)
Kolaps vlnové funkce, o který se zajímáme, je právě přechod mezi „čistou vlnovou funkcí“ popsanou první maticí a statistickým souborem popsaným druhou maticí. Jakmile koherence zmizí, zbyde nám z původní vlnové funkce směs „změřených“ spinů ve směrech nahoru a dolů.
A k čemu vlastně statistické směsi?
Proč se bavím o statistických souborech a jejich popisu, když mne zajímá částice jenom jedna? Chci přeci popsat lokalizaci v jednom experimentu, nikoliv statistickou směs! Jenže operátor hustoty nepopisuje jen směsi mnoha různých částic, ale také směsi ve smyslu očekávaného výsledku. Jakmile proběhlo měření na částici, místo vlnového balíku najednou dostaneme v popisu „statistický soubor“ všech potenciálních výsledků s různou vahou. Nakonec sice částici najdeme jen v jenom stavu, ale soubor očekávaných výsledků a jejich pravděpodobností můžeme popsat dopředu operátorem hustoty. I pro jednu částici má smysl napsat matici hustoty pro statistickou směs - říká to, že částici „po kolapsu“ najdeme s danými pravděpodobnostmi v různých stavech a vlnová funkce už se rozpadla.Nyní bych chtěl ukázat jednu skutečně zajímavou věc - jakmile pochopíte tento fakt, pochopili jste jádro teorie dekoherence. Pokud mám větší systém a nezajímám se o některé jeho části, nemohu vždy na popis jeho podčástí použít vlnovou funkci. Předveďme si to na systému dvou spinů. Řekněme, že jsou oba ve stavu „doprava“, který už známe, tedy celková vlnová funkce tohoto stavu je ψ1(→)ψ2(→). Napíšeme jeho matici hustoty (v bázi ψ1(↑)ψ2(↑), ψ1(↓)ψ2(↑), ψ1(↑)ψ2(↓), ψ1(↓)ψ2(↓) ) jako
![\left[\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right)\end{array}\right]\;.](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%26%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5C%5C%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%26%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%3B..gif)
Jde o obyčejnou matici 4x4, kulatými závorkami jsem jenom naznačil podmatice, které se týkají prvního spinu. Zatímco mezi stavy prvního spinu se pohybujeme přechody uvnitř malých matic, mezi stavy druhého spinu se pohybujeme přechody mezi velkými maticemi. Pokud se o druhý spin nezajímáme, můžeme přejít k tzv. redukované matici hustoty - uděláme stopu přes všechny stavy druhého spinu*. V tomto případě to odpovídá sečtení horní levé a dolní pravé podmatice, čímž dostáváme matici
![\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%3B..gif)
Tato matice popisuje stav prvního spinu, pokud se vůbec nedíváme na ten druhý. Ano! To je přesně matice stavu ψ(→), který už známe. Tím jsme se vlastně přesvědčili, že když se ve stavu ψ1(→)ψ2(→) nebudeme starat o druhý spin, dostaneme stav ψ1(→); spiny jsou nezávislé jeden na druhém. V tomto případě první spin vlnovou funkcí zjevně popsat jde.
Teď si ale představme, že se spiny dostanou k sobě, chvíli spolu interagují a pak se vzdálí. Mohly se přitom dostat například do stavu
ψ1(↓)ψ2(↑)+ψ1(↑)ψ2(↓),
který popíšeme maticí
![\left[\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc}0 & 0\\\frac{1}{2} & 0\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2}\\0 & 0\end{array}\right) & \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0\\0 & 0\end{array}\right)\end{array}\right]\;.](http://www.texify.com/img/%5C%21%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%20%26%200%5C%5C0%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%26%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%20%26%200%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5C%5C%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C0%20%26%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%20%26%20%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%26%200%5C%5C0%20%26%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%3B..gif)
Tento stav je takzvaně entanglovaný - pokud změříme spin první částice nahoru, automaticky okamžitě a nehledě na vzdálenost, která částice dělí víme, že druhý spin bude v opačném stavu. Pokud opět vystopujeme přes druhý spin sečtením submatic na diagonále, dostaneme - ejhle - statistickou směs!
Z toho plyne, že ačkoliv celková vlnová funkce obou spinů žádným kolapsem neprošla, pokud se budeme dívat jen na jeden ze spinů, uvidíme chování odpovídající statistickému souboru spinů, jaké by byly po pravém kolapsu jejich vlnové funkce indukovaném měřením! Můžeme se na to dívat i tak, že ze stav druhého spinu určuje stav spinu prvního a odnáší tak o něm informaci, čímž první spin „změřil“. Druhé důležité pozorování je, že pokud spin interagoval s něčím dalším, nemohu obecně tento spin již popisovat vlnovou funkcí samostatně (takovou statistickou směs neumím vlnovou funkcí popsat). Buď musím použít operátor hustoty, nebo musím měřením spin opět připravit do čistého kvantového stavu.
Tím jsme si připravili půdu pro další úvahy a příště si povíme něco lokalizaci vlnového balíku při průchodu bublinovou komorou.
* Stopování přes stupně volnosti je standardní postup pro redukci matice hustoty. Důvod, proč se redukovaná matice hustoty získá právě takto je, že všechna měření, která plánujeme nadále provádět jsou realizována operátory ve tvaru projektor na měřený stav na prostoru spinu 1 krát jednotka na prostoru spinu 2. Jelikož pravděpodobnosti měření jsou vlastně střední hodnoty projektorů, které tato měření realizují, čili Tr P ρ a jelikož tyto projektory jsou na prostoru spinů, na kterých neplánujeme měřit jednotkou, můžeme přes tyto stupně volnosti vystopovat rovnou a „o nic nepřijdeme“.
Žádné komentáře:
Okomentovat