Cestopisný zápisek z Kalifornie

Letošní konferenci QuEBS o kvantových efektech v biologii, která se shodou okolností odehrála v Berkeley, jsem využil k cestování napříč Kalifornií. Trochu netradičně proto přichází cestovní zápisek s několika postřehy z cest.

Už při příjezdu do San Francisca mne zaujala jedna věc: zatímco u nás doma jsme zvyklí na to, že vlak je prostě vlak (provozují ho České dráhy) a metro je metro (provozuje ho město), v USA se daleko více prosazují soukromé firmy ve všem možném. Z letiště v San Franciscu jezdí soukromé metro, BART, které vás za nějakých devět dolarů odveze až do Berkeley. Vedle něj ve městě funguje i (podstatně levnější) metro obecní, které se však s BARTem nekryje, takže u většiny tras stejně soukromníkovi zaplatíte. Další společností ve stejném městě je pak Caltrain, který provozuje místní vlaky do okolních měst směrem na sever i na jih. V USA však např. potkáte i speciální placené dálniční pruhy, které vás dovedou přímo na místo, bez nutností přejíždět mezi několika jednotlivými dálnicemi a asi i s možností se takto vyhnout zácpě.

Za naši trasu jsme vytipovali několik míst. Začali jsme prohlídkou San Francisca, poté jsme se přesunuli k pobřeží Tichého oceánu do národního parku Big Sur a zakončili jsme několika výlety v parku Yosemitském. Snad jediným přijatelným prostředkem pro takovéto cestování je auto, protože veřejná doprava v USA zdaleka není hustá. Řízení v USA má ovšem pro Evropana několik úskalí. Světla na křižovatkách jsou až za křižovatkou, takže pokud jste zvyklí, že červeným semaforem nesmíte projet, je potřeba být opatrnější. Za to na červenou klidně můžete odbočit, pokud je to směrem vpravo a pokud dáte přednost těm, co ji mají. Velice zákeřný je také způsob řízení křižovatek bez semaforů. Zapomeňte na přednost zprava. Pokud není jedna silnice vyloženě hlavní (což je málokdy), všechny cesty křižovatky mají ceduli STOP. Zastavíte a necháte projet všechny, kteří zde byli před vámi. Kdo dřív přijde, ten dřív mele. Po chvíli se ovšem ukázalo, že tento systém je docela efektivní, jakmile si na něj zvyknete. Poslední podivnost, které jsem si všiml je, že na dálnici nebo silnici s větším počtem pruhů není určené, že rychlejší jedou vlevo a pomalejší vpravo, ale všechny pruhy jsou rovnocenné. Chvíli jsme přemýšleli, jak je možné, že tolik Američanů, ačkoliv jinak mají téměř posvátnou úctu k zákonu a pravidlům vůbec, předjíždí zprava. Ono je to zde totiž povolené. (Alespoň myslím.)

San Francisco je příjemné město prý pověstné svými mlhami. Ty nás naštěstí vůbec nepotkaly a tak jsme viděli všechny jeho mosty v celé jejich kráse. Klasické americké rozdělení města do čtvercových bloků má ve městě postaveném na kopci zajímavý důsledek: ulice vedou přímo do kopce a jsou tak strmé, že auta mají přikázáno parkovat kolmo k vozovce, nebo alespoň zatočit při parkování pneumatiky tak, aby při jízdě ze svahu naráželi na okraj chodníku. Skoro jako první jsme navštívili Chinatown, který působil trochu jako zmatená velká prodejna suvenýrů s davy lidí. Jednoznačný charakter čínsky laděných budov byl ale patrný, zvlášť v kontrastu se zbytkem města. Zde jsme si také dali oběd v poměrně hektickém čínském fastfoodu s dost jiným výběrem, než potkáváme v ČR. SF je ale známé např. ostrovní věznicí Alcatraz, kterou jsme viděli jenom ze břehu.

Útočiště nám na několik nocí poskytli Standa a Helča, kteří se sem nedávno přestěhovali poté, co Standovi byla nabídnuta práce ve Facebooku. To byla samozřejmě výborná příležitost prozkoumat trochu blíž Sillicon Valley (tedy sídlo významných firem souvisejících s počítači, jako Google, Facebook, Apple, LinkedIn, apod.) Standa nám udělal exkurzi, ze které jsem nabyl dojmu, že pracovat ve Facebooku je skvělá věc. Zaměstnanci mají velkou svobodu volby zaměření i téměř naprostou volnost volby pracovní doby. V kampusu mají zdarma jídlo i různé pochoutky a mnoho příležitostí k odreagování, ať už jde o běhací pásy nebo spoustu her včetně šachů, starších arkádových hracích automatů nebo kulečníku. Atmosféru ve firmě nejlépe vystihují všudypřítomné kresby na stěnách, z nichž většinu nakreslili zaměstnanci sami. Utužují ji i různá firemní motta, z nichž mi nejvíc utkvělo „Move fast and break things“ - doslova „pohybujte se rychle a rozbíjejte věci“, což je ovšem myšleno v programátorském kontextu. Člověk se nemá bát rychle jednat a rozbíjet již existující struktury ve zdrojovém kódu. Dost mne to překvapilo, protože podobný přístup v programování většinou vede ke katastrofě a jiné známé velké firmy (např. Google) se jím (myslím) určitě neřídí. Ale když jsou lidi dost chytří, tak se v tom prý zvládnou orientovat a nakonec je výsledek lepší.

Našince překvapí i poměrně divoká příroda. Za jeden týden jsme ve volné přírodě potkali lachtany, tuleně, mořské vydry (Big Sur); vlka, medvěda a spoustu vysoké (Yosemite). Člověk si ale musí dávat pozor třeba i na vegetaci. Podél pobřeží roste všude tzv. Poison Oak, rostlina s listem podobným dubu, jíž vylučovaná látka podobná oleji způsobuje vážnou vyrážku, která může trvat až několik týdnů a může si vyžádat hospitalizaci. V letním vedru jsem tedy radši paranoidně zvolil tlusté rifle, protože to byly jediné dlouhé kalhoty k dispozici.

Cestou zpět jsem měl silné nutkání se zastavit v (ještě ne New) Renu, ale nějak jsem nedokázal kolegyni vysvětlit jeho historický význam - že roku 2240 to bude jedno z nejvýznamnějších měst Severní Ameriky a navíc největší malé město na světě. (Na mapě vůbec vyskakovaly místa jako Arroyo, Klamath, apod., což žádného fanouška Falloutu nemůže nechat klidným.)

Posledním zážitkem, který chci vypíchnout, je zajímavý rozhovor se stopařem z Izraele, který přes léto v USA pracoval. Izraelsko-Palestinskému konfliktu rozumím asi jako koza petrželi, ale bylo velice zajímavé si poslechnout, jak situaci vidí člověk, který v zemi žije. Základní jádro sdělení bylo, že politická scéna se skládá z pravice a levice, kde levice spíše hledá mírové řešení, kdežto pravice se snaží konflikt vyostřit nebo vyřešit silově. Kolem roku 2000 byla tamním levicovým předsedou vlády zahájena mírová jednání s Palestinou, která však selhala, protože premiér nebyl připraven přistoupit na palestinské požadavky. Po selhání jednání pak prohlásil, že pro mírová jednání nemá Izrael partnera, čímž se cesta k míru zavřela na dlouhou dobu. (Pokud selhala jednání levicové vlády, která má mírová jednání v programu, nepředpokládá se aktuálně, že by se o to pokoušel někdo jiný.) Diskutovanými možnými řešeními jsou buď vytvoření jednotného státu a postupná cesta k sociálnímu smíru, nebo vytvoření samostatného palestinského státu. Druhá možnost prý v sobě ukrývá populistickou kličku, protože ačkoliv se tato varianta diskutuje, Izrael je ochoten nanejvýš uznat palestinské území, ale nikdy jim prý nepřizná kontrolu nad vlastní armádou, hranicemi nebo rozvodnými sítěmi pitné vody. Tomu lze jen těžko říkat samostatný stát - a tak náš stopař předpokládá, že pokud k této variantě dojde, povede to jen k vyostření situace a k válce. Bez nároku na to toto sdělení jakkoliv komentovat jsem rád, že u nás populismus v politice spočívá „nanejvýš“ v otázce zadlužení státu. Když je ve hře válka, jde všechno ostatní stranou.

Vzali jsme i druhého stopaře, se kterým jsem si ale jenom procvičil popularizaci vědy, protože se hodně vyptával na to, čím se s kolegyní zabýváme. Zachovat jádro a přitom nezkreslovat skutečně není jednoduché, vůbec už se nedivím, že čtu v novinách takové bludy. Jinak je Kalifornie moc hezké místo a všem doporučuji se tam někdy podívat.

Částice v bublinové komoře

Minule jsme si řekli, že k popisu zdánlivého kolapsu lze použít operátor hustoty a vystopování přes ty stupně volnosti, které nadále nemáme pod kontrolou a nebudeme na nich již nic měřit. V tomto příspěvku bych rád ukázal pěkný popis částice v bublinové komoře, která do ní vletí podél osy z jako široký vlnový balík (jehož šířku budeme popisovat jen podél jedné osy x kolmé na směr šíření) a teprve srážky s ostatními částicemi tento vlnový balík zúží. Odpovězme tedy na otázku, proč, i když částice ve vakuu bude popsaná velmi širokou vlnovou funkcí, uvidíme v bublinové komoře jen úzké trubice excitovaných atomů. Soustředíme se jenom na jednu srážku s molekulou z bublinové komory, ke které dojde v čase t₀ a následně budeme sledovat další časový vývoj původní (měřené) částice bez srážek. Spočítáme, jak se vyvíjí celková vlnová funkce dvou částic Ψ(x,X,t), kde malými písmeny budeme značit polohu x nebo hybnost p měřené částice a velkými písmeny X, P ty samé veličiny „měřící“ částice plynu. Jelikož k popisu podsystému nemůžeme použít vlnovou funkci, sestavíme „spojitý“ operátor hustoty Ψ(x',X',t)Ψ(x,X,t) a následně integrací Ψ(x',Z,t)Ψ(x,Z,t) přes Z spočteme redukovaný operátor hustoty (RDO - z anglického reduced density operator) ψ(x',t)ψ(x,t), který budeme diskutovat na obrázcích. Pojďme se nyní podívat na několik technických detailů. (Pokud vás problém zajímá jen kvantitativně, přeskočte až k diskusi.)

Technická část

Hamiltonián měřené částice je volný Hamiltonián H_S. Modelujeme jen jednu srážku s další částicí zanedbatelné hmotnosti a pro zjednodušení nebudeme zkoumat její vnitřní dynamiku, její Hamiltonián H_A tedy bude nulový. Zajímavá je interakční část H_SA, která je lokální v poloze (odtud součin xX) a v čase (odtud Diracova δ-funkce).



Na začátku budou měřená i měřící částice realizovány gaussovským vlnovým balíkem. Z technických důvodů budeme s měřící částicí pracovat v hybnostní reprezentaci a s měřenou v polohové. Jejich celková vlnová funkce v čase 0 bude



Popisovat tedy tento systém částic začínáme právě v okamžiku srážky. Časový vývoj Ψ(t) spočítáme jako



S výhodou přitom použijeme, že



neboť jde o operátor posunutí hybnosti, jak se snadno přesvědčíme, pokud si tento operátor napíšeme v p-reprezentaci. Interakční Hamiltonián H_SA má tedy tu zajímavou vlastnost, že když podle něj sestrojíme evoluční operátor, chová se jako operátor posunutí - nahrazuje hybnosti za posunuté hybnosti - a tedy se s ním velice jednoduše počítá. S gaussovskými balíky se zachází rovněž příjemně, protože místo řešení diferenciální rovnice lze snadno přejít do p-reprezentace, kde stačí vlnovou funkci vynásobit funkcí p. Konkrétní výpočty jsou již jen technikalita. Tvary získaných operátorů hustoty jsou složité, proto uvedu jen operátor hustoty těsně před měřením



a těsně po měření



N a N' jsou normalizační konstanty.

Diskuse

Nyní se již zaměřme na diskusi výsledků. Do grafů vynáším RDO měřené částice, který závisí na souřadnicích x a x'. Jednu z os jsem na grafech invertoval (čili vynáším -x místo x), protože pak opticky grafy mají stejný význam, jako matice hustoty, které jsme diskutovali v minulém příspěvku. Na diagonále odečítáme hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě, tedy to, čemu běžně odpovídá čtverec vlnové funkce. Mimo diagonálu vidíme koherence, které odlišují statistický soubor mnoha vlnových balíků od superpozice.

Na obrázku 1 vidíme RDO vlnového balíku měřené částice těsně před interakcí s měřící částicí. Vidíme, že vlnový balík je kruhový - koherence mimo diagonálu nesou informaci o tom, že jde o čistý kvantový stav, nikoliv o statistickou směs úzkých vlnových balíků s různými pravděpodobnostmi nalezení. Těsně po srážce s měřící částicí se vlnový balík zúží v mimodiagonálním směru. Diagonála se srážkou nezmění - v obou případech nese informaci o pravděpodobnosti „kdybychom se podívali“. Měření se ale projeví ztrátou koherencí mimo diagonálu. Nyní již nejde o široký vlnový balík, ale o mnoho úzkých vlnových balíků rozložených podél diagonály, protože částice prošla zdánlivým kolapsem vlnové funkce. Při skutečném měření bychom viděli jenom jeden z nich - tento diagram popisuje to, co uvidíme po mnoha opakovaných měřeních na souboru.

Obr. 1: Redukovaný operátor hustoty gaussovského balíku měřené částice před srážkou. Koherence mimo diagonálu vypovídají o tom, že jde o čistý kvantový stav v superpozici poloh a ne o statistickou směs.

Obr. 2: RDO měřené částice těsně po srážce. Rozložení pravděpodobností na diagonále se nemění, ale ztráta koherencí vypovídá o rozpadu vlnového balíku na soubor úzkých vlnových balíků podél diagonály.

Abychom se přesvědčili, že po srážce skutečně vidíme směs mnoha malých vlnových balíků v různých místech a ne jeden vlnový balík, sledujme rychlost rozplývání výsledného RDO. Je známo, že každý vlnový balík (v x-reprezentaci) se pomalu rozplývá. To je důsledkem principu neurčitosti - čím přesněji známe polohu (čím je vlnový balík užší), tím méně víme o jeho hybnosti. A jelikož vlnový balík obsahuje i rychlé i pomalé složky, rozplývá se. Tím více, čím je užší. Na obrázku 3 vidíme jeden z úzkých vlnových balíků, jaký bychom získali měřením ze souboru z obrázku 2. Srovnejte, jak se rozplyne původní neměřený balík (obr. 4) a jak by se rozplynul tento úzký vlnový balík za stejný čas (obr. 5). Když se podíváme na obr. 6, vidíme, jak se za stejný čas rozplyne RDO měřené částice po srážce. Jasně vidíme, že nová rychlost rozpínání dobře odpovídá rozšiřování úzkého balíku a ne původního širokého balíku (sledujme diagonálu). Z toho můžeme také usoudit, že obr. 2 skutečně ukazuje statistickou směs mnoha úzkých vlnových balíků a ne jeden balík široký. Aneb právě jsme ukázali, jak se srážkami s ostatními molekulami plynu dochází ke kolapsu na vlnové funkci měřené částice - skokovému přechodu z široké vlnové funkce na vlnovou funkci úzkou - a že se na tento kolaps můžeme dívat jen jako na kolaps zdánlivý, protože celková vlnová funkce obou částic žádným kolapsem neprochází. Toto je také východiském pro Everettovu interpretaci mnoha světů, která přidává vysvětlení, proč ze statistického souboru, který je na konci procesu dekoherence, vidíme jen jeden náhodný výsledek. Ale o ní až někdy příště.

Obr. 3: Směsí takto širokých vlnových balíků je systém těsně po srážce s měřící částicí.

Obr. 4: Původní vlnový balík bez srážky by se po jistém čase T rozšířil takto. 

Obr. 5: Úzký vlnový balík z obr. 3 se za stejný čas rozšíří více.

Obr. 6: A takto se za stejný čas po srážce s měřící částicí rozšíří soubor z obr. 2 - po diagonále prakticky stejně, jako úzký balík z obr. 3. To dokladuje, že po srážce zbude skutečně směs mnoha úzkých vlnových balíků, do kterých vlnová funkce po srážce zkolabuje, a ne původní široký vlnový balík.

Otevřené kvantové systémy aneb „Kudy na kolaps?“

Snad jednou z nejhůře pochopitelných věcí na kvantové mechanice je kolaps vlnové funkce. Dokud částici nepozorujeme, částice je spořádaně popsaná vlnovou funkcí, jejíž čtverec vyjadřuje pravděpodobnost nalezení na onom místě kdybychom se podívali a její časový vývoj je pěkně deterministický podle Schrödingerovy rovnice. Jakmile se skutečně podíváme, najednou se „skokově“ vlnový balík částice zúží (jen nevíme na kterém místě - to je právě udáno čtvercem ψ, čili pravděpodobností). Tato podivná vlastnost vedla některé průkopníky kvantové teorie k divokým spekulacím o význačnosti vědomých pozorovatelů a u jiných zase vedla k celému směru různých forem kvantového mysticismu hledajícího tajemství vědomí v kolapsu vlnové funkce (Deepak Chopra, apod). Moderní přístup teorie dekoherence přitom umožňuje dobře vysvětlit kolaps vlnové funkce jako zdánlivý jev, který vzniká v důsledku deterministického vývoje větší vlnové funkce, která zahrnuje kromě sledované částice i okolí, které s ní interaguje.

Při nedávném absolvování přednášky Interpretace kvantové mechaniky doc. Pavla Krtouše jsem narazil na velice jednoduchý a silný formalismus, který umožňuje tyto věci počítat a rád bych se o něj podělil. Co bych chtěl ukázat je zdánlivý kolaps vlnové funkce na případě částice, která prolétá bublinovou komorou a její následná lokalizace. Nejprve však musím udělat krátký teoretický úvod, který však vydá na celý článek.

K čemu je operátor hustoty

Klíčem k pochopení teorie dekoherence je fakt, že pro popis podsystému interagujícího i se svým okolím, nestačí vlnová funkce, ale potřebujeme použít tzv. operátor hustoty. Jde o ekvivalentní popis, který ale kromě kvantových stavů systému umí navíc popsat i statistické soubory systémů. Kvantová teorie nám říká, že pokud lze částici přivést do stavu spin nahoru, ψ(↑), nebo spin dolů, ψ(↓), můžeme na ní vytvořit i libovolnou lineární kombinaci těchto stavů Aψ(↑)+Bψ(↓), kde A a B jsou komplexní čísla. Matice/operátor hustoty ale umí víc než to. Je totiž velký rozdíl, jestli mám statistický soubor, kde všechny prvky jsou ve stavu ψ(↑)+ψ(↓) a statistický soubor, kdy je (náhodná) polovina atomů ve stavu ψ(↑) a druhá polovina ve stavu ψ(↓). Když provedu měření, tak v obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti procentech spin dolů. Případ souboru stavů ψ(↑)+ψ(↓), tzv. kvantově koherentní případ, ale rozeznám, když pootočím měřící přístroj o 90°. Najednou naměřím vždy stav ψ(→), nikdy stav ψ(←), zatímco u statistické směsi naměřím opět jenom poměr 50:50. V řeči operátoru hustoty je diskutovaný koherentní soubor popsán maticí



zatímco statistická směs maticí



Diagonální elementy matice hustoty udávají pravděpodobnosti měření. V obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti spin dolů - na diagonále jsou poloviny. Co odlišuje oba případy jsou mimodiagonální elementy, nazývané někdy koherence, které říkají, že pokud matici hustoty převedu do jiné báze podobnostní transformací (otočím měřící přístroj), diagonální elementy se změní. V tomto případě třeba můžu přejít do báze vlevo-vpravo, kde budu mít jistotu, jaký výsledek naměřím:



Bez koherencí mohu ale přístrojem točit jak chci a výsledek se nezmění - pořád uvidím jen statistickou směs:



Kolaps vlnové funkce, o který se zajímáme, je právě přechod mezi „čistou vlnovou funkcí“ popsanou první maticí a statistickým souborem popsaným druhou maticí. Jakmile koherence zmizí, zbyde nám z původní vlnové funkce směs „změřených“ spinů ve směrech nahoru a dolů.

A k čemu vlastně statistické směsi?

Proč se bavím o statistických souborech a jejich popisu, když mne zajímá částice jenom jedna? Chci přeci popsat lokalizaci v jednom experimentu, nikoliv statistickou směs! Jenže operátor hustoty nepopisuje jen směsi mnoha různých částic, ale také směsi ve smyslu očekávaného výsledku. Jakmile proběhlo měření na částici, místo vlnového balíku najednou dostaneme v popisu „statistický soubor“ všech potenciálních výsledků s různou vahou. Nakonec sice částici najdeme jen v jenom stavu, ale soubor očekávaných výsledků a jejich pravděpodobností můžeme popsat dopředu operátorem hustoty. I pro jednu částici má smysl napsat matici hustoty pro statistickou směs - říká to, že částici „po kolapsu“ najdeme s danými pravděpodobnostmi v různých stavech a vlnová funkce už se rozpadla.

Nyní bych chtěl ukázat jednu skutečně zajímavou věc - jakmile pochopíte tento fakt, pochopili jste jádro teorie dekoherence. Pokud mám větší systém a nezajímám se o některé jeho části, nemohu vždy na popis jeho podčástí použít vlnovou funkci. Předveďme si to na systému dvou spinů. Řekněme, že jsou oba ve stavu „doprava“, který už známe, tedy celková vlnová funkce tohoto stavu je ψ₁(→)ψ₂(→). Napíšeme jeho matici hustoty (v bázi ψ₁(↑)ψ₂(↑), ψ₁(↓)ψ₂(↑), ψ₁(↑)ψ₂(↓), ψ₁(↓)ψ₂(↓) ) jako



Jde o obyčejnou matici 4x4, kulatými závorkami jsem jenom naznačil podmatice, které se týkají prvního spinu. Zatímco mezi stavy prvního spinu se pohybujeme přechody uvnitř malých matic, mezi stavy druhého spinu se pohybujeme přechody mezi velkými maticemi. Pokud se o druhý spin nezajímáme, můžeme přejít k tzv. redukované matici hustoty - uděláme stopu přes všechny stavy druhého spinu^*. V tomto případě to odpovídá sečtení horní levé a dolní pravé podmatice, čímž dostáváme matici




Tato matice popisuje stav prvního spinu, pokud se vůbec nedíváme na ten druhý. Ano! To je přesně matice stavu ψ(→), který už známe. Tím jsme se vlastně přesvědčili, že když se ve stavu ψ₁(→)ψ₂(→) nebudeme starat o druhý spin, dostaneme stav ψ₁(→); spiny jsou nezávislé jeden na druhém. V tomto případě první spin vlnovou funkcí zjevně popsat jde.

Teď si ale představme, že se spiny dostanou k sobě, chvíli spolu interagují a pak se vzdálí. Mohly se přitom dostat například do stavu

ψ₁(↓)ψ₂(↑)+ψ₁(↑)ψ₂(↓),

který popíšeme maticí



Tento stav je takzvaně entanglovaný - pokud změříme spin první částice nahoru, automaticky okamžitě a nehledě na vzdálenost, která částice dělí víme, že druhý spin bude v opačném stavu. Pokud opět vystopujeme přes druhý spin sečtením submatic na diagonále, dostaneme - ejhle - statistickou směs!



Z toho plyne, že ačkoliv celková vlnová funkce obou spinů žádným kolapsem neprošla, pokud se budeme dívat jen na jeden ze spinů, uvidíme chování odpovídající statistickému souboru spinů, jaké by byly po pravém kolapsu jejich vlnové funkce indukovaném měřením! Můžeme se na to dívat i tak, že ze stav druhého spinu určuje stav spinu prvního a odnáší tak o něm informaci, čímž první spin „změřil“. Druhé důležité pozorování je, že pokud spin interagoval s něčím dalším, nemohu obecně tento spin již popisovat vlnovou funkcí samostatně (takovou statistickou směs neumím vlnovou funkcí popsat). Buď musím použít operátor hustoty, nebo musím měřením spin opět připravit do čistého kvantového stavu.

Tím jsme si připravili půdu pro další úvahy a příště si povíme něco lokalizaci vlnového balíku při průchodu bublinovou komorou.


^{* Stopování přes stupně volnosti je standardní postup pro redukci matice hustoty. Důvod, proč se redukovaná matice hustoty získá právě takto je, že všechna měření, která plánujeme nadále provádět jsou realizována operátory ve tvaru projektor na měřený stav na prostoru spinu 1 krát jednotka na prostoru spinu 2. Jelikož pravděpodobnosti měření jsou vlastně střední hodnoty projektorů, které tato měření realizují, čili Tr P ρ a jelikož tyto projektory jsou na prostoru spinů, na kterých neplánujeme měřit jednotkou, můžeme přes tyto stupně volnosti vystopovat rovnou a „o nic nepřijdeme“.}

Ilja Prigogine - Řád z chaosu

Nedávno jsem narazil na knihu Řád z chaosu (Order Out of Chaos) od Ilji Prigogina, ruského fyzikálního chemika a laureáta Nobelovy ceny za chemii v oblasti nerovnovážné termodynamiky. Kniha mne zaujala především tím,  že převrací naruby tradiční interpretaci termodynamiky a její souvislosti s mikroskopickou dynamikou (ať už jde o Newtonovy zákony, nebo kvantovou mechaniku). Tradičně se termodynamika vysvětluje skrz statistickou fyziku: v termodynamice hraje ústřední roli veličina zvaná entropie, která vyjadřuje, kolika způsoby může být daný makroskopický stav (stav s danou teplotou, tlakem a pár dalšími makroskopickými parametry) realizován různými mikrostavy (přesné uspořádání molekul v látce nebo její kvantový stav). Podle druhého zákona termodynamiky se entropie nikdy nemůže snižovat. Tradičně je toto vnímáno tak, že je velmi nepravděpodobné, že by se entropie snižovala, protože stavy, které se dají vyjádřit hodně mikrostavy jsou prostě daleko pravděpodobnější. Na termodynamiku se tedy dnes drtivá většina fyziků dívá jako na efektivní teorii, která vyplývá s teorie popisující dynamiku jednotlivých částic, pokud je částic v systému hodně.

Prigogine hájí zajímavý názor, kde začíná z opačného konce: Termodynamika je podle něj fundamentální teorie, stejně jako např. Newtonovy rovnice nebo kvantová mechanika a druhý zákon termodynamiky je přesný zákon, který platí vždy, nejen většinou. Podle něj nejde svět popsat jednotným matematickým modelem: termodynamika a dynamika jsou jen dva limitní případy, které náhodou umíme popsat dobře. Entropie je skutečně fundamentální veličina, která neustále roste a jakmile vzroste, nemůže se již snižovat. Aby takovýto názor byl vůbec hájitelný, musí samozřejmě autor nejprve naznačit, že v teoriích popisujících dynamiku se nachází „díry“, do kterých se může schovat fundamentální zvyšování entropie. (Pokud teorie určuje dynamiku systémů jednoznačně, určuje také jednoznačně chování makrosystémů a tedy termodynamiku.)

Tyto „díry v jednoznačnosti“ ukazuje ve dvou případech. Pro Newtonovskou dynamiku jde prý o body, kdy počáteční podmínky diferenciálních rovnic neurčují jednoznačně, jak se bude vyvíjet dynamika dál. Pokud pro většinu případů zadám systému polohy a hybnosti jeho jednotlivých bodů, bude tím jednoznačně dán jeho budoucí časový vývoj. Pokud ale postavím jehlu přesně na špičku, může zůstat stát (tj. rovnice má řešení, kdy zůstane stát), ale existují také řešení, kdy se v nějakém čase jehla rozhodne začít padat na jednu stranu - časový vývoj je nejednoznačný. Popravdě jsem tento argument příliš dopodrobna nezkoumal^***, neboť klasická mechanika je nahrazena kvantovou mechanikou, takže rozbor Newtonových rovnic je jenom akademickou otázkou. Mám ale dojem, že problém s jednoznačností skutečně existuje - například v elektrodynamice existují řešení, kdy nabitá částice sama od sebe zrychluje a tím způsobuje svoje zrychlování.

Onou „dírou“ v kvantové mechanice, kam se má vejít indeterminismus a zvyšování „fundamentální entropie“ je podle Prigogina, jak jinak, kolaps vlnové funkce. Kolaps v některých interpretacích QM zavádí do teorie skutečný indeterminismus fyzikálního stavu vesmíru a má tedy přesně ty vlastnosti, které Prigogine potřebuje. V další fázi argumentace pak ukazuje jisté nesrovnalosti v klasickém statistickém pojetí termodynamiky. Například kritizuje Boltzmannovo odvození rovnovážného rozložení rychlostí molekul v plynu z rovnic dynamiky s odvoláním na to, že odvození samotné zavádí do pohybových rovnic nesymetrii v podobně zanedbání počátečních korelací mezi rychlostmi molekul plynu a tedy že o žádné skutečné odvození nejde^*. Takový argument je sice zajímavý, ale ve skutečnosti je předpoklad o zanedbání počátečních korelací poměrně rozumný a jsem přesvědčený, že by při bližším zkoumání obstál. (Nejspíše se redukuje na otázku: Proč je v minulosti vesmíru počáteční podmínka s tak nízkou entropií? To je otázka dodnes otevřená, ale nejspíš nesouvisí s formulací termodynamiky jako takové.)

Prigoginův pohled na termodynamiku mi sice připadne velmi neortodoxní a také mimořádně nepravděpodobný, ale uznávám, že je v jistém smyslu hájitelný. Spojení mezi dynamikou a termodynamikou nemá sílu matematické věty a tak odpověď na otázku po jejich spojení zůstává, alespoň trochu, otevřená. Zároveň musím přiznat, že jsem Řád z chaosu nečetl celý, protože Prigogine nešetří pasážemi, kde se asi snaží vzbuzovat ve čtenářích dojem jakýchsi hlubokých historicko-filozofických paralel a četly se mi hodně špatně^**. Mohlo se proto stát, že mi něco podstatného uteklo, doufám ale, že racionální jádro jsem z knihy vytáhl. Nicméně jsem díky knize rozšířil svoji metaforickou sbírku obskurních hájitelných světonázorů, což je vždycky zajímavé.


<sup>* Těmi korelacemi se myslí následující: když si nafilmuji, jak se plyn nerovnovážně rozpíná z malého objemu do velkého, přičemž roste entropie, pak je samozřejmé, že pokud za počáteční podmínku svého modelu vezmu stav, do kterého se plyn dostal a obrátím rychlosti, časem se dostanu nikoliv k rovnovážnému rozdělení plynu vyplňujícího velkou krabici, ale k plynu v malé oblasti prostoru, kde byla původní malá krabička. Molekuly prostě zopakují svůj pohyb pozpátku jako kdybychom pustili pozpátku film a udělají tu nepravděpodobnou věc, že se samy od sebe vrátí do krabičky. Za to přesně můžou ony zanedbané korelace v počáteční podmínce. Zanedbané jsou ale samozřejmě z dobrého důvodu - že se trefíme do takovéto speciální počáteční podmínky je totiž nesmírně nepravděpodobné - můžete zkusit na podomácku udělané počítačové simulaci.

** A navíc jsou fyzikálně irelevantní - jakmile je teorie jednou na světě, je jedno, jak na svět přišla. Jediné, co je podstatné je, jestli obstojí při srovnání s experimentem. Buď je správná, anebo není. Stejný přístup se snažím držet si i v literatuře a naprosto odděluji život autora a jeho dílo.

*** Po dopsání příspěvku jsem jej samozřejmě zkoumat začal :-). Nejednoznačné body se v teorii skutečně objevují, ale jen pro potenciály jistého druhu. Např. s padající jehlou ve skutečnosti žádný problém není, protože potenciál v okolí stabilního bodu jehly postavené na špičku není nijak strmý (má nulovou derivaci). Problém se objeví teprve pokud je potenciál dost strmý na to, aby jehla, kterou stavíme pořád přesněji na špičku nepadala ze stabilní polohy nekonečně dlouho. Tuto vlastnosti má např. rovnice y'(t) = y(t)^(1/2) s počáteční podmínkou v nule. Tím spíše mi není jasné, proč Prigogine viděl v této vlastnosti problém - je poměrně dost speciální. Pokud by byly fundamentální potenciály mezi částicemi alespoň trochu „rozumné“, problém by se neobjevil.</sup>

Informatika a termodynamika

Nedávno jsem se opět setkal s velice zajímavým fyzikálním konceptem, o kterém jsem dřív neměl ani tušení. (Ano, taková věc mi vždy udělá radost a mám pak neodolatelnou touhu se o ni podělit..) Velmi zběžně jsem četl knihu Feynman Lectures on Computation a kromě základů informatiky, které jsou dnes poměrně široce známé, jsem zde narazil na popis výpočetního procesu z hlediska termodynamiky. Základní tvrzení říká, že pokud chci uložit nějakou informaci na pásku bitů, potřebuji k tomu zvednout entropii alespoň o jistou minimální hodnotu. Chvíli jsem četl související detaily a uvědomil jsem si, že vlastně v jistém smyslu špatně rozumím pojmu entropie. Co jsem se dozvěděl zkusím shrnout v tomto článku.

Když se člověk naučí klasickou termodynamiku, často se smíří s pojmem entropie a od té doby jej považuje za zcela fundamentální veličinu. Ze zákona maximalizace entropie při dané energii se dá odvodit celá termodynamika a v tomto smyslu ji pak dále používáme. Ve skutečnosti ale není zase tolik fundamentální a celý koncept entropie vyžaduje naši neznalost o systému - dohodu, že přesný stav systému neznáme a měříme jenom termodynamické veličiny (teplotu, tlak, objem..) Entropie je pak počet mikrostavů (v klasické fyzice míra ve fázovém prostoru), které realizují stejné termodynamické veličiny. Kdybychom znali stav systému dostatečně přesně, pak jeho entropie nemá úplně význam. Vybaveni takovou znalostí bychom mohli např. postavit stroj, který by libovolně snížil entropii daného systému. Jak? Jednoduše bychom ze znalosti jeho časového vývoje vypočetli, kdy nastane přesně taková fluktuace, že v daném objemu nebude žádná molekula a potom bychom tento objem oddělili od zbytku. To lze udělat limitně bez vynaložení energie. Opakováním této procedury bychom se dostali do stavu, kdy plyn (dejme tomu, že jde o ideální plyn) zaujímá daleko menší objem, než zaujímal před procesem a jeho entropii jsme tak snížili bez jejího zvýšení na své straně. Tento jednoduchý myšlenkový experiment nás přivádí k poznatku, že informace o systému nám umožňuje snižovat jeho entropii. Pokud má ale entropie ve světě vzrůstat, dojdeme k závěru, že ukládání informace naopak entropii nutně musí zvyšovat někde jinde. Např. slavný Maxwellův démon^* nemůže fungovat právě kvůli tomu, že by informaci, kterou o molekulách získá musel někam ukládat, což vyžaduje zvýšení entropie o přiměřené množství^**.

Jaká je entropie jednoho bitu? Představme si, že máme pásku krabiček, kde v každé je jedna částice a dvě potenciálové jámy - jedna představuje hodnotu 0 a druhá hodnotu 1. Pokud zacházíme se zprůměrovanou polohou částice, můžeme o jednotlivých krabičkách mluvit jako o ideálním plynu obsahujícím jednu částici. Představme si dále, že chceme pásku vynulovat, tj. ujistit se, že všechny částice jsou v potenciálové jámě příslušející hodnotě 0. Pokud nevíme⁺, kde se v krabici částice nachází, musíme vynaložit energii na to, abychom pístem zatlačili na částici a ta zaujala poloviční objem. Tím jsme mj. snížili entropii tohoto plynu o jedné molekule, podle vzorce pro změnu entropie ideálního plynu můžeme snadno říci, že o k_B log 2⁺⁺, což je přesně entropie zpracování jednoho bitu. Pokud bychom ale věděli, v jakém minimu potenciálu (a tedy v jakém stavu) se částice nachází, stačilo by krabici reverzibilně otočit a tím bychom ji uvedli do kýženého stavu bez vynaložení energie nebo manipulace s entropií. Argument lze i obrátit a říci, že pokud víme, v jakém stavu se páska nachází, můžeme ji zahřát (čímž práci konat nemusíme) a přiložením pístu na správnou stranu můžeme z pásky vyrobit energii, čímž se páska randomizuje. Z toho tedy (alespoň zhruba) vidíme, proč nakládání s informací nutně zvedá entropii a že existuje velmi přímý link mezi entropií a neznalostí/znalostí systému.

Pro zajímavost a úplně na okraj jsem si spočítal, že kdybychom vytěžili veškerou entropii produkovanou Sluncem, mohli bychom zpracovat 1,5·10⁴⁶ bitů za sekundu. (Kdybych mluvil jen o záření dopadlém na Zem, bylo by to 7·10³⁶ bitů za sekundu.)

<sup>* Maxwellův démon je zařízení obsluhující přepážku mezi dvěma komorami s plynem. Jakmile se blíží rychlá molekula z komory 1 do komory 2 nebo pomalá molekula z komory 2 do komory 1, démon ji změří a zaklapne záklopku. V opačném případě záklopku otevře. V klasické fyzice měření nepředstavuje problém, takže nakonec bude v komoře 2 vyšší teplota než v komoře 1 bez vynaložení energie. Jedná se o perpetuum mobile druhého druhu a v článku diskutovaná teorie je jedním z důvodů, proč Maxwellův démon nemůže fungovat.
** Problém není v samotném procesu měření, v klasické fyzice lze měřit libovolně přesně s libovolně malým narušením systému.
+ Ano, tady vstupuje do hry že pokud chceme mluvit o entropii, potřebujeme specifikovat naši míru neznalosti, resp. znalosti o systému - s plnou informací entropie nedává smysl!
++ Není úplně košér, že operujeme s ideálním plynem a přitom mlčky předpokládáme, že v krabici je potenciál, který částici nutí být typicky jen ve dvou stavech. Feynman to v oné knize dělá podobně a odvolává se na to, že podrobnější termodynamická teorie existuje - já ji příliš do detailů nezkoumal. Další věcí, ze které vidíte, že jde nejlépe o náhled je, že není důvod, abychom dvoustavový systém s kuličkou stlačovali zrovna na polovinu objemu. Zde bychom se asi mohli ohánět jen symetrií fázového prostoru. Argument tedy není správně, ale alespoň funguje jako náhled a vede na správný výsledek.</sup>