Částice v bublinové komoře

Minule jsme si řekli, že k popisu zdánlivého kolapsu lze použít operátor hustoty a vystopování přes ty stupně volnosti, které nadále nemáme pod kontrolou a nebudeme na nich již nic měřit. V tomto příspěvku bych rád ukázal pěkný popis částice v bublinové komoře, která do ní vletí podél osy z jako široký vlnový balík (jehož šířku budeme popisovat jen podél jedné osy x kolmé na směr šíření) a teprve srážky s ostatními částicemi tento vlnový balík zúží. Odpovězme tedy na otázku, proč, i když částice ve vakuu bude popsaná velmi širokou vlnovou funkcí, uvidíme v bublinové komoře jen úzké trubice excitovaných atomů. Soustředíme se jenom na jednu srážku s molekulou z bublinové komory, ke které dojde v čase t₀ a následně budeme sledovat další časový vývoj původní (měřené) částice bez srážek. Spočítáme, jak se vyvíjí celková vlnová funkce dvou částic Ψ(x,X,t), kde malými písmeny budeme značit polohu x nebo hybnost p měřené částice a velkými písmeny X, P ty samé veličiny „měřící“ částice plynu. Jelikož k popisu podsystému nemůžeme použít vlnovou funkci, sestavíme „spojitý“ operátor hustoty Ψ(x',X',t)Ψ(x,X,t) a následně integrací Ψ(x',Z,t)Ψ(x,Z,t) přes Z spočteme redukovaný operátor hustoty (RDO - z anglického reduced density operator) ψ(x',t)ψ(x,t), který budeme diskutovat na obrázcích. Pojďme se nyní podívat na několik technických detailů. (Pokud vás problém zajímá jen kvantitativně, přeskočte až k diskusi.)

Technická část

Hamiltonián měřené částice je volný Hamiltonián H_S. Modelujeme jen jednu srážku s další částicí zanedbatelné hmotnosti a pro zjednodušení nebudeme zkoumat její vnitřní dynamiku, její Hamiltonián H_A tedy bude nulový. Zajímavá je interakční část H_SA, která je lokální v poloze (odtud součin xX) a v čase (odtud Diracova δ-funkce).



Na začátku budou měřená i měřící částice realizovány gaussovským vlnovým balíkem. Z technických důvodů budeme s měřící částicí pracovat v hybnostní reprezentaci a s měřenou v polohové. Jejich celková vlnová funkce v čase 0 bude



Popisovat tedy tento systém částic začínáme právě v okamžiku srážky. Časový vývoj Ψ(t) spočítáme jako



S výhodou přitom použijeme, že



neboť jde o operátor posunutí hybnosti, jak se snadno přesvědčíme, pokud si tento operátor napíšeme v p-reprezentaci. Interakční Hamiltonián H_SA má tedy tu zajímavou vlastnost, že když podle něj sestrojíme evoluční operátor, chová se jako operátor posunutí - nahrazuje hybnosti za posunuté hybnosti - a tedy se s ním velice jednoduše počítá. S gaussovskými balíky se zachází rovněž příjemně, protože místo řešení diferenciální rovnice lze snadno přejít do p-reprezentace, kde stačí vlnovou funkci vynásobit funkcí p. Konkrétní výpočty jsou již jen technikalita. Tvary získaných operátorů hustoty jsou složité, proto uvedu jen operátor hustoty těsně před měřením



a těsně po měření



N a N' jsou normalizační konstanty.

Diskuse

Nyní se již zaměřme na diskusi výsledků. Do grafů vynáším RDO měřené částice, který závisí na souřadnicích x a x'. Jednu z os jsem na grafech invertoval (čili vynáším -x místo x), protože pak opticky grafy mají stejný význam, jako matice hustoty, které jsme diskutovali v minulém příspěvku. Na diagonále odečítáme hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě, tedy to, čemu běžně odpovídá čtverec vlnové funkce. Mimo diagonálu vidíme koherence, které odlišují statistický soubor mnoha vlnových balíků od superpozice.

Na obrázku 1 vidíme RDO vlnového balíku měřené částice těsně před interakcí s měřící částicí. Vidíme, že vlnový balík je kruhový - koherence mimo diagonálu nesou informaci o tom, že jde o čistý kvantový stav, nikoliv o statistickou směs úzkých vlnových balíků s různými pravděpodobnostmi nalezení. Těsně po srážce s měřící částicí se vlnový balík zúží v mimodiagonálním směru. Diagonála se srážkou nezmění - v obou případech nese informaci o pravděpodobnosti „kdybychom se podívali“. Měření se ale projeví ztrátou koherencí mimo diagonálu. Nyní již nejde o široký vlnový balík, ale o mnoho úzkých vlnových balíků rozložených podél diagonály, protože částice prošla zdánlivým kolapsem vlnové funkce. Při skutečném měření bychom viděli jenom jeden z nich - tento diagram popisuje to, co uvidíme po mnoha opakovaných měřeních na souboru.

Obr. 1: Redukovaný operátor hustoty gaussovského balíku měřené částice před srážkou. Koherence mimo diagonálu vypovídají o tom, že jde o čistý kvantový stav v superpozici poloh a ne o statistickou směs.

Obr. 2: RDO měřené částice těsně po srážce. Rozložení pravděpodobností na diagonále se nemění, ale ztráta koherencí vypovídá o rozpadu vlnového balíku na soubor úzkých vlnových balíků podél diagonály.

Abychom se přesvědčili, že po srážce skutečně vidíme směs mnoha malých vlnových balíků v různých místech a ne jeden vlnový balík, sledujme rychlost rozplývání výsledného RDO. Je známo, že každý vlnový balík (v x-reprezentaci) se pomalu rozplývá. To je důsledkem principu neurčitosti - čím přesněji známe polohu (čím je vlnový balík užší), tím méně víme o jeho hybnosti. A jelikož vlnový balík obsahuje i rychlé i pomalé složky, rozplývá se. Tím více, čím je užší. Na obrázku 3 vidíme jeden z úzkých vlnových balíků, jaký bychom získali měřením ze souboru z obrázku 2. Srovnejte, jak se rozplyne původní neměřený balík (obr. 4) a jak by se rozplynul tento úzký vlnový balík za stejný čas (obr. 5). Když se podíváme na obr. 6, vidíme, jak se za stejný čas rozplyne RDO měřené částice po srážce. Jasně vidíme, že nová rychlost rozpínání dobře odpovídá rozšiřování úzkého balíku a ne původního širokého balíku (sledujme diagonálu). Z toho můžeme také usoudit, že obr. 2 skutečně ukazuje statistickou směs mnoha úzkých vlnových balíků a ne jeden balík široký. Aneb právě jsme ukázali, jak se srážkami s ostatními molekulami plynu dochází ke kolapsu na vlnové funkci měřené částice - skokovému přechodu z široké vlnové funkce na vlnovou funkci úzkou - a že se na tento kolaps můžeme dívat jen jako na kolaps zdánlivý, protože celková vlnová funkce obou částic žádným kolapsem neprochází. Toto je také východiském pro Everettovu interpretaci mnoha světů, která přidává vysvětlení, proč ze statistického souboru, který je na konci procesu dekoherence, vidíme jen jeden náhodný výsledek. Ale o ní až někdy příště.

Obr. 3: Směsí takto širokých vlnových balíků je systém těsně po srážce s měřící částicí.

Obr. 4: Původní vlnový balík bez srážky by se po jistém čase T rozšířil takto. 

Obr. 5: Úzký vlnový balík z obr. 3 se za stejný čas rozšíří více.

Obr. 6: A takto se za stejný čas po srážce s měřící částicí rozšíří soubor z obr. 2 - po diagonále prakticky stejně, jako úzký balík z obr. 3. To dokladuje, že po srážce zbude skutečně směs mnoha úzkých vlnových balíků, do kterých vlnová funkce po srážce zkolabuje, a ne původní široký vlnový balík.

Otevřené kvantové systémy aneb „Kudy na kolaps?“

Snad jednou z nejhůře pochopitelných věcí na kvantové mechanice je kolaps vlnové funkce. Dokud částici nepozorujeme, částice je spořádaně popsaná vlnovou funkcí, jejíž čtverec vyjadřuje pravděpodobnost nalezení na onom místě kdybychom se podívali a její časový vývoj je pěkně deterministický podle Schrödingerovy rovnice. Jakmile se skutečně podíváme, najednou se „skokově“ vlnový balík částice zúží (jen nevíme na kterém místě - to je právě udáno čtvercem ψ, čili pravděpodobností). Tato podivná vlastnost vedla některé průkopníky kvantové teorie k divokým spekulacím o význačnosti vědomých pozorovatelů a u jiných zase vedla k celému směru různých forem kvantového mysticismu hledajícího tajemství vědomí v kolapsu vlnové funkce (Deepak Chopra, apod). Moderní přístup teorie dekoherence přitom umožňuje dobře vysvětlit kolaps vlnové funkce jako zdánlivý jev, který vzniká v důsledku deterministického vývoje větší vlnové funkce, která zahrnuje kromě sledované částice i okolí, které s ní interaguje.

Při nedávném absolvování přednášky Interpretace kvantové mechaniky doc. Pavla Krtouše jsem narazil na velice jednoduchý a silný formalismus, který umožňuje tyto věci počítat a rád bych se o něj podělil. Co bych chtěl ukázat je zdánlivý kolaps vlnové funkce na případě částice, která prolétá bublinovou komorou a její následná lokalizace. Nejprve však musím udělat krátký teoretický úvod, který však vydá na celý článek.

K čemu je operátor hustoty

Klíčem k pochopení teorie dekoherence je fakt, že pro popis podsystému interagujícího i se svým okolím, nestačí vlnová funkce, ale potřebujeme použít tzv. operátor hustoty. Jde o ekvivalentní popis, který ale kromě kvantových stavů systému umí navíc popsat i statistické soubory systémů. Kvantová teorie nám říká, že pokud lze částici přivést do stavu spin nahoru, ψ(↑), nebo spin dolů, ψ(↓), můžeme na ní vytvořit i libovolnou lineární kombinaci těchto stavů Aψ(↑)+Bψ(↓), kde A a B jsou komplexní čísla. Matice/operátor hustoty ale umí víc než to. Je totiž velký rozdíl, jestli mám statistický soubor, kde všechny prvky jsou ve stavu ψ(↑)+ψ(↓) a statistický soubor, kdy je (náhodná) polovina atomů ve stavu ψ(↑) a druhá polovina ve stavu ψ(↓). Když provedu měření, tak v obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti procentech spin dolů. Případ souboru stavů ψ(↑)+ψ(↓), tzv. kvantově koherentní případ, ale rozeznám, když pootočím měřící přístroj o 90°. Najednou naměřím vždy stav ψ(→), nikdy stav ψ(←), zatímco u statistické směsi naměřím opět jenom poměr 50:50. V řeči operátoru hustoty je diskutovaný koherentní soubor popsán maticí



zatímco statistická směs maticí



Diagonální elementy matice hustoty udávají pravděpodobnosti měření. V obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti spin dolů - na diagonále jsou poloviny. Co odlišuje oba případy jsou mimodiagonální elementy, nazývané někdy koherence, které říkají, že pokud matici hustoty převedu do jiné báze podobnostní transformací (otočím měřící přístroj), diagonální elementy se změní. V tomto případě třeba můžu přejít do báze vlevo-vpravo, kde budu mít jistotu, jaký výsledek naměřím:



Bez koherencí mohu ale přístrojem točit jak chci a výsledek se nezmění - pořád uvidím jen statistickou směs:



Kolaps vlnové funkce, o který se zajímáme, je právě přechod mezi „čistou vlnovou funkcí“ popsanou první maticí a statistickým souborem popsaným druhou maticí. Jakmile koherence zmizí, zbyde nám z původní vlnové funkce směs „změřených“ spinů ve směrech nahoru a dolů.

A k čemu vlastně statistické směsi?

Proč se bavím o statistických souborech a jejich popisu, když mne zajímá částice jenom jedna? Chci přeci popsat lokalizaci v jednom experimentu, nikoliv statistickou směs! Jenže operátor hustoty nepopisuje jen směsi mnoha různých částic, ale také směsi ve smyslu očekávaného výsledku. Jakmile proběhlo měření na částici, místo vlnového balíku najednou dostaneme v popisu „statistický soubor“ všech potenciálních výsledků s různou vahou. Nakonec sice částici najdeme jen v jenom stavu, ale soubor očekávaných výsledků a jejich pravděpodobností můžeme popsat dopředu operátorem hustoty. I pro jednu částici má smysl napsat matici hustoty pro statistickou směs - říká to, že částici „po kolapsu“ najdeme s danými pravděpodobnostmi v různých stavech a vlnová funkce už se rozpadla.

Nyní bych chtěl ukázat jednu skutečně zajímavou věc - jakmile pochopíte tento fakt, pochopili jste jádro teorie dekoherence. Pokud mám větší systém a nezajímám se o některé jeho části, nemohu vždy na popis jeho podčástí použít vlnovou funkci. Předveďme si to na systému dvou spinů. Řekněme, že jsou oba ve stavu „doprava“, který už známe, tedy celková vlnová funkce tohoto stavu je ψ₁(→)ψ₂(→). Napíšeme jeho matici hustoty (v bázi ψ₁(↑)ψ₂(↑), ψ₁(↓)ψ₂(↑), ψ₁(↑)ψ₂(↓), ψ₁(↓)ψ₂(↓) ) jako



Jde o obyčejnou matici 4x4, kulatými závorkami jsem jenom naznačil podmatice, které se týkají prvního spinu. Zatímco mezi stavy prvního spinu se pohybujeme přechody uvnitř malých matic, mezi stavy druhého spinu se pohybujeme přechody mezi velkými maticemi. Pokud se o druhý spin nezajímáme, můžeme přejít k tzv. redukované matici hustoty - uděláme stopu přes všechny stavy druhého spinu^*. V tomto případě to odpovídá sečtení horní levé a dolní pravé podmatice, čímž dostáváme matici




Tato matice popisuje stav prvního spinu, pokud se vůbec nedíváme na ten druhý. Ano! To je přesně matice stavu ψ(→), který už známe. Tím jsme se vlastně přesvědčili, že když se ve stavu ψ₁(→)ψ₂(→) nebudeme starat o druhý spin, dostaneme stav ψ₁(→); spiny jsou nezávislé jeden na druhém. V tomto případě první spin vlnovou funkcí zjevně popsat jde.

Teď si ale představme, že se spiny dostanou k sobě, chvíli spolu interagují a pak se vzdálí. Mohly se přitom dostat například do stavu

ψ₁(↓)ψ₂(↑)+ψ₁(↑)ψ₂(↓),

který popíšeme maticí



Tento stav je takzvaně entanglovaný - pokud změříme spin první částice nahoru, automaticky okamžitě a nehledě na vzdálenost, která částice dělí víme, že druhý spin bude v opačném stavu. Pokud opět vystopujeme přes druhý spin sečtením submatic na diagonále, dostaneme - ejhle - statistickou směs!



Z toho plyne, že ačkoliv celková vlnová funkce obou spinů žádným kolapsem neprošla, pokud se budeme dívat jen na jeden ze spinů, uvidíme chování odpovídající statistickému souboru spinů, jaké by byly po pravém kolapsu jejich vlnové funkce indukovaném měřením! Můžeme se na to dívat i tak, že ze stav druhého spinu určuje stav spinu prvního a odnáší tak o něm informaci, čímž první spin „změřil“. Druhé důležité pozorování je, že pokud spin interagoval s něčím dalším, nemohu obecně tento spin již popisovat vlnovou funkcí samostatně (takovou statistickou směs neumím vlnovou funkcí popsat). Buď musím použít operátor hustoty, nebo musím měřením spin opět připravit do čistého kvantového stavu.

Tím jsme si připravili půdu pro další úvahy a příště si povíme něco lokalizaci vlnového balíku při průchodu bublinovou komorou.


^{* Stopování přes stupně volnosti je standardní postup pro redukci matice hustoty. Důvod, proč se redukovaná matice hustoty získá právě takto je, že všechna měření, která plánujeme nadále provádět jsou realizována operátory ve tvaru projektor na měřený stav na prostoru spinu 1 krát jednotka na prostoru spinu 2. Jelikož pravděpodobnosti měření jsou vlastně střední hodnoty projektorů, které tato měření realizují, čili Tr P ρ a jelikož tyto projektory jsou na prostoru spinů, na kterých neplánujeme měřit jednotkou, můžeme přes tyto stupně volnosti vystopovat rovnou a „o nic nepřijdeme“.}