Ilja Prigogine - Řád z chaosu

Nedávno jsem narazil na knihu Řád z chaosu (Order Out of Chaos) od Ilji Prigogina, ruského fyzikálního chemika a laureáta Nobelovy ceny za chemii v oblasti nerovnovážné termodynamiky. Kniha mne zaujala především tím,  že převrací naruby tradiční interpretaci termodynamiky a její souvislosti s mikroskopickou dynamikou (ať už jde o Newtonovy zákony, nebo kvantovou mechaniku). Tradičně se termodynamika vysvětluje skrz statistickou fyziku: v termodynamice hraje ústřední roli veličina zvaná entropie, která vyjadřuje, kolika způsoby může být daný makroskopický stav (stav s danou teplotou, tlakem a pár dalšími makroskopickými parametry) realizován různými mikrostavy (přesné uspořádání molekul v látce nebo její kvantový stav). Podle druhého zákona termodynamiky se entropie nikdy nemůže snižovat. Tradičně je toto vnímáno tak, že je velmi nepravděpodobné, že by se entropie snižovala, protože stavy, které se dají vyjádřit hodně mikrostavy jsou prostě daleko pravděpodobnější. Na termodynamiku se tedy dnes drtivá většina fyziků dívá jako na efektivní teorii, která vyplývá s teorie popisující dynamiku jednotlivých částic, pokud je částic v systému hodně.

Prigogine hájí zajímavý názor, kde začíná z opačného konce: Termodynamika je podle něj fundamentální teorie, stejně jako např. Newtonovy rovnice nebo kvantová mechanika a druhý zákon termodynamiky je přesný zákon, který platí vždy, nejen většinou. Podle něj nejde svět popsat jednotným matematickým modelem: termodynamika a dynamika jsou jen dva limitní případy, které náhodou umíme popsat dobře. Entropie je skutečně fundamentální veličina, která neustále roste a jakmile vzroste, nemůže se již snižovat. Aby takovýto názor byl vůbec hájitelný, musí samozřejmě autor nejprve naznačit, že v teoriích popisujících dynamiku se nachází „díry“, do kterých se může schovat fundamentální zvyšování entropie. (Pokud teorie určuje dynamiku systémů jednoznačně, určuje také jednoznačně chování makrosystémů a tedy termodynamiku.)

Tyto „díry v jednoznačnosti“ ukazuje ve dvou případech. Pro Newtonovskou dynamiku jde prý o body, kdy počáteční podmínky diferenciálních rovnic neurčují jednoznačně, jak se bude vyvíjet dynamika dál. Pokud pro většinu případů zadám systému polohy a hybnosti jeho jednotlivých bodů, bude tím jednoznačně dán jeho budoucí časový vývoj. Pokud ale postavím jehlu přesně na špičku, může zůstat stát (tj. rovnice má řešení, kdy zůstane stát), ale existují také řešení, kdy se v nějakém čase jehla rozhodne začít padat na jednu stranu - časový vývoj je nejednoznačný. Popravdě jsem tento argument příliš dopodrobna nezkoumal^***, neboť klasická mechanika je nahrazena kvantovou mechanikou, takže rozbor Newtonových rovnic je jenom akademickou otázkou. Mám ale dojem, že problém s jednoznačností skutečně existuje - například v elektrodynamice existují řešení, kdy nabitá částice sama od sebe zrychluje a tím způsobuje svoje zrychlování.

Onou „dírou“ v kvantové mechanice, kam se má vejít indeterminismus a zvyšování „fundamentální entropie“ je podle Prigogina, jak jinak, kolaps vlnové funkce. Kolaps v některých interpretacích QM zavádí do teorie skutečný indeterminismus fyzikálního stavu vesmíru a má tedy přesně ty vlastnosti, které Prigogine potřebuje. V další fázi argumentace pak ukazuje jisté nesrovnalosti v klasickém statistickém pojetí termodynamiky. Například kritizuje Boltzmannovo odvození rovnovážného rozložení rychlostí molekul v plynu z rovnic dynamiky s odvoláním na to, že odvození samotné zavádí do pohybových rovnic nesymetrii v podobně zanedbání počátečních korelací mezi rychlostmi molekul plynu a tedy že o žádné skutečné odvození nejde^*. Takový argument je sice zajímavý, ale ve skutečnosti je předpoklad o zanedbání počátečních korelací poměrně rozumný a jsem přesvědčený, že by při bližším zkoumání obstál. (Nejspíše se redukuje na otázku: Proč je v minulosti vesmíru počáteční podmínka s tak nízkou entropií? To je otázka dodnes otevřená, ale nejspíš nesouvisí s formulací termodynamiky jako takové.)

Prigoginův pohled na termodynamiku mi sice připadne velmi neortodoxní a také mimořádně nepravděpodobný, ale uznávám, že je v jistém smyslu hájitelný. Spojení mezi dynamikou a termodynamikou nemá sílu matematické věty a tak odpověď na otázku po jejich spojení zůstává, alespoň trochu, otevřená. Zároveň musím přiznat, že jsem Řád z chaosu nečetl celý, protože Prigogine nešetří pasážemi, kde se asi snaží vzbuzovat ve čtenářích dojem jakýchsi hlubokých historicko-filozofických paralel a četly se mi hodně špatně^**. Mohlo se proto stát, že mi něco podstatného uteklo, doufám ale, že racionální jádro jsem z knihy vytáhl. Nicméně jsem díky knize rozšířil svoji metaforickou sbírku obskurních hájitelných světonázorů, což je vždycky zajímavé.


<sup>* Těmi korelacemi se myslí následující: když si nafilmuji, jak se plyn nerovnovážně rozpíná z malého objemu do velkého, přičemž roste entropie, pak je samozřejmé, že pokud za počáteční podmínku svého modelu vezmu stav, do kterého se plyn dostal a obrátím rychlosti, časem se dostanu nikoliv k rovnovážnému rozdělení plynu vyplňujícího velkou krabici, ale k plynu v malé oblasti prostoru, kde byla původní malá krabička. Molekuly prostě zopakují svůj pohyb pozpátku jako kdybychom pustili pozpátku film a udělají tu nepravděpodobnou věc, že se samy od sebe vrátí do krabičky. Za to přesně můžou ony zanedbané korelace v počáteční podmínce. Zanedbané jsou ale samozřejmě z dobrého důvodu - že se trefíme do takovéto speciální počáteční podmínky je totiž nesmírně nepravděpodobné - můžete zkusit na podomácku udělané počítačové simulaci.

** A navíc jsou fyzikálně irelevantní - jakmile je teorie jednou na světě, je jedno, jak na svět přišla. Jediné, co je podstatné je, jestli obstojí při srovnání s experimentem. Buď je správná, anebo není. Stejný přístup se snažím držet si i v literatuře a naprosto odděluji život autora a jeho dílo.

*** Po dopsání příspěvku jsem jej samozřejmě zkoumat začal :-). Nejednoznačné body se v teorii skutečně objevují, ale jen pro potenciály jistého druhu. Např. s padající jehlou ve skutečnosti žádný problém není, protože potenciál v okolí stabilního bodu jehly postavené na špičku není nijak strmý (má nulovou derivaci). Problém se objeví teprve pokud je potenciál dost strmý na to, aby jehla, kterou stavíme pořád přesněji na špičku nepadala ze stabilní polohy nekonečně dlouho. Tuto vlastnosti má např. rovnice y'(t) = y(t)^(1/2) s počáteční podmínkou v nule. Tím spíše mi není jasné, proč Prigogine viděl v této vlastnosti problém - je poměrně dost speciální. Pokud by byly fundamentální potenciály mezi částicemi alespoň trochu „rozumné“, problém by se neobjevil.</sup>

Informatika a termodynamika

Nedávno jsem se opět setkal s velice zajímavým fyzikálním konceptem, o kterém jsem dřív neměl ani tušení. (Ano, taková věc mi vždy udělá radost a mám pak neodolatelnou touhu se o ni podělit..) Velmi zběžně jsem četl knihu Feynman Lectures on Computation a kromě základů informatiky, které jsou dnes poměrně široce známé, jsem zde narazil na popis výpočetního procesu z hlediska termodynamiky. Základní tvrzení říká, že pokud chci uložit nějakou informaci na pásku bitů, potřebuji k tomu zvednout entropii alespoň o jistou minimální hodnotu. Chvíli jsem četl související detaily a uvědomil jsem si, že vlastně v jistém smyslu špatně rozumím pojmu entropie. Co jsem se dozvěděl zkusím shrnout v tomto článku.

Když se člověk naučí klasickou termodynamiku, často se smíří s pojmem entropie a od té doby jej považuje za zcela fundamentální veličinu. Ze zákona maximalizace entropie při dané energii se dá odvodit celá termodynamika a v tomto smyslu ji pak dále používáme. Ve skutečnosti ale není zase tolik fundamentální a celý koncept entropie vyžaduje naši neznalost o systému - dohodu, že přesný stav systému neznáme a měříme jenom termodynamické veličiny (teplotu, tlak, objem..) Entropie je pak počet mikrostavů (v klasické fyzice míra ve fázovém prostoru), které realizují stejné termodynamické veličiny. Kdybychom znali stav systému dostatečně přesně, pak jeho entropie nemá úplně význam. Vybaveni takovou znalostí bychom mohli např. postavit stroj, který by libovolně snížil entropii daného systému. Jak? Jednoduše bychom ze znalosti jeho časového vývoje vypočetli, kdy nastane přesně taková fluktuace, že v daném objemu nebude žádná molekula a potom bychom tento objem oddělili od zbytku. To lze udělat limitně bez vynaložení energie. Opakováním této procedury bychom se dostali do stavu, kdy plyn (dejme tomu, že jde o ideální plyn) zaujímá daleko menší objem, než zaujímal před procesem a jeho entropii jsme tak snížili bez jejího zvýšení na své straně. Tento jednoduchý myšlenkový experiment nás přivádí k poznatku, že informace o systému nám umožňuje snižovat jeho entropii. Pokud má ale entropie ve světě vzrůstat, dojdeme k závěru, že ukládání informace naopak entropii nutně musí zvyšovat někde jinde. Např. slavný Maxwellův démon^* nemůže fungovat právě kvůli tomu, že by informaci, kterou o molekulách získá musel někam ukládat, což vyžaduje zvýšení entropie o přiměřené množství^**.

Jaká je entropie jednoho bitu? Představme si, že máme pásku krabiček, kde v každé je jedna částice a dvě potenciálové jámy - jedna představuje hodnotu 0 a druhá hodnotu 1. Pokud zacházíme se zprůměrovanou polohou částice, můžeme o jednotlivých krabičkách mluvit jako o ideálním plynu obsahujícím jednu částici. Představme si dále, že chceme pásku vynulovat, tj. ujistit se, že všechny částice jsou v potenciálové jámě příslušející hodnotě 0. Pokud nevíme⁺, kde se v krabici částice nachází, musíme vynaložit energii na to, abychom pístem zatlačili na částici a ta zaujala poloviční objem. Tím jsme mj. snížili entropii tohoto plynu o jedné molekule, podle vzorce pro změnu entropie ideálního plynu můžeme snadno říci, že o k_B log 2⁺⁺, což je přesně entropie zpracování jednoho bitu. Pokud bychom ale věděli, v jakém minimu potenciálu (a tedy v jakém stavu) se částice nachází, stačilo by krabici reverzibilně otočit a tím bychom ji uvedli do kýženého stavu bez vynaložení energie nebo manipulace s entropií. Argument lze i obrátit a říci, že pokud víme, v jakém stavu se páska nachází, můžeme ji zahřát (čímž práci konat nemusíme) a přiložením pístu na správnou stranu můžeme z pásky vyrobit energii, čímž se páska randomizuje. Z toho tedy (alespoň zhruba) vidíme, proč nakládání s informací nutně zvedá entropii a že existuje velmi přímý link mezi entropií a neznalostí/znalostí systému.

Pro zajímavost a úplně na okraj jsem si spočítal, že kdybychom vytěžili veškerou entropii produkovanou Sluncem, mohli bychom zpracovat 1,5·10⁴⁶ bitů za sekundu. (Kdybych mluvil jen o záření dopadlém na Zem, bylo by to 7·10³⁶ bitů za sekundu.)

<sup>* Maxwellův démon je zařízení obsluhující přepážku mezi dvěma komorami s plynem. Jakmile se blíží rychlá molekula z komory 1 do komory 2 nebo pomalá molekula z komory 2 do komory 1, démon ji změří a zaklapne záklopku. V opačném případě záklopku otevře. V klasické fyzice měření nepředstavuje problém, takže nakonec bude v komoře 2 vyšší teplota než v komoře 1 bez vynaložení energie. Jedná se o perpetuum mobile druhého druhu a v článku diskutovaná teorie je jedním z důvodů, proč Maxwellův démon nemůže fungovat.
** Problém není v samotném procesu měření, v klasické fyzice lze měřit libovolně přesně s libovolně malým narušením systému.
+ Ano, tady vstupuje do hry že pokud chceme mluvit o entropii, potřebujeme specifikovat naši míru neznalosti, resp. znalosti o systému - s plnou informací entropie nedává smysl!
++ Není úplně košér, že operujeme s ideálním plynem a přitom mlčky předpokládáme, že v krabici je potenciál, který částici nutí být typicky jen ve dvou stavech. Feynman to v oné knize dělá podobně a odvolává se na to, že podrobnější termodynamická teorie existuje - já ji příliš do detailů nezkoumal. Další věcí, ze které vidíte, že jde nejlépe o náhled je, že není důvod, abychom dvoustavový systém s kuličkou stlačovali zrovna na polovinu objemu. Zde bychom se asi mohli ohánět jen symetrií fázového prostoru. Argument tedy není správně, ale alespoň funguje jako náhled a vede na správný výsledek.</sup>