Přednášky z astrobiologie II

Po absolvování posledního bloku přednášek z astrobiologie jsem se rozhodl zapsat ještě několik dalších perliček, o které se rozdělím. (Mj. abych je sám nezapomněl.) Samozřejmě si uvědomuji, že molekulární biologii vůbec nerozumím, takže budu vděčný za opravy nepřesností, které mi unikly.. Takže směle do toho!

Univerzalita genetického kódu
Možná jste se zamýšleli nad tím, nakolik by bylo odlišné genetické kódování potenciálního mimozemského života. V minulém příspěvku jsem psal, že je představitelných několik koster nukleových kyselin. Nemusí ji tvořit ribosa nebo deoxyribosa, ale třeba i peptidy, nebo jiné látky. V následující přednášce jsme zkoumali, nakolik jsou univerzální báze a kód, na základě kterého se podle nich kóduje tvorba proteinů. Velice zajímavou souvislostí je, že ačkoliv je dnes namodelováno, nebo i experimentálně připraveno mnoho bazí, které by mohly nahradit ty používané námi, cytosin, adenin, guanin a uracil (potažmo thymin) jsou něčím vyjímečné. A to sice tím, že jsou-li excitovány UV zářením, oproti většině alternativních bazí se velmi rychle vracejí do základního stavu - rozdíl je přitom značný [1] (z 10^-8 s na 10^-12 s). To je klíčové pro stabilitu nukleových kyselin proti UV záření. To totiž molekulu nerozbíjí tak, že by přiletěl foton, který ji prostě rozštípne. Jen ji excituje - a excitovaná molekula je chemicky vysoce nestabilní. Čím dříve se na základní stav vrátí, tím větší je šance, že se molekula nerozštípne. Pokud by se tedy život vyvíjel v prostředí s UV zářením, je velmi pravděpodobné, že by zvolil tytéž báze. Oproti nim však např. ještě existuje varianta, kde je každá z bazí rozšířena o aromatický kruh [2]. Jejich vlastnosti se zdají být podobné (čili tato varianta by asi byla rovněž přípustná) a navíc jsou odolnější vůči teplotě. Je tedy jakási šance, že by je mohly používat organismy, které se již od začátku musely vyrovnat s vyššími teplotami.

Modifikované báze DNA, a vzhled alternativní šroubovice. [2]

Genetický kód je však něco docela jiného. Pro ty, kteří nejsou příliš biologicky zdatní, stejně jako já, napíši, že proteiny se v živých organismech staví tak, že molekula tRNA tvoří jakousi čtecí hlavu, která se přes slabé vazby váže na „datovou pásku“ - mRNA. Z prostorových důvodů, které vypadají v případě nukleových kyselin poměrně univerzálně, se kontakt uskutečňuje vždy přes tři báze (druhá je v nejsilnějším kontaktu, třetí v nejslabším). Podle trojice bází a podle tvaru tRNA se na řetízek proteinů tRNA již tažený, připojí další aminokyselina, nebo se řetízek přeruší. V něm obecně platí, že co nejvíce informace nese druhá pozice (je nejpevnější, tedy i nejméně chybová) a že složitější aminokyseliny jsou kódovány méně redundantně, protože tRNA nemusí zaujmout tolik speciální tvar, aby je připojila. Genetický kód však není univerzální a pro některé živočichy se liší. V průběhu evoluce života se pravděpodobně výrazně měnil. Předpokládá se, že původní přiřazení bylo vesměs náhodné (tRNA není ničím speciální - už dnešní biotechnologie ji umí modifikovat tak, aby kódovací tabulku změnila - a to dokonce přímo uvnitř živých buněk). Případný mimozemský virus (pokud se nevyvinul na místě, odkud byl život ze Země nebo naopak zavlečen - viz teorie panspermie) by tedy byl pro nás zcela neškodný - při syntéze by totiž dostal úplně jiné proteiny, než na jaké je zvyklý.

Alternativní postranní řetězce k RNA - threosová, peptidová, odvozená z glycorelu a z pyranosylu. B značí bazi.

Masová vymírání
Pokud bychom chtěli vyšetřit, jak stabilní podmínky mnohobuněčný život potřebuje, nejlepší je pravděpodobně podívat se na to, za jakých podmínek na Zemi došlo k velkým vymíráním. Asi nejznámějším z nich je vyhubení dinosaurů před 65 milióny let, které dlouho bylo nevyřešenou záhadou. Dnes již panuje všeobecná shoda, že za jejich vyhubení je zodpovědný impakt planetky o rozměru cca 10 km, který způsobil nejprve horkou rázovou vlnu, která spálila většinu lesů na planětě a poté dlouhé období zimy, které zahubilo plankton a velkou část rostlinstva a tak přerušilo potravní řetězce na planetě. (Jako jeden z hlavních důkazů se uvádí vrstvička iridia - prvku jinak na Zemi vzácného - nacházející se v příslušné geologické vrstvě všude na planetě. Pod ní je vždy vrstva utvořená ze schránek živočichů a těsně nad ní už jen vrstva sedimentů.. Vcelku přesvědčivý argument.)

Co je ovšem zajímavé je, že se zdá, že bylo nějméně několik ještě fatálnějších vymírání, kdy žádné náznaky kosmických impaktů nejsou, nebo jsou přímo vyloučeny. (Před 199-214 mil. lety, před 251 mil. lety před 364 mil. lety, ..) Jako pravděpodobný mechanismus se jeví masivní výlev lávy, který se tou dobou odehrál. Tyto události jsou totiž spojené s výlevy lávy při rozpadu kontinentu Pangey a při vzniku tzv. Sibiřského a Dekanského trapu. Oba trapy jsou masivní vrstvy lávy rozkládající se na značném území Sibiře a Indie. Tak velký výlev měl mnoho neblahých důsledků - výrazné zvýšení koncentrace SO₂, CO₂ a CH₄ v atmosféře vedlo jednak k mohutnému skleníkovému efektu a rychlé změně klimatu, ale i k redukci atmosféry a poklesu hladiny kyslíku. Podle poměrně nové teorie z r. 2005 [6] tyto podmínky svědčí anaerobním mikroorganismům žijícím na dně moře a produkujícím H₂S. Právě jejich biologické markery byly nalezeny ve vrstvách z epizod některých významných vymírání. (Tuto informaci nemám z Kopeckého přednášky, takže snad jsem to nemisinterpretoval..) Zdá se, že prudký nárůst teploty a redukce atmosféry způsobí jejich rozšíření, které se projeví zrůžověním části moří, ve kterých se vyskytují. Nakonec to tedy možná není nedostatek kyslíku nebo teplo, ale nadprodukce sulfanu, který mnohobuněčný život zkrátka otráví. Peter Ward o této teorii mluví v následujícím TEDTalku [7]. (Ward rovněž uvádí, že při 1000 ppm oxidu uhličitého v atmosféře kompletně roztají polární čepičky a při asi dvakrát vyšší koncentraci začíná „efekt růžových moří“ - CO₂ však není jediný plyn, jehož koncentrace se měnila.)

Bezkyslíkaté prostředí v mělkých mořích může způsobit rozšíření bakterií produkujících sulfan - při masovém rozšíření vede k vymíráním [7], [9].

Na konci Permu, před příchodem éry dinosaurů, bylo množství kyslíku v atmosféře tak velké, že hořelo skoro i mokré dřevo. Toto množství kyslíku začátkem Triasu rapidně pokleslo. Tehdy souši vládla zvířata ne nepodobná dnešním savcům. Přestože mohla být životaschopnější za běžných podmínek - byla chytřejší a teplokrevná, měla větší nároky na kyslík, díky čemuž pravděpodobně během období redukce atmosféry a jejího zamoření sulfanem podlehla plazům. Z toho, jak může být zemská tektonika fatální lze nepřímo usuzovat, že planety těžší než Země s větší tektonickou činností, mohou svůj mnohobuněčný život pravidelně hubit - to by ještě zúžilo aktuální rozmezí hmotností planet, na kterých se život může vyvinout.

Dobrou příležitost k výzkumu vymírání představuje kompendium asi 36 000 druhů mořských měkkýšů, kteří mají relativně stabilní podmínky v podstatě celou dobu své historie. Podle vývoje počtu jejich druhů můžeme datovat vymírání poměrně podrobně. Ukazuje se, že impakty planetek na Zemský povrch pravděpodobně nejsou tak fatální, jako velké výlevy lávy (co do počtu vyhynutí), ale zato jsou častější. Ve vymíráních lze vypozorovat dvě významné frekvence. ~ 63 milionů let a ~ 140 milionů let. (První je jistá, druhá je těsně na hranici chyby.) Není bez zajímavosti, že právě toto jsou periody, se kterými Slunce prochází spirálními rameny Mléčné dráhy a galaktickou rovinou - tedy místy s větší hustotou hvězd. Pravděpodobný scénář těchto periodických vymírání tedy je, že blízké hvězdy naruší dráhy těles na vnějšku Sluneční soustavy a tím se zvýší množství dopadů na vnitřní planety. (Zda dopad planetky nastartuje „efekt růžových moří“ nebo ne nevím. Pravděpodobně však není vyhrazen jen pro výlevy lávy.)

 Efekt růžových moří zjištěný pomocí biomarkerů anaerobních bakterií vyžadujících sulfan - [9].

Jak je Země vzácná?
Téměř pokaždé, když Vám někdo něco povídá o mimozemnském životě, přijde ke slovu Drakeova rovnice pro výpočet četnosti mimozemských civilizací. Ta je sice z definice správná, ale obsahuje spoustu pravděpodobnostních koeficientů, které většinou nejsme schopni nijak blíže odhadnout. Přesto mi přišlo zajímavé se zamyslet nad jednotlivými členy. Hlavní slovo bude mít člen zodpovědný za výskyt planet podobných Zemi. Ten dnes můžeme odhadovat jednak z pozorování exoplanet a z modelování vzniku slunečních soustav. Předevěším se ukazuje, že se poměrně velmi často stává, že dráhy plynných obrů jsou nestabilní a během vývoje migrují. Nezanedbatelné procento soustav skončí s „horkým Jupiterem“ někde kolem vzdálenosti Merkura, který skrz gravitační rezonance vymete všechny menší planety z obyvatelné zóny. Toto vymetení se může udát i během procesu migrace planet, aniž by se plynní obři přímo dostali do blízkosti hvězdy. (Bohatě stačí jedna, která má výstřední dráhu a jednou za čas prolétne dostatečně blízko.) Navíc je ovšem vhodné mít tyto planety vně, protože třeba Jupiter odvrací velké množství impaktů svou přítomností. (Jak jsem psal minule - tento fakt by znamenal, že život na měsíci takové planety by měl sice zaručenou stabilní dráhu, ale musel by si poradit s častými impakty a vysokou radiací plynného obra - a jak mohou být impakty fatální víme díky vymíráním.)

Další nepravděpodobnou věcí je velký měsíc, který má poměrně důležitou funkci, neboť stabilizuje rotační osu Země. Zachycení takové oběžnice v podstatě není možné - soudí se, že Měsíc vznikl srážkou s tělesem velikosti Marsu a vyvržením části hmoty na oběžnou dráhu. Taková událost je poměrně málo pravděpodobná. Kromě toho, že Měsíc stabilizuje osu, podporuje slapovým působením deskovou tektoniku, která je v jisté míře důležitá, aby všechny biogenní sloučeniny neskončily pasivně v usazeninách a údajně snad mohl hrát jím způsobený přiliv a odliv roli při vzniku života pravidelným zavlažováním a následně odpařováním zahušťováných pobřežních jezírek, kde se život mohl vyvíjet, nejsem tak úplně přesvědčený, že bez něj by to nešlo. To už je ale velmi spekulativní závěr.

Pak je tu ještě omezení na velikost. Planety menší než je Země budou ztrácet poměrně rychle vodu do kosmického prostoru (permanentně uniká i ze Země) a rychle zchladnou a ztratí tenktonickou činnost, důležitou pro aktivní biosféru. Jak jsem psal výše, větší planety zase mohou mnohobuněčný život nadměrnou tektonikou hubit.

Hypotézou, která by už tak nízkou pravděpodobnost výskytu Země znížila na naprosté minimum je hypotéza vzplanutí jádra galaxie. (Také dosti spekulativní, přesto zajímavá.) Astronomové pravidelně pozorují tzv. Seyfertovy galaxie. Jsou to spirální galaxie, kde černá díra uprostřed nesedí pasivně, jako v té naší, ale polyká velké množství hmoty, které se dostalo do jejího okolí. Jádro takové galaxie je pak až stokrát zářivější, což má za následek sterilizaci všeho živého v celé galaxii vlivem gama záření, je-li jádro na dohled (to naše není), popř. intenzivním částicovým bombardováním, i pokud viditelné není. Četnost vzplanutí jádra spirálních galaxií se odhaduje na jednou za milion až miliardu let. Hypotéza říká, že i Mléčná dráha byla několikrát Seyfertovou galaxií - oběžná dráha Slunce je však natolik speciální, že se Slunce opakovaně nacházelo ve spirálním rameni, když ke vzplanutí došlo. (Slunce skutečně má jinou rychlost než okolní hvězdy.) Tamní vyšší hustota plasmy by částicové bombardování odstínila a tím by se život na Zemi zachránil. Tato teorie je sice značně spekulativní, nicméně pokud by byla pravdivá, pak nejen, že jsme v naší galaxii skoro jistě sami, ale i pravděpodobnost vzniku inteligentního života v jiných spirálních galaxiích bude mizivá. (Ward v knize Vzácná Země uvádí, že eliptické a nepravidelné galaxie mají pro život příliš nízkou metalicitu, takže možná mnohobuněčný život vůbec bude velmi vzácný, zdroj jsem ale ještě neověřil.

I když pomineme Seyfertovy galaxie, zdá se, že ačkoliv může být vznik mikrobiálního života poměrně pravděpodobný a hojný, podmínky potřebné pro mnohobuněčný život budou daleko více speciální.

Citace:

• [1] - PNAS 103, 8691-8696 (2006)
• [2] - Science 302, 868 (2003)
• [3] - Mal’nev: The dynamical evolution of stellar-planetary systems, SpringerLink (2006)
• [4] - Thommes: Gas Disks to Gas Giants: Simulating the Birth of Planetary systems, Science 321, pp. 814
• [5] - MJ Health: Springerlink 29, 405 (1999)
• [6] - Kump et. al., doi: 10.1130/G21295.1 - přístup nemám
• [7] - Ward, TEDTalk 
• [8] - Danovaro, The first metazoa living in permanently anoxic conditions
• [9] - ad Purple bacteria, presentation

Přednášky z astrobiologie

Nejsou zase až tak daleko doby, kdy zkoušet vůbec odhadnout, jak vypadal začátek našeho vesmíru vyvolalo spíše úsměv fyziků, než seriózní zájem. Mám dojem, že pojem astrobiologie, tedy věda zkoumající, kde všude bychom měli ve vesmíru hledat život a jak by mohl vypadat, bude u mnohých dnes také vzbuzovat přinejmenším podezření. Přesto se spojením znalostí astronomie, chemie, biologie, geologie a fyziky dá o životě ve vesmíru říci už poměrně hodně. Tento příspěvek jsem se rozhodl napsat v reakci na výbornou přednášku RNDr. Vladimíra Kopeckého, Ph.D., kterou letos navštěvuji, abych se podělil alespoň o to nejzajímavější.

Jak může život vypadat?
První zajímavá otázka je, jak obecně může život vypadat? (Ponechávám stranou otázku, co život je - vesměs ale hledáme něco, co funguje si udržuje nízkou entropii za vysokých teplot (je dlouhodobě mimo termodynamickou rovnováhu) a je schopno se rozmnožovat, i když definice se liší.) I když v principu není vyloučené, že by život nefungoval na chemickém principu (zvířátka uplácaná z neutronového degenerovaného plynu na neutronových hvězdách, jako to píše Forward v Dračím vejci), jen o běžné hmotě založené na atomech víme dost, abychom ji mohli nějak seriózně vyšetřovat. Nejprve jsme se zaměřili na otázku, zda může být život postaven na jiných sloučeninách, než na sloučeninách uhlíku. Tvorby delších řetězců jsou schony v zásadě jen bor, dusík, uhlík, křemík a fosfor. Sloučeniny boru, dusíku a fosforu jsou však velmi nestabilní, takže jsme je rovnou vyloučili.

Křemík vyžaduje delší vyšetřování. Ten má však oproti uhlíku několik nevýhod - především nemá vazby s kyslíkem vodíkem a sám sebou na stejné, přijatelné energii. Vazba s kyslíkem je příliš pevná, takže spolu s kyslíkem velmi ochotně oxiduje (a to dokonce i ve vodě) a výsledné sloučeniny jsou inertní za teplot nižších než několik stovek °C. Vysoké teploty a tlaky omezením nejsou, ale pro takové sloučeniny je těžké najít rozpouštědlo. Pokud by v daném prostředí nebyl přítomný kyslík, samotná chemie silanů, polymerů křemíku a vodíku, je poměrně bohatá. Jen funguje za nízkých teplot a vysokých tlaků. Voda pro ně není vhodným rozpouštědlem kvůli reakci s kyslíkem, ve hře však zůstáván třeba metan. Další nevýhodou křemíkové chemie je tzv. stínící efekt, který narušuje aromaticitu případných benzenu-podobných jader, což dělá Si-chemii chudší. Dalším zajímavým kandidátem by mohly být zeolity postavené z Si-O tetraedrů fungující za teplot kolem tisíců stupňů. Takové podmínky jsou např. v zemském plášti, nic zajímavého zde však nepozorujeme.

Pokud se smíříme s tím, že uhlík je díky svým speciálním vlastnostem (které samy o sobě mohou být docela dobře vyladěné pro život, vezmeme-li do úvahy, jak málo by bylo možno pohnout třeba hmotností elektronu, aby jeho vlastnosti zůstaly stejné, nebo poměru protonu k neutronu, aby vůbec ve hvězdách uhlík vznikl) opravdu nejlepším kandidátem pro vznik života, můžeme se zaměřit na skupenství, v jakém by typicky měl život vznikat. Vybudovat život pouze v plynné fázi je velmi těžko představitelné, protože jelikož plynných termodynamických fází nemůže existovat vedle sebe více a nemáme tak ekvivalent hydrofilního-hydrofóbního chování, které skrz lipidové dvojvrstvy odděluje biogenní látky od okolí. Zkrátka by bylo pro takový život příliš těžké bojovat s difuzí a s výkyvy hustoty. Kapalné skupenství pomáhá udržovat stabilní koncentrace látek a zároveň umožňuje, narozdíl od pevných látek, jejich rychlý transport mezi jednotlivými reakčními místy. Proto jsme v další fázi přednášky hledali možná vhodná rozpouštědla, na kterých by se dal uhlíkatý život postavit. (Podle [1].)

NH₃ - menší povrchové napětí než voda (ne tak dobře koncentruje molekuly, snáz se vypařuje), rozklad N-H vazby nechrání před UV zářením
HCN, H₂S, CH₃OH - problematické z různých podobných důvodů.
HF - velmi podobná vodě co do vlastností, ale fluoru je ve vesmíru 1000x méně než C,N,O
N₂H₄ - vhodný, ale reaguje prudce s kyslíkem, prostředí bez něj těžko je těžko představitelné.
CH₄, C₂H₆ - jsou možné a podporují i vznik aminokyselin, jen narozdíl od předchozích jsou nepolární, takže by všechny membrány musely být postaveny naopak. To je možné, ale nemáme s tím příliš zkušeností.

Přesto najít něco schopné nahradit vodu nemusí být snadné, protože má mnoho anomálií:

• Vytváří vodíkové můstky - brání tak lépe výkyvům teploty (vyšší tepelná kapacita) a je tekutá za daleko většího rozmezí teplot a tlaků, než by měla tak malá molekula být.
• Má velký dipólový moment, je tedy značně polární a vytváří možnost hydrofilního/hydrofobního chování.
• Vytváří iontové formy (H₃O⁺, ...) zvyšující rozpustnost.
• Má přes 40 anomálií, hodně z nich je důležitých pro život. (Např. maximum hustoty v kapalné fázi, vytváření pravidelných struktur kolem organických molekul skrz vodíkové můstky, apod.) 

Jaké jsou možné způsoby zisku energie?
Z naší biosféry známe mnoho způsobů příjmu energie. Především fototrofii (zisk ze světla fotosyntézou) a chemotrofii (zisk rozkladem látek získaných z jiných živočichů). Lze si však představit i mnoho jiných a mnohdy je překvapivé, že je náš život nerealizuje. Fototrofie je např. možná i na nižších vlnových délkách - od infračervené až k mikrovlnám. Jen by bylo potřeba stavět daleko větší "antény", takže se taková investice nevyplácí. Zisk z UV záření příliš pravděpodobný není, protože UV rozkládá téměř všechny organické biomolekuly. Pak je ale ještě mnoho dalších možností - např. kinetotrofie, kdy živočich získává energii z okolo proudící vody, např. pomocí pohyblivých brv. Další možností je termotrofie - takový živočich by fungoval podobně jako parní stroj. Seděl by u nějakého horkého zřídla, nahřál by se a potom by odešel do chladnější oblasti - tak by vlastně konal Carnotův cyklus. Takový způsob zisku energie by mohl být klíčový např. pro případný život na Europě - Jupiterově měsíci, kde by mohl být díky slapovým silám pod zmrzlým povrchem velký oceán vody - tedy v prostředí, kde žádné světlo není. Podobnou věc by šlo provádět i na úkor osmotického nebo iontového gradientu, pokud by se v daném prostředí vyskytoval. (Gradient koncentrace soli v našem moři ale dostatečný není.) Naproti tomu gravotrofii nebo magnetotrofii (zisk energie z gravitačního nebo magnetického pole) můžeme v podstatě vyloučit - jsou příliš neefektivní, snad jen kromě jinak letálního okolí neutronových hvězd.

Obyvatelné zóny kolem hvězd
Poměrně hodně článků se věnuje tomu, jaká oblast kolem hvězd jakého typu je vhodná pro terrestické planety hostící život. (Např. [2], odkud jsem si i půjčil některé obrázky.) Především se většinou předpokládá život založený na uhlíku a vodě. Příliš hmotné hvězdy se předem vyloučí, protože jejich životnost je jen stovky milionů let, což nestačí pro stabilizaci podmínek na planetách. Obyvatelná zóna se pak počítá podle výkonu hvězdy se zohledněním atmosféry a jejího spektra co do skleníkového efektu. Vnitřní okraj je dán bodem, kdy se odpaří dost vody na vyvolání sebepodporujícího skleníkového efektu, při kterém se vypaří oceán. (Kupodivu nejsme této hranici zase tak moc daleko - jen pět procent vzdálenosti.) Za horní hranici se často bere teplota, kdy už ani skleníkový efekt neudrží oxid uhličitý před zmrznutím - pak totiž již nebude žádný skleníkový plyn, který by se mohl hromadit ze sopečné činnosti který by stav zmrzlosti mohl zvrátit. Na grafu je takto vyhraničený pás značen písmeny HZ (habitable zone). Také se musíme dívat do průniku s oblastí, kde se typicky tvoří zemi-podobné kamenné planety. Z toho, že menší hvězdy žijí déle a je jich více by se dalo soudit, že by měly být pro život nejvhodnější. To je asi pravda, ale jen do jisté míry. Jakmile je hvězda příliš malá, září tak slabě, že planety musíme přistrčit velmi blízko k ní. Pak ale daleko rychleji vznikne vázaná rotace (čára "tidal lock radius" a oblast vlevo od ní na grafu), takže planeta na tom bude jako náš Měsíc vzhledem k Zemi - bude hledět neustále jednou stranou ke hvězdě a opačnou od ní. Takový stav je pro život udržitelný jen asi s 1,5 krát hustší atmosférou, která by teplo rozváděla. (Když ponecháme otázky, jaké vichry by asi na takové planetě panovaly.) Protože je však taková planeta příliš blízko atmosféry hvězdy, je docela pravděpodobné, že by byla atmosféra odfouknuta - červení trpaslíci tedy nejsou asi tím nejlepším kandidátem.

Oblast obyvatelné zóny, zóny tvorby planet a zóny vázané rotace planet podle vzdálenosti od hvězdy a hmotnosti hvězdy.

 Rozsah obyvatelné zóny hvězd daných spektrálních typů podle věku hvězdy. U jasných hvězd je obyvatelná zóna utnuta přeměnou v červeného obra (u Slunce už v grafu není). Zóna se posouvá, protože hvězda se stále ohřívá,

Měsíce velkých planet
Zajímavou myšlenkou je rovněž zkoumat měsíce velkých planet Jupiterova typu v obyvatelné zóně, jako byla třeba Pandora ve známém Avatarovi. Pak odpadá starost o to, zda se tvoří terrestické planety ve vhodné vzdálenosti. Ačkoliv se plynní obři v obyvatelné zóně typicky nezrodí (sluneční vítr je tak silný, že vodík a helium odfoukne), jak se ukazuje z modelů i pozorování exoplanet, plynní obři mohou do vnitřního pásu doputovat a nevypařit se. Neměli bychom však zapomínat, že plynní obři mají velmi silné magnetické pole, které je provázeno silnou částicovou radiací (plazma zamrzlé v magnetickém poli) - měsíc by tak musel být geologicky aktivní a mít silné magnetické pole, které by jej chránilo. To by neměl být problém - i u těles mnohem menších než Země (vyžadována je alespoň pětina hmoty, kvůli udržení atmosféry) slapové síly centrální planety geologickou aktivitu zaručují. (Jen tak bokem - ta je údajně důležitá i proto, aby se všechny stavební prvky neusadily v usazeninách, čímž by byly vyňaty z koloběhu života - geologická aktivita je vrací skrz sopečnou činnost zpět do oběhu.)

Druhý problém spočívá v tom, že obří planety velmi často zachycují asteroidy a komety. Takže zatímco nás před nimi vhodně postavený Jupiter vlastně chrání, případná Pandora by čelila daleko větší frekvenci srážek. Otázka je, jestli za takovýchto podmínek mohou složitější živočichové úspěšně fungovat.

Obyvatelná zóna galaxií
Obdobně, jako se dá stanovit obyvatelná zóna kolem hvězd, dá se na základě jistých úvah odhadnout, které oblasti v galaxii budou pro vznik života vhodné. Tyto úvahy, čerpané z článku [3], vychází ze dvou poměrně dobře modelovatelných parametrů - v četnosti supernov, které život cca do 30 světelných let spolehlivě hubí, a tzv. metalicity, tedy zastoupení prvků těžších než helium, ze kterých je život postaven. (Název metalicita plyne z toho, že pro astrofyziky je cokoliv těžšího než helium "kov".) Zatímco ve středu spirální galaxie je mnoho těžkých hvězd, které okolí obohacují o stavební prvky, supernovy jsou zde tak časté, že každých pár set milionů let je život smeten. Na okraji galaxie se zase předpovídá tak nízká metalicita, že není z čeho stavět. (Některá novější pzorování však údajně i v těchto oblastech zjistila formaldehyd v molekulárních mračnech, takže i zde stavební prvky jsou - to se přičítá pohlcení menších galaxií tou naší, takže graf je třeba brát trochu s rezervou.) Autoři mj. také vyřazují oblast s příliš vysokou metalicitou, protože pak se očekává, že se budou tvořit místo terrestických planet především plynní obři, jejichž satelity pro vznik života autoři neuvažují. A v neposlední řadě předpokládají jakési rozdělení pravděpodobnosti, že se život za jistou dobu stihne vyvinout, čímž se diskvalifikují příliš mladé hvězdy - takový parametr je ovšem vysloveně spekulativní - horní oblast grafu tedy úplně vyřadit nelze.

Obyvatelná zóna spirálních galaxií - pokud by naše galaxie nekanibalizovala galaxie menší, bude její okraj příliš chudý na prvky těžší než helium, aby mohl život vzniknout (světle modrá oblast). Poblíž centra naproti tomu zase bude příliš mnoho supernov (červená oblast), nebo bude těžkých prvků tolik, ze se místo terrestických planet utvoří jen plynní obři (tmavě modrá oblast). Vodorovná osa udává vzdálenost od jádra galaxie, svislá čas, kdy se hvězda tvořila.

Chemie počátků života
Dalším velkým tématem je, kde se vlastně vzaly organické látky, ze kterých původní život pravděpodobně vznikl. Zde se již nebudu pouštět do takových detailů - nejlépe, když si na přednášku z astrobiologie zajdete sami. Velice zajímavé ovšem je např. to, že už v samotných mračnech mezihvězdného plynu se najde hodně složitých organických látek. Hustota v těchto mračnech je taková, že zde se zde dvě vybrané molekuly srazí asi jednou za jeden a půl roku, takže téměř všechny reakce musí probíhat buď díky záchytu molekul na prachových zrnkách, kde se koncentrují do poměrně složité vrstevnaté struktury, nebo v rázových vlnách, kde je hustota vyšší. Ukazuje se, že kromě bohatého spektra jednodušších látek (HCN, formaldehyd, ..) se v pračnech nachází fullereny a především polycyklické aromatické uhlovodíky, které mají poměrně slušný potenciál představovat základ organické chemie v rodících se planetách. V drobném množství se vyskytují i aminokyseliny. Většina těchto látek je však, jakmile se hvězda zažehne, rozbita UV zářením - dokonce ani v kometárním materiálu se ve Sluneční soustavě již polycyklické aromatické uhlovodíky nenašly.

Aminokyseliny a další stavební bloky však není, jak se ukazuje, žádný problém v redukční atmosféře připravit abioticky (viz Millerův experiment), dokonce ani báze nukleových kyselin (Oró experiment). Jediný problém je s výrobou a především udržením cukrů, které se velmi rychle rozpadají. Pokud se soudí, že na zrodu života musela být molekula, která byla schopná se replikovat, čímž by se nastartoval mechanismus evoluce, a pokud by hlavním kandidátem byla molekula založená na nukleových kyselinách (nejspíše forma RNA, protože DNA nemá řadu jejích funkcí, z čehož se dá soudit, že se vyvinula později účelově), hledá se její obdoba, která by neobsahovala ribosu, která byla v raných podmínkách patrně velmi vzácná. Skutečně se ukazuje, že existují peptidové nukleové kyseliny (PNA), které fungují a ribosu k tomu nepotřebují - ty mohly být prekurzorem života založeného na RNA. Další variantu do hry vnesl článek D. H. Lee et al., Nature 382 (1996) 525–528. Bylo zjištěno, že za jistých podmínek existují proteiny, které se samy dokáží replikovat, není tedy nutné, aby tuto funkci hned od začátku zastávaly nukleové kyseliny. Která z variant se v přírodě nakonec realizovala se zatím neví.

Myslím, že biochemici a biofyzici by ocenili daleko víc chemických detailů, které se na přednášce rozebírají. (Alternativní báze jiných forem nukleových kyselin, alternativa k proteinům jako takovým, kde není vše vázáno striktně přes peptidickou vazbu, ale přesto je potřeba střídání kladných a záporných bloků kvůli foldingu (př. amidy, sulfoamidy, fosfoamidy, ale ne estery), apod. [4]) Já se však na ně dívám spíš jako na obrázky. Rozhodně přednášku doporučuji všem, kteří nejdou ve fyzice jen po aplikacích a rádi se zamýšlí i nad možnými jinými způsoby fungování světa, nebo jeho fungování v dobách, ze kterých nemáme příliš mnoho informací k bádání.

Shrnutí zdrojů, které by mohly stát za pozornost:

• [1] - Irwin: Life in the Universe, (2008)
• [2] - Kasting: Habitable Zones around Main Sequence Stars, Icarus (2002)
• [3] - Lineweaver: The Galactic Habitable Zone and the Age Distribution
  of Complex Life in the Milky Way, Science (2004) 
• [4] - Benner: Is there a common chemical model for life in the universe? (2004)
• [5] - Gibson, Fenner, Kawata: Galactic Chemical Evolution, (2003)
• Ad stabilizace osy Měsícem: wiki, slabý zdroj

Počet kvantových stavů ve spektru molekul

Zdá se, že poslední dobou jsem přešel už jen ke střídání článků fyzikálních a fantaskních, takže abych neporušil tradici, zde přichází serioznější zamyšlení fyzikální. Dnes jsem se již podruhé setkal s tvrzením, že Morseho potenciál, používaný často pro popis vibrací molekul, „má tu chybu“, že předpovídá pouze konečné množství diskrétních kvantových stavů ve svém spektru. Nikdo mi však zatím nedal odpověď na otázku, proč se vlastně v přírodě očekává, že by molekuly ve svém energetickém spektru měly mít nekonečno diskrétních stavů. Tedy kromě faktu, že to platí pro atom vodíku, který se umí vyřešit přesně a jehož energie poslušně sledují úměru 1/n². U Morseho potenciálu nebo konečné potenciálové jámy je zase počet stavů konečný.

Vzpomněl jsem si na jeden trik, který se používá v běžném odvození Chandrasekharovy meze u bílých trpaslíků a plyne ze statistické fyziky. Jak všichni víme, princip neurčitosti zaručuje, že součin neurčitosti v poloze a hybnosti je vždy větší nebo roven určité mezi. To ale také mj. znamená, že kvantová částice zaujímá na fázovém prostoru jistý minimální objem - jakmile ji lokalizujeme v polohách, rozplizne se v hybnostech a naopak. A teď si stačí uvědomit, že každý potenciál vytyčuje nějaký objem fázového prostoru, kde je energie nižší než v nekonečnu. Například u konečné potenciálové jámy je to její šířka krát hybnost, kterou by částice potřebovala k překonání okraje. Počet „minimálních krychliček“ je tedy nutně konečný a tedy i počet stavů v jejím energetickém spektru. To samé platí, jak jsem si v hodině spočítal, i pro Morseho potenciál. Pro Coulombův potenciál je naopak takový fázový objem nekonečný , což odpovídá řešení atomu vodíku. Pro potenciály klesající s vyšší mocninou bude fázový objem kolem nekonečna konečný a v počátku nekonečný.

A jak je to tedy s molekulami? Mohlo by se zdát, že vyřešit mnohorozměrný problém pro všechny částice bude problém, ve skutečnosti ale není. Fázový objem totiž může být nekonečný jen když jsou si některé částice hodně blízko (mají velké hybnosti), nebo když jsou hodně daleko (mají velké polohy). Když jsou elektrony blízko jádrům, řídí se vždy Coulombickým potenciálem, což znamená, že nekonečno stavů se sem neschová. (Mj. proto, že žijeme v trojrozměrném světě, např. ve vícerozměrném světě je fázový objem v blízkosti jader nekonečný, takže elektrony padají na jádra.) Proto se situace rozhodne jenom v nekonečnu. Pokud se molekula dá rozdělit na neutrální podsystémy tak, že energie takovéto disociace je nižší než kdybychom utrhli libovolný nabitý kus a poslali jej do nekonečna, dostali jsme se do kontinua při konečném fázovém objemu a počet diskrétních kvantových stavů ve spektru bude tedy konečný. A naopak, pokud se energie začne blížit libovolné disociační energii, která postačuje k odtržení nabitého podsystému, uvidíme nekonečné diskrétní spektrum. Molekula vodíku by tak měla mít spektrum konečné a Morseho potenciál by měl být podezříván neprávem.

⚛⚛⚛ 

Scifi a cestování časem

Jedno z témat velice bohatých na přemýšlení, je cestování v čase. Po přečtení několika inspirujících sci-fi románů jsem nad jeho rozebíráním strávil nejeden večer. Fyzikálních článků se o něm příliš nevyskytuje - zajímavosti kolem něj se totiž asi poměrně těžko formalizují, nebo jsou příliš spekulativní, aby se mohly objevit v seriózní vědě. Chtěl bych předeslat, že i když, jako fyzik, konstruuji argumenty založené na fyzice a možná vědecky se tvářící, všechno jsou to jenom matematicky nepodložené úvahy - ve skutečnosti si nemyslím, že by cestování časem bylo pravděpodobné. Pokud jste si toho vědomi, pak se jistě nenecháte zmást a můžete kriticky číst dál.

Na Wikipédii se dočtete, že modelů cestování v čase, které se objevují ve sci-fi je poměrně hodně. Fyzikálně relevantní mi však připadnou jen dva - deterministický (ať už jde o jakoukoliv klasickou teorii, která jej popisuje), nebo kvantový. Ve většině článku se budu věnovat tomu prvnímu, protože je poměrně jednoduché ho rozmyslet, zatímco tvrdit něco o tom druhém si troufám jenom velice opatrně.

Deterministický model
Model cestování časem, který odpovídá klasickým teoriím (obecné relativitě, .. ) je založený na tom, že existuje jen jedna historie daná počáteční podmínkou rovnic teorie, je pevná a nezměnitelná. (Také Novikovův princip selfkonzistence.) Tento model používá třeba známý film Terryho Gilliama „12 Opic“ nebo velice inspirující povídka Grega Egana, „Deník sta světelných let“ ilustrující spoustu zvláštních vlastností takového světa.

Obecně vžitá představa, že cestou do minulosti minulost změníme tady neplatí. Nezměníme ji. Ani o chlup. Představte si třeba, že byste měli stroj času a rozhodli se, že strašně zbohatnete, protože stokorunu, kterou máte v kapse, pošlete do minulosti, kde si ji vyzvednete. Budete ji tedy mít dvakrát - jednou v minulosti v kapse a pak podruhé vypadenou ze stroje času. Obecně vžitá představa napovídá, že čekáte od rána ve svém pokoji a v 12:00 pošlete stovku do času 10:00. To vyvolá druhou, změněnou historii, kdy jste během svého čekání dostali v 10:00 stovku z budoucnosti a můžete teď obě stovky utratit. (Nebo ještě několikrát poslat časem a pak utratit - ona je to technicky pořád ta samá.) Ve skutečnosti to tak ale není. Není žádná „změněná historie“, je jenom jedna historie, takže pokud jste odhodlaní svůj fígl provést a čekáte ve svém pokoji, v 10:00 dostanete stovku z budoucnosti, žádný první průchod se nekoná. Navíc už musíte tu stovku, kterou máte v kapse, poslat sobě do minulosti, takže s ní vlastně stejně nemůžete zaplatit. (Za předpokladu, že víte, že stovku jste si poslali sami.) Celé si to můžete představit, jako byste do grafu, jehož jeden směr je čas a druhý prostor, nakreslili celou dráhu stovky. Může se proplétat tam a zpátky v čase, ale nikdy se nestane nic skutečně paradoxního - protože by to nešlo nakreslit.

Na tomto modelu je zajímavé, že vaše volba poslat si stovku je vlastně pouze iluzorní - pokud máte pravdivou informaci z budoucnosti o tom, že jste něco udělali, nelze to změnit. To řeší i známý babiččin paradox - pokud se v minulosti pokusíte zabít svého předka, jednoduše selžete. Něco vám v tom zabrání, protože vy jste přece naživu.

Co na to entropie?
Člověk nemusí zase až tak moc přemýšlet, aby mu došlo, že v deterministickém modelu světa není něco v pořádku s entropií. Čím víc se budete snažit změnit věci, které zjevně změnit nelze, tím divnější náhody se budou dít, aby vám v tom zabránily. Je zjevné, že s entropií v přítomnosti stroje času není něco v pořádku - je podezřele nízká. Pokud jsem potkal sám sebe z budoucnosti, můžu se klidně pouštět do extrémně nebezpečných přestřelek a soupeři mne vždy zázračně minou. Stroj času nastavuje v budoucnosti jakousi podmínku a entropie se může zvyšovat jen v rámci jejího splnění - proto je obecně nižší. Dalo by se i argumentovat, že vyrobit stroj času se zkrátka nepovede, právě proto, že by to vyžadovalo příliš velké snížení entropie.

Částice s uzavřenou světočárou (ČsUS)
Pak je tu ještě jeden zajímavý úhel pohledu na otázku entropie. Počáteční podmínka v minulosti předepisuje pohyb všech částic, které se v minulosti vyskytovaly, nebo vzniknou později jejich interakcí. Strojem času ale mohou procházet takzvané částice s uzavřenou světočárou. Ty chodí časem tam a zpátky a vždy se vrátí do svého původního stavu. Na papíře znázorňujícím jednoznačnou historii by uzavírali smyčku, proto s uzavřenou světočárou. Pokud není jejich výskyt počáteční podmínkou rovnic omezen, existuje mnoho možných rozložení částic s uzavřenou světočárou. Příroda nutně vybere takové rozložení, které je slučitelné s původní počáteční podmínkou (pokud takové existuje). Potom je možné, že právě ony způsobí pokles entropie. Vypadá to sice jako neskutečná náhoda, ale ve skutečnosti je to jediné rozmístění, které mohou zaujmout. Ovšem pokud není rozmístění částic s uzavřenou světočárou jednoznačné z rovnic, pak padá původní teze, že existuje jen jedna historie - mohl bych přecházet v rámci třídy selfkonzistentních historií daných možným uspořádáním ČsUS.

Klasickým případem takového objektu ve velkém měřítku by byl prsten, který nikdo nevyrobil. Dostal jsem ho od své babičky, pak jsem se vrátil do časů jejího mládí a tam jsem jí ho dal. Tento prsten nikdy nevznikl. Vypadá to jako paradox, ale ve skutečnosti je to jenom podivná vlastnost světa - není na tom nic, co by ve skutečnosti s něčím nesedělo. Trochu paradoxní je, že prsten nesmí stárnout. V odpovídajících bodech časové smyčky musí být přesně takový, jaký má být - čili jeho entropie musí někde klesat. D. I. Novikov na tento paradox údajně odpověděl tak, že není důvod, aby potřebnou energii a snížení entropie nedodal okolní svět. Koneckonců entropie je stejně zmanipulovaná přítomností stroje času. (Mj. cestovatel časem v podobné smyčce by se nejen nikdy nenarodil, ale zároveň by musel v určitých místech mládnout a zapomínat, což skutečně vypadá hodně podezřele, přesto to není nic jiného, než co jsme řekli, že se děje zmíněnému prstenu.)

Paradox teorie, kterou nikdo nevymyslel
Dálší známý paradox, který ve skutečnosti není paradoxem, je případ teorie, kterou nikdo nevymyslel. Představte si, že vezmu učebnici obecné relativity a půjdu ji do minulosti ukázat Einsteinovi. Ten ji jen opíše z učebnice. Já jsem ji ale taky nevymyslel, protože jsem se ji zprostředkovaně naučil od něj. Teorii tak nevymyslel nikdo. Ve skutečnosti ale o paradox nejde, je to jen neobvyklé chování světa - nic s ničím ve sporu nakonec není.

Zajímavý vhled mi nedávno poskytl Majk při jedné zajímavé diskusi - že totiž pokud máme svět, kde se cestuje časem jak píšeme, tak se podobné teorie budou vyskytovat kolem míst, kde by někdo skutečně byl schopný je vymyslet. Ona ta informace totiž nevniká náhodně, jen proto, že může, ale jako reakce na podobu okolního světa. K pochopení toho, proč by tvrzení mělo platit, je užitečné si představit opět iterativní pohled na cestování časem. Kdybych byl reportér, který má za úkol natočit bitvu u Waterloo, v první iteraci se vrátím časem a natočím ji. Pak se ale vrátím časem ne zpátky do přítomnosti, ale do doby, než jsem na cestu vyrazil a dám si hotové záběry, abych si ušetřil práci. V druhé iteraci dostanu hotové záběry, které jsem nikdy nemusel točit a půjdu je ukázat zaměstnavateli. Ve skutečnosti samozřejmě žádné iterace nejsou - existuje jen jedna historie, která plyne z rovnic - dejme tomu že ta, kde dostanu záběry zadarmo. Ale zadarmo je dostanu právě proto, že jsem je „mohl“ snadno i natočit. Podobně se Shakespearovy díla objeví samy od sebe pouze pokud je Shakespeare mohl stejně dobře i napsat.

Zločinci, které nikdo nehlídá
Úžasným vhledem, tentokrát Grega Egana z výše zmiňované povídky je, že v deterministickém modelu, kde si posíláme informace o budoucnosti do minulosti, poklesne kriminalita, aniž by skutečně existovalo nějaké komando, které by pravidelně jezdilo zločiny řešit. Pokud by totiž zločinec zločin spáchal, policie „by se byla“ varovala včetně detailů a na daném místě čekala s potřebnou silou, aby zločinu zabránila. Pokud by ale zločinec měl možnost a věděl, že bude zatčen, „byl by“ se varoval, ať zločin neprovádí (pokud třeba nejednal v afektu, apod. - těchto zločinů se to netýká) a tedy by vůbec nebylo třeba žádného zásahu policie. Nakonec by se tedy o vykrádačku bank pokoušeli jen ti zločinci, ketří jsou tak dobří, že zvládnou akci provést i přes nastoupenou policii - a těch je jistě málo. Podobné závěry by se daly udělat i o ekonomice nebo vládnutí obecně .. pokud bychom si ovšem z budoucnosti nelhali nebo nebyli v ní donuceni si lhát ..

Strojočasové počítače
V souvislosti s předešlými mne napadla myšlenka strojočasového „počítače“. Co kdybych měl (algoritmizovatelný) problém, který spočívá v prozkoušení všech možností? Třeba chci porazit soupeře bez stroje času v šachu. Očísluju si možné partie a když na konci prohraju, pošlu si průběh partie, která se hrála. Pokud dostanu na začátku průběh partie, zahraju partii s číslem o jedna vyšším. Očekávám, že pokud můžu vyhrát, vyhraju a pokud vyhrát nemůžu, dostanu partii s nejvyšším číslem a zahraju ji. Tím vyřeším mnoho problémů v konstatním čase na jeden průchod.

Pokud bych měl soupeře, který také vlastní stroj času a naše algoritmy byly ve sporu (třeba když se snaží každý z nich vyhrát kámen, nůžky, papír), pak se něco musí pokazit. Takže nejspíš proces selže na nejchybovější součástce (lépe, aby to nebyl člověk ). Myslím, že podobné téma by bylo slušným základem sci-fi povídky, ale nemám fantazii, abych vymyslel scénář .

Kvantový model
Zatímco deterministický model je na analýzu zdánlivě jednoduchý, u kvantového si příliš jistý nejsem. Zatímco totiž běžné fyzikální předpovědi nezáleží na tom, jakou interpretaci kvantové mechaniky používám, protože předpovědi jsou vždy stejné, s cestováním v čase to tak není, protože to nám umožňuje provádět kvalitativně nové experimenty. Například je možné, že kvantová mechanika nám sice neumožňuje ze znalosti aktuálního stavu světa předpovídat nic jiného než pravděpodobnosti jevů, ale jevy jsou přesto determinovány. Stroj času by takovou skutečnost odhalil, protože informace o budoucích měřeních jím poslané by se plnily.

Známá Everettova interpretace mnoha světů je jeden z modelů, který umožňuje vysvětlit některé postuláty QM z jiných a nevyžaduje přítomnosti vnějších pozorovatelů. V takovém modelu je stav vesmíru dán jedním vlnovým vektorem. Jeho vývoj by se dal popsat jako interference mnoha klasických historií, neboli mnoha světů. Jakmile se tyto jednotlivé klasické historie liší o informaci uložené v makroskopických objektech - takové informace totiž pak navzájem již pravděpodobně neinterferují - jsou tyto světy oddělené a nelze mezi nimi z našeho pohledu přecházet. Svět se tedy při každé kvantové volbě dělí na různě pravděpodobně zastoupené varianty, které se všechny realizují.

V takovém modelu by pravděpodobně bylo to, co v minulosti ze stroje času vylézá, interferencí možných budoucností a historie by se změnit dala, protože jsme dostali informaci z možné budoucnosti. (Tento scénář používá třeba seriál FlashForward.) Co by ale ve skutečnosti ze stroje času vyběhlo si netroufám bez pořádné matematiky ani hádat - je totiž možné, že budoucí ústí by rozbíhání možných světů významně ovlivnilo právě proto, že budoucí události mohou být měřené v minulosti.

Perličky z nerovnovážné statistické termodynamiky

S přechodem na biofyziku jsem se trochu bál toho, že veškeré přednášky budou vesměs experimentálního rázu. O to více jsem byl překvapen, když jsem zjistil, že jsem se dostal k hodně přednáškám teoretickým, a to rozhodně velmi zajímavým. Asi nejvíce překvapující a novou pro mne je nerovnovážná statistická fyzika a termodynamika přednášená Dr. Šandou, na kterou tímto příspěvkem vlastně dělám reklamu.

Člověk se zde dozví o poměrně exotických objektech, jako je Wignerův operátor hustoty, který představuje nejbližší kvantovou obdobu statistického rozdělení pravděpodobnosti obsazení stavu na fázovém prostoru a má tu pozoruhodnou vlastnost, že na hodně malých oblastech FP může být i záporný. To je pro pravděpodobnost trochu divné .. ale vše se spraví jakmile integrujeme dost velkou oblast, aby byl uspokojen princip neurčitosti a pravděpodobnosti jsou pak vždy kladné. To vše v rámci probírané látky. Člověk se však dozví i spoustu zajímavostí navíc, které jsou od Dr. Šandy bonusem. U některých mi to nedá a musím se o nich rozepsat konkrétně, dokud je mám v čerstvé paměti. (V důsledku asi budu někde fakticky nepřesný, ale snad přimhouříte oko.)

Jedna z hodně zajímavých oblastí je popis Brownova pohybu a difuze pomocí stochastických sil. Takové síly působí náhodně a my známe jen jejich korelační funkce (<F(t)F(0)> a vyšší - zkrátka určují, že pokud částici náhodná síla kopla teď, v následujících chvílích bude mít trochu jinou pravděpodobnost kopnutí, než kdybychom o prvním kopnutí nevěděli). Všechno se přitom zjednoduší, jsou-li korelační funkce δ-funkce. Pokud pak chceme spočítat, jak se pod vlivem δ-korelované stochastické síly bude částice pohybovat na dlouhou vzdálenost, potřebujeme z jistých technických důvodů počítat integrály, kde tato δ-funkce sedí právě na hranici integrační oblasti. A nyní ta zajímavost: Zatímco pro fyzika je přirozené započítat půlku z δ-funkce (což odpovídá představě, že je to vlastně jen velmi lokalizovaná funkce, kterou integrační oblast rozpůlí), matematici používají v podstatě stejný popis pro analýzu fluktuací cen akcií na finančních trzích. Ve svém popisu do integrálu berou δ-funkce celou. (Itō-Stratonovichovo dilema.) Rozdíl v ceny na finančním trhu a brownovské částice je tedy v podstatě v tomto detailu. A zajímavá je jeho interpretace: Zahrnutí půlky δ-funkce odpovídá tomu, že část informace o korelaci je v minulosti a část v budoucnosti. Zkrátka pokud na částici teď působila síla, je jakási šance, že ještě chvíli působit bude. Oproti tomu zahrnutí celé δ-funkce vlastně znamená, že všechna informace je v minulosti a my do budoucna o fluktuaci nevíme nic. To je pro finanční trhy velice přirozené, protože pokud by někdo tuto informaci měl, skoupil by akcie o kterých ví, že porostou a tím by vnesl fluktuaci ceny, která původní informaci o budoucím vývoji ceny vymaže.

Wikipedie, ilustrativní obrázek.

Dalším velmi přínosným a pro mne novým vhledem byla statistika Léviho stabilních distribucí, která má hluboký dopad na statistiku obecně, i když si to mnoho lidí vůbec neuvědomuje. Obecně se totiž soudí, že pokud mám rozdělení mnoha náhodných vlivů, výsledné rozdělení odpovídá Gaussově funkci. To nám říká tzv. centrální limitní věta. Ta ovšem platí pouze v případech, že zkoumaná distribuční funkce má konečný druhý moment (rozptyl). Jako hezký fyzikální vhled, proč tomu tak je, beru fakt, že Gaussova funkce je funkcí, která maximalizuje entropii při fixní střední hodnotě a rozptylu. Jakmile je rozptyl nekonečný, maximalizace entropie selhává a není důvod, aby výsledné rozdělení bylo gaussovské. Pak nastupují tzv. Léviho stabilní distribuce, což jsou funkce které se pouze škálují, pokud sčítám výsledky měření podle více takovýchto rozdělení. (Tj. jen se škálují při konvoluci..) Jejich třída je obecně širší - má čtyři parametry, které vesměs charakterizují střední hodnotu (je-li konečná), asymetrii a parametry algebraických ocasů. (Rozdělení s divergujícím rozptylem typicky má algebraický ocas klesající pomaleji než 1/x^3, který divergenci způsobuje.)

Co je zajímavé je, že pokud je limitní rozdělení Léviho distribuce, neplatí základní věci ze statistiky, na které jsme zvyklí. Např. pokud odhadujeme průměr rozdělení z měřených dat, typicky spočítáme průměr hodnot. Pokud prokládáme daty závislost, používáme metodu nejmenších čtverců. (Obojí se odvodí z principu maximální pravděpodobnosti - zkoumáme, za jaké podmínky máme největší pravděpodobnost na správný fit, a pokud je rozdělení chyb gaussovské, vyjdou nám tato pravidla.) Pokud není, pak ani jedna z těchto metod nefunguje! Hodnoty, které pravděpodobně jsou z algebraických ocasů rozdělení musíme vážit nějakou funkcí, která je typicky charakteristická pro danou Léviho distribuci a vše se komplikuje.

Zajímavé také je, že k tomuto patologickému chování dochází poměrně často. Pro fyziky třeba jakékoliv statistiky řídící se Lorentzovým rozdělením. Ale třeba také výpočty kolem 6 degrees of sepatation, rozdělení velikosti měst (Zipfovo rozdělení), nebo rozdělení majetku napříč populací (Paretovo rozdělení). Z toho, jak podotkl Dr. Šanda, plyne např. to, že průměrná mzda může být nejenom nevypovídající (protože běžného člověka spíš zajímá medián), ale navíc i zavádějícím způsobem vysoká oproti skutečnosti, protože při jejím výpočtu se dost možná vychází z mylného předpokladu gaussovského rozdělení chyb.

Musím říci, že zajímavých věcí podobného rázu je na přednášce mnoho a mně nezbývá, než se těšit na další.