Počet kvantových stavů ve spektru molekul

Zdá se, že poslední dobou jsem přešel už jen ke střídání článků fyzikálních a fantaskních, takže abych neporušil tradici, zde přichází serioznější zamyšlení fyzikální. Dnes jsem se již podruhé setkal s tvrzením, že Morseho potenciál, používaný často pro popis vibrací molekul, „má tu chybu“, že předpovídá pouze konečné množství diskrétních kvantových stavů ve svém spektru. Nikdo mi však zatím nedal odpověď na otázku, proč se vlastně v přírodě očekává, že by molekuly ve svém energetickém spektru měly mít nekonečno diskrétních stavů. Tedy kromě faktu, že to platí pro atom vodíku, který se umí vyřešit přesně a jehož energie poslušně sledují úměru 1/n². U Morseho potenciálu nebo konečné potenciálové jámy je zase počet stavů konečný.

Vzpomněl jsem si na jeden trik, který se používá v běžném odvození Chandrasekharovy meze u bílých trpaslíků a plyne ze statistické fyziky. Jak všichni víme, princip neurčitosti zaručuje, že součin neurčitosti v poloze a hybnosti je vždy větší nebo roven určité mezi. To ale také mj. znamená, že kvantová částice zaujímá na fázovém prostoru jistý minimální objem - jakmile ji lokalizujeme v polohách, rozplizne se v hybnostech a naopak. A teď si stačí uvědomit, že každý potenciál vytyčuje nějaký objem fázového prostoru, kde je energie nižší než v nekonečnu. Například u konečné potenciálové jámy je to její šířka krát hybnost, kterou by částice potřebovala k překonání okraje. Počet „minimálních krychliček“ je tedy nutně konečný a tedy i počet stavů v jejím energetickém spektru. To samé platí, jak jsem si v hodině spočítal, i pro Morseho potenciál. Pro Coulombův potenciál je naopak takový fázový objem nekonečný , což odpovídá řešení atomu vodíku. Pro potenciály klesající s vyšší mocninou bude fázový objem kolem nekonečna konečný a v počátku nekonečný.

A jak je to tedy s molekulami? Mohlo by se zdát, že vyřešit mnohorozměrný problém pro všechny částice bude problém, ve skutečnosti ale není. Fázový objem totiž může být nekonečný jen když jsou si některé částice hodně blízko (mají velké hybnosti), nebo když jsou hodně daleko (mají velké polohy). Když jsou elektrony blízko jádrům, řídí se vždy Coulombickým potenciálem, což znamená, že nekonečno stavů se sem neschová. (Mj. proto, že žijeme v trojrozměrném světě, např. ve vícerozměrném světě je fázový objem v blízkosti jader nekonečný, takže elektrony padají na jádra.) Proto se situace rozhodne jenom v nekonečnu. Pokud se molekula dá rozdělit na neutrální podsystémy tak, že energie takovéto disociace je nižší než kdybychom utrhli libovolný nabitý kus a poslali jej do nekonečna, dostali jsme se do kontinua při konečném fázovém objemu a počet diskrétních kvantových stavů ve spektru bude tedy konečný. A naopak, pokud se energie začne blížit libovolné disociační energii, která postačuje k odtržení nabitého podsystému, uvidíme nekonečné diskrétní spektrum. Molekula vodíku by tak měla mít spektrum konečné a Morseho potenciál by měl být podezříván neprávem.

⚛⚛⚛ 

Scifi a cestování časem

Jedno z témat velice bohatých na přemýšlení, je cestování v čase. Po přečtení několika inspirujících sci-fi románů jsem nad jeho rozebíráním strávil nejeden večer. Fyzikálních článků se o něm příliš nevyskytuje - zajímavosti kolem něj se totiž asi poměrně těžko formalizují, nebo jsou příliš spekulativní, aby se mohly objevit v seriózní vědě. Chtěl bych předeslat, že i když, jako fyzik, konstruuji argumenty založené na fyzice a možná vědecky se tvářící, všechno jsou to jenom matematicky nepodložené úvahy - ve skutečnosti si nemyslím, že by cestování časem bylo pravděpodobné. Pokud jste si toho vědomi, pak se jistě nenecháte zmást a můžete kriticky číst dál.

Na Wikipédii se dočtete, že modelů cestování v čase, které se objevují ve sci-fi je poměrně hodně. Fyzikálně relevantní mi však připadnou jen dva - deterministický (ať už jde o jakoukoliv klasickou teorii, která jej popisuje), nebo kvantový. Ve většině článku se budu věnovat tomu prvnímu, protože je poměrně jednoduché ho rozmyslet, zatímco tvrdit něco o tom druhém si troufám jenom velice opatrně.

Deterministický model
Model cestování časem, který odpovídá klasickým teoriím (obecné relativitě, .. ) je založený na tom, že existuje jen jedna historie daná počáteční podmínkou rovnic teorie, je pevná a nezměnitelná. (Také Novikovův princip selfkonzistence.) Tento model používá třeba známý film Terryho Gilliama „12 Opic“ nebo velice inspirující povídka Grega Egana, „Deník sta světelných let“ ilustrující spoustu zvláštních vlastností takového světa.

Obecně vžitá představa, že cestou do minulosti minulost změníme tady neplatí. Nezměníme ji. Ani o chlup. Představte si třeba, že byste měli stroj času a rozhodli se, že strašně zbohatnete, protože stokorunu, kterou máte v kapse, pošlete do minulosti, kde si ji vyzvednete. Budete ji tedy mít dvakrát - jednou v minulosti v kapse a pak podruhé vypadenou ze stroje času. Obecně vžitá představa napovídá, že čekáte od rána ve svém pokoji a v 12:00 pošlete stovku do času 10:00. To vyvolá druhou, změněnou historii, kdy jste během svého čekání dostali v 10:00 stovku z budoucnosti a můžete teď obě stovky utratit. (Nebo ještě několikrát poslat časem a pak utratit - ona je to technicky pořád ta samá.) Ve skutečnosti to tak ale není. Není žádná „změněná historie“, je jenom jedna historie, takže pokud jste odhodlaní svůj fígl provést a čekáte ve svém pokoji, v 10:00 dostanete stovku z budoucnosti, žádný první průchod se nekoná. Navíc už musíte tu stovku, kterou máte v kapse, poslat sobě do minulosti, takže s ní vlastně stejně nemůžete zaplatit. (Za předpokladu, že víte, že stovku jste si poslali sami.) Celé si to můžete představit, jako byste do grafu, jehož jeden směr je čas a druhý prostor, nakreslili celou dráhu stovky. Může se proplétat tam a zpátky v čase, ale nikdy se nestane nic skutečně paradoxního - protože by to nešlo nakreslit.

Na tomto modelu je zajímavé, že vaše volba poslat si stovku je vlastně pouze iluzorní - pokud máte pravdivou informaci z budoucnosti o tom, že jste něco udělali, nelze to změnit. To řeší i známý babiččin paradox - pokud se v minulosti pokusíte zabít svého předka, jednoduše selžete. Něco vám v tom zabrání, protože vy jste přece naživu.

Co na to entropie?
Člověk nemusí zase až tak moc přemýšlet, aby mu došlo, že v deterministickém modelu světa není něco v pořádku s entropií. Čím víc se budete snažit změnit věci, které zjevně změnit nelze, tím divnější náhody se budou dít, aby vám v tom zabránily. Je zjevné, že s entropií v přítomnosti stroje času není něco v pořádku - je podezřele nízká. Pokud jsem potkal sám sebe z budoucnosti, můžu se klidně pouštět do extrémně nebezpečných přestřelek a soupeři mne vždy zázračně minou. Stroj času nastavuje v budoucnosti jakousi podmínku a entropie se může zvyšovat jen v rámci jejího splnění - proto je obecně nižší. Dalo by se i argumentovat, že vyrobit stroj času se zkrátka nepovede, právě proto, že by to vyžadovalo příliš velké snížení entropie.

Částice s uzavřenou světočárou (ČsUS)
Pak je tu ještě jeden zajímavý úhel pohledu na otázku entropie. Počáteční podmínka v minulosti předepisuje pohyb všech částic, které se v minulosti vyskytovaly, nebo vzniknou později jejich interakcí. Strojem času ale mohou procházet takzvané částice s uzavřenou světočárou. Ty chodí časem tam a zpátky a vždy se vrátí do svého původního stavu. Na papíře znázorňujícím jednoznačnou historii by uzavírali smyčku, proto s uzavřenou světočárou. Pokud není jejich výskyt počáteční podmínkou rovnic omezen, existuje mnoho možných rozložení částic s uzavřenou světočárou. Příroda nutně vybere takové rozložení, které je slučitelné s původní počáteční podmínkou (pokud takové existuje). Potom je možné, že právě ony způsobí pokles entropie. Vypadá to sice jako neskutečná náhoda, ale ve skutečnosti je to jediné rozmístění, které mohou zaujmout. Ovšem pokud není rozmístění částic s uzavřenou světočárou jednoznačné z rovnic, pak padá původní teze, že existuje jen jedna historie - mohl bych přecházet v rámci třídy selfkonzistentních historií daných možným uspořádáním ČsUS.

Klasickým případem takového objektu ve velkém měřítku by byl prsten, který nikdo nevyrobil. Dostal jsem ho od své babičky, pak jsem se vrátil do časů jejího mládí a tam jsem jí ho dal. Tento prsten nikdy nevznikl. Vypadá to jako paradox, ale ve skutečnosti je to jenom podivná vlastnost světa - není na tom nic, co by ve skutečnosti s něčím nesedělo. Trochu paradoxní je, že prsten nesmí stárnout. V odpovídajících bodech časové smyčky musí být přesně takový, jaký má být - čili jeho entropie musí někde klesat. D. I. Novikov na tento paradox údajně odpověděl tak, že není důvod, aby potřebnou energii a snížení entropie nedodal okolní svět. Koneckonců entropie je stejně zmanipulovaná přítomností stroje času. (Mj. cestovatel časem v podobné smyčce by se nejen nikdy nenarodil, ale zároveň by musel v určitých místech mládnout a zapomínat, což skutečně vypadá hodně podezřele, přesto to není nic jiného, než co jsme řekli, že se děje zmíněnému prstenu.)

Paradox teorie, kterou nikdo nevymyslel
Dálší známý paradox, který ve skutečnosti není paradoxem, je případ teorie, kterou nikdo nevymyslel. Představte si, že vezmu učebnici obecné relativity a půjdu ji do minulosti ukázat Einsteinovi. Ten ji jen opíše z učebnice. Já jsem ji ale taky nevymyslel, protože jsem se ji zprostředkovaně naučil od něj. Teorii tak nevymyslel nikdo. Ve skutečnosti ale o paradox nejde, je to jen neobvyklé chování světa - nic s ničím ve sporu nakonec není.

Zajímavý vhled mi nedávno poskytl Majk při jedné zajímavé diskusi - že totiž pokud máme svět, kde se cestuje časem jak píšeme, tak se podobné teorie budou vyskytovat kolem míst, kde by někdo skutečně byl schopný je vymyslet. Ona ta informace totiž nevniká náhodně, jen proto, že může, ale jako reakce na podobu okolního světa. K pochopení toho, proč by tvrzení mělo platit, je užitečné si představit opět iterativní pohled na cestování časem. Kdybych byl reportér, který má za úkol natočit bitvu u Waterloo, v první iteraci se vrátím časem a natočím ji. Pak se ale vrátím časem ne zpátky do přítomnosti, ale do doby, než jsem na cestu vyrazil a dám si hotové záběry, abych si ušetřil práci. V druhé iteraci dostanu hotové záběry, které jsem nikdy nemusel točit a půjdu je ukázat zaměstnavateli. Ve skutečnosti samozřejmě žádné iterace nejsou - existuje jen jedna historie, která plyne z rovnic - dejme tomu že ta, kde dostanu záběry zadarmo. Ale zadarmo je dostanu právě proto, že jsem je „mohl“ snadno i natočit. Podobně se Shakespearovy díla objeví samy od sebe pouze pokud je Shakespeare mohl stejně dobře i napsat.

Zločinci, které nikdo nehlídá
Úžasným vhledem, tentokrát Grega Egana z výše zmiňované povídky je, že v deterministickém modelu, kde si posíláme informace o budoucnosti do minulosti, poklesne kriminalita, aniž by skutečně existovalo nějaké komando, které by pravidelně jezdilo zločiny řešit. Pokud by totiž zločinec zločin spáchal, policie „by se byla“ varovala včetně detailů a na daném místě čekala s potřebnou silou, aby zločinu zabránila. Pokud by ale zločinec měl možnost a věděl, že bude zatčen, „byl by“ se varoval, ať zločin neprovádí (pokud třeba nejednal v afektu, apod. - těchto zločinů se to netýká) a tedy by vůbec nebylo třeba žádného zásahu policie. Nakonec by se tedy o vykrádačku bank pokoušeli jen ti zločinci, ketří jsou tak dobří, že zvládnou akci provést i přes nastoupenou policii - a těch je jistě málo. Podobné závěry by se daly udělat i o ekonomice nebo vládnutí obecně .. pokud bychom si ovšem z budoucnosti nelhali nebo nebyli v ní donuceni si lhát ..

Strojočasové počítače
V souvislosti s předešlými mne napadla myšlenka strojočasového „počítače“. Co kdybych měl (algoritmizovatelný) problém, který spočívá v prozkoušení všech možností? Třeba chci porazit soupeře bez stroje času v šachu. Očísluju si možné partie a když na konci prohraju, pošlu si průběh partie, která se hrála. Pokud dostanu na začátku průběh partie, zahraju partii s číslem o jedna vyšším. Očekávám, že pokud můžu vyhrát, vyhraju a pokud vyhrát nemůžu, dostanu partii s nejvyšším číslem a zahraju ji. Tím vyřeším mnoho problémů v konstatním čase na jeden průchod.

Pokud bych měl soupeře, který také vlastní stroj času a naše algoritmy byly ve sporu (třeba když se snaží každý z nich vyhrát kámen, nůžky, papír), pak se něco musí pokazit. Takže nejspíš proces selže na nejchybovější součástce (lépe, aby to nebyl člověk ). Myslím, že podobné téma by bylo slušným základem sci-fi povídky, ale nemám fantazii, abych vymyslel scénář .

Kvantový model
Zatímco deterministický model je na analýzu zdánlivě jednoduchý, u kvantového si příliš jistý nejsem. Zatímco totiž běžné fyzikální předpovědi nezáleží na tom, jakou interpretaci kvantové mechaniky používám, protože předpovědi jsou vždy stejné, s cestováním v čase to tak není, protože to nám umožňuje provádět kvalitativně nové experimenty. Například je možné, že kvantová mechanika nám sice neumožňuje ze znalosti aktuálního stavu světa předpovídat nic jiného než pravděpodobnosti jevů, ale jevy jsou přesto determinovány. Stroj času by takovou skutečnost odhalil, protože informace o budoucích měřeních jím poslané by se plnily.

Známá Everettova interpretace mnoha světů je jeden z modelů, který umožňuje vysvětlit některé postuláty QM z jiných a nevyžaduje přítomnosti vnějších pozorovatelů. V takovém modelu je stav vesmíru dán jedním vlnovým vektorem. Jeho vývoj by se dal popsat jako interference mnoha klasických historií, neboli mnoha světů. Jakmile se tyto jednotlivé klasické historie liší o informaci uložené v makroskopických objektech - takové informace totiž pak navzájem již pravděpodobně neinterferují - jsou tyto světy oddělené a nelze mezi nimi z našeho pohledu přecházet. Svět se tedy při každé kvantové volbě dělí na různě pravděpodobně zastoupené varianty, které se všechny realizují.

V takovém modelu by pravděpodobně bylo to, co v minulosti ze stroje času vylézá, interferencí možných budoucností a historie by se změnit dala, protože jsme dostali informaci z možné budoucnosti. (Tento scénář používá třeba seriál FlashForward.) Co by ale ve skutečnosti ze stroje času vyběhlo si netroufám bez pořádné matematiky ani hádat - je totiž možné, že budoucí ústí by rozbíhání možných světů významně ovlivnilo právě proto, že budoucí události mohou být měřené v minulosti.

Perličky z nerovnovážné statistické termodynamiky

S přechodem na biofyziku jsem se trochu bál toho, že veškeré přednášky budou vesměs experimentálního rázu. O to více jsem byl překvapen, když jsem zjistil, že jsem se dostal k hodně přednáškám teoretickým, a to rozhodně velmi zajímavým. Asi nejvíce překvapující a novou pro mne je nerovnovážná statistická fyzika a termodynamika přednášená Dr. Šandou, na kterou tímto příspěvkem vlastně dělám reklamu.

Člověk se zde dozví o poměrně exotických objektech, jako je Wignerův operátor hustoty, který představuje nejbližší kvantovou obdobu statistického rozdělení pravděpodobnosti obsazení stavu na fázovém prostoru a má tu pozoruhodnou vlastnost, že na hodně malých oblastech FP může být i záporný. To je pro pravděpodobnost trochu divné .. ale vše se spraví jakmile integrujeme dost velkou oblast, aby byl uspokojen princip neurčitosti a pravděpodobnosti jsou pak vždy kladné. To vše v rámci probírané látky. Člověk se však dozví i spoustu zajímavostí navíc, které jsou od Dr. Šandy bonusem. U některých mi to nedá a musím se o nich rozepsat konkrétně, dokud je mám v čerstvé paměti. (V důsledku asi budu někde fakticky nepřesný, ale snad přimhouříte oko.)

Jedna z hodně zajímavých oblastí je popis Brownova pohybu a difuze pomocí stochastických sil. Takové síly působí náhodně a my známe jen jejich korelační funkce (<F(t)F(0)> a vyšší - zkrátka určují, že pokud částici náhodná síla kopla teď, v následujících chvílích bude mít trochu jinou pravděpodobnost kopnutí, než kdybychom o prvním kopnutí nevěděli). Všechno se přitom zjednoduší, jsou-li korelační funkce δ-funkce. Pokud pak chceme spočítat, jak se pod vlivem δ-korelované stochastické síly bude částice pohybovat na dlouhou vzdálenost, potřebujeme z jistých technických důvodů počítat integrály, kde tato δ-funkce sedí právě na hranici integrační oblasti. A nyní ta zajímavost: Zatímco pro fyzika je přirozené započítat půlku z δ-funkce (což odpovídá představě, že je to vlastně jen velmi lokalizovaná funkce, kterou integrační oblast rozpůlí), matematici používají v podstatě stejný popis pro analýzu fluktuací cen akcií na finančních trzích. Ve svém popisu do integrálu berou δ-funkce celou. (Itō-Stratonovichovo dilema.) Rozdíl v ceny na finančním trhu a brownovské částice je tedy v podstatě v tomto detailu. A zajímavá je jeho interpretace: Zahrnutí půlky δ-funkce odpovídá tomu, že část informace o korelaci je v minulosti a část v budoucnosti. Zkrátka pokud na částici teď působila síla, je jakási šance, že ještě chvíli působit bude. Oproti tomu zahrnutí celé δ-funkce vlastně znamená, že všechna informace je v minulosti a my do budoucna o fluktuaci nevíme nic. To je pro finanční trhy velice přirozené, protože pokud by někdo tuto informaci měl, skoupil by akcie o kterých ví, že porostou a tím by vnesl fluktuaci ceny, která původní informaci o budoucím vývoji ceny vymaže.

Wikipedie, ilustrativní obrázek.

Dalším velmi přínosným a pro mne novým vhledem byla statistika Léviho stabilních distribucí, která má hluboký dopad na statistiku obecně, i když si to mnoho lidí vůbec neuvědomuje. Obecně se totiž soudí, že pokud mám rozdělení mnoha náhodných vlivů, výsledné rozdělení odpovídá Gaussově funkci. To nám říká tzv. centrální limitní věta. Ta ovšem platí pouze v případech, že zkoumaná distribuční funkce má konečný druhý moment (rozptyl). Jako hezký fyzikální vhled, proč tomu tak je, beru fakt, že Gaussova funkce je funkcí, která maximalizuje entropii při fixní střední hodnotě a rozptylu. Jakmile je rozptyl nekonečný, maximalizace entropie selhává a není důvod, aby výsledné rozdělení bylo gaussovské. Pak nastupují tzv. Léviho stabilní distribuce, což jsou funkce které se pouze škálují, pokud sčítám výsledky měření podle více takovýchto rozdělení. (Tj. jen se škálují při konvoluci..) Jejich třída je obecně širší - má čtyři parametry, které vesměs charakterizují střední hodnotu (je-li konečná), asymetrii a parametry algebraických ocasů. (Rozdělení s divergujícím rozptylem typicky má algebraický ocas klesající pomaleji než 1/x^3, který divergenci způsobuje.)

Co je zajímavé je, že pokud je limitní rozdělení Léviho distribuce, neplatí základní věci ze statistiky, na které jsme zvyklí. Např. pokud odhadujeme průměr rozdělení z měřených dat, typicky spočítáme průměr hodnot. Pokud prokládáme daty závislost, používáme metodu nejmenších čtverců. (Obojí se odvodí z principu maximální pravděpodobnosti - zkoumáme, za jaké podmínky máme největší pravděpodobnost na správný fit, a pokud je rozdělení chyb gaussovské, vyjdou nám tato pravidla.) Pokud není, pak ani jedna z těchto metod nefunguje! Hodnoty, které pravděpodobně jsou z algebraických ocasů rozdělení musíme vážit nějakou funkcí, která je typicky charakteristická pro danou Léviho distribuci a vše se komplikuje.

Zajímavé také je, že k tomuto patologickému chování dochází poměrně často. Pro fyziky třeba jakékoliv statistiky řídící se Lorentzovým rozdělením. Ale třeba také výpočty kolem 6 degrees of sepatation, rozdělení velikosti měst (Zipfovo rozdělení), nebo rozdělení majetku napříč populací (Paretovo rozdělení). Z toho, jak podotkl Dr. Šanda, plyne např. to, že průměrná mzda může být nejenom nevypovídající (protože běžného člověka spíš zajímá medián), ale navíc i zavádějícím způsobem vysoká oproti skutečnosti, protože při jejím výpočtu se dost možná vychází z mylného předpokladu gaussovského rozdělení chyb.

Musím říci, že zajímavých věcí podobného rázu je na přednášce mnoho a mně nezbývá, než se těšit na další.

Srážka rotujících n-rozměrných koulí a termodynamika

Srážka rotujících n-rozměrných koulí je něco, co mi vždycky vrtalo hlavou. Ačkoliv to někteří z vás možná budou považovat za triviální problém, našel jsem v něm celkem netriviální aspekty, o které se v tomto příspěvku podělím. Jaké je přesně zadání?

Mějme soubor dokonale tuhých koulí o daných poloměrech. Koule mohou také obecně rotovat. Sráží se tak, že se zachovává energie, hybnost i moment hybnosti. Najděme takový přepis působících sil, který bude při dostatečně velkém souboru takových koulí imitovat „správnou“ termodynamiku.

Co myslím tou „správnou“ termodynamikou? V tom se právě ukáže být háček, ale původně jsem měl namysli splnění ekvipartičního principu, který se většinou považuje za hodně obecný a v klasické mechanice všeobecně platný.

Dynamika
Jak srážet nerotující koule je poměrně jednoduché.

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Převedeme do původní soustavy.
   

Takováto simulace automaticky ekvipartiční princip splňuje, i pokud máme různé hmoty koulí. To nás příliš nepřekvapí (i když by mělo..).

Jak je to ale s rotací? Jak ji vlastně reprezentovat? Většinou se k popisu používá (pseudo)vektor úhlové rychlosti. Pro zobecnění do n-rozměrů ale není příliš vhodný - to je vidět už když zkoumáme rotaci dvojrozměrného disku - ten má přece jen jednu úhlovou rychlost, ne dvě, jak bychom od vektoru očekávali! To je dané tím, že vektor úhlové rychlosti není vektor, nýbrž pseudovektor (jako všechny objekty vytvořené vektorovým součinem) - jde o tzv. Hodgeův duál „správně“ invariantního objektu - antisymetrického tenzoru druhého řádu.

To ostatně můžeme ukázat jednoduchou analogií - co je rychlost? Snadno nahlédneme z Taylorova rozvoje funkce polohy s(t), že jde o první derivaci, vektor, který stojí před členem dt:

s(t) = s(0) + v(0) dt + ...

Pokud je rotace daná maticí otočení A(t), která vzniká obecným součinem n vhodně zvolených generátorů rotace kolem jednotlivých os:

,




,

 kde v osách jedné roviny jsou vždy na příslušných místech sinus a kosinus a zbytek vypadá jako jednotková matice. Pokud úhly pootočení závisí na čase jako φ(t), ψ(t) a rozvineme vše do Taylorova rozvoje do prvního řádu v dt, rozvité generátory vypadají jako


,




,



Pokud tedy rozvineme A(t) do prvního řádu v čase, můžeme získat jedině to, co bychom získali nějakým součinem rozvitých generátorů G_ij. Všimněme si, že nediagonální členy těchto matic jsou antisymetrické. Tuto vlastnost bude mít do prvního řádu v dt i každý jejich součin (protože na diagonálu se dostanou jen násobky dvou mimodiagonálních elementů, alespoň dt² , které zanedbáme + to chce trochu rozmýšlení). Proto se dá napsat Taylorův rozvoj matice otočení jako:

A(t) = A(0) + ω(0) dt,

kde A(0) je původní pootočení (sem jsme posbírali všechny členy bez dt) a ω(0) je (nutně antisymetrická) matice úhlové rychlosti (sem jsme posbírali všechny členy úměrné dt). To je jen náhled. Analogicky se moment hybnosti nedefinuje v n-rozměrech jako (pseudo)vektor, ale jako tenzor druhého řádu vytvořený jako

L_ij = x_i p_j - x_j p_i.

Tento tvar je podezřele známý z kvantové mechaniky. Důležité je, že při srážce se zachovává. Nyní tedy můžeme shrnout to, co děláme, do bodů:

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Z kolmé složky hybnosti a poloh těžišť spočteme moment hybnosti L_ij = x_i p_j - x_j p_i
5. (5) Libovolně vyměníme moment hybnosti mezi momenty hybnosti obou míčků (¹l_ij , ²l_ij) a momentem hybnosti L_ij daném pohybem těžišť v těžišťové soustavě.
   
6. (6) Vhodnou inverzí soustavy z bodu 4. spočteme z L_ij novou hybnost kolmou na střed pro každý z míčků (každý z nich dostane moment hybnosti nepřímo úměrný své hmotě, aby se zachovala i hybnost - v tom, jak rozdělovat moment hybnosti mezi ně volnost nemáme, narozdíl od nezávislých rotací míčků).
7. (7) Přidáme dvojici sil ve směru spojnice středů mířící od nich. A to takové velikosti, aby výsledná energie byla stejná jako před srážkou. (Touto dodatečnou silou se zjevně nezmění moment hybnosti vůbec ničeho.)
   
8. (8) Převedeme do původní soustavy.
   

Termodynamika
Podobnou simulaci jsem si provedl - výměnu v bodě (4) jsem zkusmo specifikoval tak, že momenty hybnosti se mění tak, aby se vyrovnaly. (To mi přišlo přirozené - termodynamická rovnováha systému koneckonců k takovému výsledku vede.) Byl jsem ale silně překvapený, zjevně nebyl splněn ekvipartiční princip - rotační stupně volnosti měly podstatně méně energie než by jim příslušelo! Docela dlouho jsem bádal nad tím, čím je to způsobené (ekvipartiční princip jsem si zafixoval jako obecné pravidlo platné skoro pro všechny systémy). Přišlo mi hodně zajímavé, že kromě jednoduché kinematiky modelu a integrálů pohybu je potřeba splnit další požadavky, abychom dostali „korektní termodynamiku“. Jedniné řešení, které jsem ale vymyslel je takové, že síly budou zvoleny tak, aby energie každé srážky byla po odrazu vybrána podle Boltzmannova rozdělení - což, jak jistě uznáte, je trochu podvod .

Ve skutečnosti jsem se ale mýlil - se spolužáky jsme prošli předpoklady odvození ekvipartičního principu a zjistili jsme, že zdaleka není tak obecný, jak jsem myslel. Obecně se odvozuje ze střední hodnoty derivace Hamiltoniánu násobené obecnou souřadnicí, podle které derivujeme, ale známá formulace „každý stupeň volnosti má stejnou střední energii“ platí jen pro Hamiltoniány kvadratické v potenciálu či hybnosti. (Sem mj. spadá v dobrém přiblížení v podstatě celá chemie (pokud nejsou stupně volnosti kvantově zamrzlé), takže není divu, že je tato formulace často popisována jako tolik obecná.)

Popsaný model navíc z žádného Hamiltoniánu nevychází - je to jenom přepis pro síly. Takže bychom vlastně neměli očekávat nic - je spíš zajímavou otázkou, proč dokud nezahrneme rotace, ekvipartiční princip vůbec platí?

P.S.
Při přemýtání nad tímto problémem a následnou diskusí jsem narazil na zajímavá skripta z kinetiky, zde, zde, zde, zde a zde.

Hraní s červími děrami - elektrostatika/dynamika

Hračce zvané červí díry jsem zůstal věrný kupodivu dlouho. Poté, co jsme vyřešili „zjevné“ problémy, začal mi vrtat hlavou složitější problém - co se stane s ústími červí díry, pokud k němu přiblížíme náboj? Je zjevné, že by náboj měl skrz ústí působit. Ale jak přesně? Dále je téměř zjevné, že na obou ústích musí být stejný potenciál, kdyby nebyl, dala by se z červí díry těžit energie tak, že budeme chodit kolem dokola v nekonzervativním poli. Rozhodl jsem se sem vypsat své nápady, jak postupně přicházely, abych demonstroval, jak je někdy cesta k poznání krkolomná. (Jenom chci podotknout ke značení, že používám jednotky c = 1, G = 1, 1/4 pi ε₀ = 1, ...)

Naivní potenciál
Úplně první potenciál, který mne napadl, vypadal jako φ = Q/min(r_přímo,r_skrz). Myšlenka vychází z toho, že náboje můžeme k sobě přibližovat po kterékoliv spojnici - proto je nejvýhodnější použít tu nejkratší. Zajímavým jevem, který se objevil v takovém potenciálu, je síla působící na obě ústí, která nezávisí na jejich náboji, ale na náboji objektů, které se přiblížily tak, že ústí mezi nimi představují zkratku. To je zajímavé zejména tím, že by se to jistě týkalo třeba i gravitační síly (ať už Newtonovské, nebo linearizované OTR). Takový potenciál má ale ten problém, že se vůbec neopírá o žádné polní řešení a síla se objevuje okamžitě. Proto jsem posléze tuto myšlenku opustil.

Náboj extremizující akci
Další myšlenka, jak se vyhnout složitým výpočtům, byla, že na obou ústích mohou vznikat náboje. A to tak, že v topologicky ztotožněných bodech jsou vždy opačné (aby se náboj zachoval) - jak se náboj mění se potom určí, jako by šlo o dynamickou proměnnou - z Euler-Lagrageových rovnic. Zde jsem došel k výsledku, že dochází k polarizaci takovým způsobem, že na bližším ústí se generuje stejný náboj, který je větší, je-li náboj blíže. V důsledku je červí díra pro každý bodový náboj neprůchozí, protože energie nutná k jeho přiblížení k (i nebodovému) ústí, je nekonečná. Dokonce být nekonečná musí, protože na ústích není stejný potenciál, takže náboje nesmí procházet skrz kvůli zachování energie.. Navíc tato cesta taky nevypadá příliš Lorentz-invariantně, takže jsem ji také záhy opustil.

Sčítání po všech cestách
Dalším z možných přístupů bylo zkoušet sčítat příspěvky Q/r po všech cestách - kdy jdeme přímo k testujícímu náboji, kdy projdeme jedním ústím a zkrátíme si cestu, kdy projdeme ústím, jdeme zpět a projdeme jím znovu a pak jdeme k testovacímu náboji, atd. plus to samé pro druhé ústí. Pokud jsme na spojnici ústí, dostaneme tak



Tato suma diverguje. To by samo o sobě nevadilo, protože se dá udělat „přirozená“ normalizace - derivace potenciálu je síla, takže posčítáme derivace sčítanců - sumy zde již konvergovat budou, a potom zpět zintegrujeme. Problém je ovšem v něčem jiném - síla do nekonečna nebude ubývat jako 1/r², ale jako 1/r. To už samozřejmě vadí, protože bychom chtěli, aby se existence červí díry nedala rozpoznat na dálku - v takovém potenciálu ovšem neexistuje úniková rychlost, takže červí díra by se dala změřit libovolně daleko (o globálních vlivech, např. na vzdálené galaxie, nemluvě.) Dále si můžeme všimnout, že ani touto cestou nedostaneme stejný potenciál na obou ústích..

Nasadíme kulovou inverzi
Chvíli jsme zkoušeli s Mikulášem jít k problému tak, že si budeme představovat, že jedno ústí je prázdná koule. Pole náboje v ní má normální průběh .. poté vezmeme vnitřek, provedeme na něj kulovou inverzi a invertovaným polem obložíme druhé ústí.. (Předpokládáme, že je kulové a má stejný tvar.) Nejdřív se mi to zdálo jako skvělá myšlenka, protože jednak zaručuje stejný potenciál na obou ústích a jednak je velice podobný předchozímu přístupu, kde jenom dodává tlumící člen úměrný úhlové velikosti ústí, takže řady se najednou chovají hezky. Dokonce jsem si říkal, že by bylo skvělé vyřešit rovnou dynamiku tak, že si představuji, že vnějšek druhého ústí se namapuje dovnitř koule - prvního ústí, akorát se upraví index lomu tak, aby přímkové paprsky chodily po kružnicích přes střed (s možnou transformací času), jak se při kulové inverzi sluší. To by indukovalo transformaci permitivit a dalších veličin s polem spojených, čímž bychom dynamický problém v prostoru s podivnou topologií převedli na problém v normálním prostoru.. (To, že první ústí je zobrazeno samo do sebe, by se dalo vyřešit sečtením vhodné řady, díky linearitě.)

Po chvilce počítání jsem ale zjistil, že takový radiálně symetrický průběh indexu lomu v kouli neexistuje (musel by být různý pro různé vstupující paprsky, což by nešlo zobecnit na elektromagnetickou vlnu). Navíc jsme jaksi přehlédli, že kulová inverze řešení Laplaceovy rovnice nezaručuje, že invertované pole ji bude řešit - je to jen speciální rys řešení, který splňuje rozložení náboje, jde-li o vodivou kouli. (Pokud tomu někdo rozumíte víc a chcete mne opravit, tak mi prosím napište, třeba komentář.) Myšlenka tedy padá.

Topologický tank
Po počátečních neúspěších jsem se rozhodl na to jít trochu pořádněji. Řešíme relativistickou rovnici ◻A^μ = -J^μ. Její řešení můžeme hledat pomocí rozkladu D'Alembertiánu do jeho vlastních hodnot - to v rovném prostoru vypadá přesně jako řešení rovnice výše pomocí Fourierovy transformace, ve skutečnosti jde ale o obecnější přístup. Hledáme Greenovu funkci takovou, že

◻_x G(x|x') = δ(x|x').

Protože vlastní funkce D'Alembertiánu tvoří úplný systém¹, suma jejich skalárních součinů sama se sebou (ovšem v bodech x, x') dá δ(x|x'). Protože po zapůsobení D'Alembertiánu vyskočí na tomto skalárním součinu čtverec vlastní hodnoty, je nutně Greenova funkce suma přes všechny vlastní funkce f_k(x) z výrazu f_k(x)f_k(x')/k². (k je multiindex představující zároveň vlastní hodnoty tak, že k² jsou vlastní hodnoty, nikoliv jejich čtverce¹.)

A co jsou ty vlastní funkce? V Minkowského časoprostoru bez červí díry tvoří jejich úplný systém funkce exp(i k_μ x^μ) a vlastní hodnoty jsou k_μ k^μ. V časoprostoru s červí dírou s ústími posunutými o Δx^μ ale mohou existovat jen takové řešení, že potenciál na obou ústích je stejný. To implikuje podmínku

k_μ Δx^μ = 2 π n,

což v praxi znamená, že pokud vyšleme elektromagnetickou vlnu ve směru spojnice ústí, budou povoleny jenom některé její frekvence. Bohužel ovšem v rovnicích nikde nevystupuje naše vzdálenost od ústí (čehož jsem si samozřejmě všimnul až dlouhém řešení těch integrálů ), takže ať jsme libovolně daleko, přítomnost červí díry poznáme tak, že si laserem o určité frekvenci v daném směru neposvítíme. To je globální efekt, který určitě nechceme .. musíme proto připustit, že na ústích se skutečně generuje nějaký proud, čistě přes topologii cesta nevede.

Zajímavost: V tomto přístupu integrujeme přes všechny hodnoty k_μ, nejen přes světelné vektory k_μ k^μ = 0, - tato podmínka vznikne až tím, co je pod integrálem. V tom vidím analogii s virtuálními částicemi, které mohou být off-shell, tedy nesplňovat relativistickou relaci p^μp_μ = m₀² .

Zdroje:

1. Electromagnetic field near cosmic string, P. Krtouš
2. Huygens’ principle, the free Schrödinger particle and the quantum anti-centrifugal force, M A Cirone , J P Dahl, M Fedorov, D Greenberger and W P Schleich, Appendix
   

detaily výpočtů (zatím) neuvádím..

Indukovaný čtyřproud
Víme-li tedy, že pro normální chování našich červích děr je potřeba indukovat na nich čtyřproud, je otázkou, jak to udělat. Není těžké ukázat, že když zvolíme libovolné (stejné) rozložení náboje na ústích, Poissonova rovnice půjde s touto okrajovou podmínkou splnit. (Platit to pravděpodobně bude platit i pro dynamiku.) To je ovšem příliš mnoho možností - chtělo by to mít jednoznačné chování, abychom z modelu mohli vyzískat konkrétní předpovědi. Jedna z možností, která mne napadá, je, že se podíváme, jaké pole přichází k prvnímu ústí, a pak se podíváme, jaký čtyřproud na druhém ústí je potřeba vygenerovat, aby byl čtyřpotenciál stejný. Potom od obou ústí odečteme takový čtyřproud, aby jejich součet v každém bodě byl nula. (To opět nezpůsobí rozdíl ve čtyřpotenciálu.)

Takové řešení by mělo fungovat, ale přijde mi trochu ad hoc - zatím si navíc nejsem jistý, jestli je správně Lorentz-invariantní, ani jsem nezkonstruoval žádné analytické řešení pro nebodová ústí. (Tam nejde podmínka splnit stejnosti potenciálů takto splnit.) „Výzkumy“ stále pokračují .. pokud jste se dočetli až sem, tak upřímně, klobouk dolů. Popravdě tenhle článek stejně píši spíš pro sebe, abych si urovnal myšlenky.. takže dobrou noc, můj milý deníčku..

P.S.

Konečnost energie procházejícího náboje ve variantě indukovaný čtyřproud
Rozložení náboje na ústích umím spočítat jen pro speciální případy, naštěstí však stačí k rozhodnutí otázky konečnosti energie. Zajímá nás rozdíl energie pole v případě, že náboj je volný/daleko od ČeD, a kdy je náboj blízko ČeD. Důležitá speciální případ je, je-li ústí ČeD rovina. Pak jednoduše mezi rovinami/ústími pole není - končí v jedné rovině a spojitě navazuje ve druhé. V takovém případě má pole stejnou energii jako kdyby tam ČeD vůbec nebyla. Druhý speciální případ je, kdy se náboj dotýká malé ČeD. To vypadá jako dva bodové náboje poloviční velikosti - čili energie je opět stejná jako pro volný náboj. Obecně energie stejná není, ale tyto dva případy dostatečně přiblíženého náboje stačí k tomu, abychom mohli usoudit, že energie přiblíženého náboje je konečná a tedy může projít skrz.