Hraní s červími děrami - elektrostatika/dynamika

Hračce zvané červí díry jsem zůstal věrný kupodivu dlouho. Poté, co jsme vyřešili „zjevné“ problémy, začal mi vrtat hlavou složitější problém - co se stane s ústími červí díry, pokud k němu přiblížíme náboj? Je zjevné, že by náboj měl skrz ústí působit. Ale jak přesně? Dále je téměř zjevné, že na obou ústích musí být stejný potenciál, kdyby nebyl, dala by se z červí díry těžit energie tak, že budeme chodit kolem dokola v nekonzervativním poli. Rozhodl jsem se sem vypsat své nápady, jak postupně přicházely, abych demonstroval, jak je někdy cesta k poznání krkolomná. (Jenom chci podotknout ke značení, že používám jednotky c = 1, G = 1, 1/4 pi ε₀ = 1, ...)

Naivní potenciál
Úplně první potenciál, který mne napadl, vypadal jako φ = Q/min(r_přímo,r_skrz). Myšlenka vychází z toho, že náboje můžeme k sobě přibližovat po kterékoliv spojnici - proto je nejvýhodnější použít tu nejkratší. Zajímavým jevem, který se objevil v takovém potenciálu, je síla působící na obě ústí, která nezávisí na jejich náboji, ale na náboji objektů, které se přiblížily tak, že ústí mezi nimi představují zkratku. To je zajímavé zejména tím, že by se to jistě týkalo třeba i gravitační síly (ať už Newtonovské, nebo linearizované OTR). Takový potenciál má ale ten problém, že se vůbec neopírá o žádné polní řešení a síla se objevuje okamžitě. Proto jsem posléze tuto myšlenku opustil.

Náboj extremizující akci
Další myšlenka, jak se vyhnout složitým výpočtům, byla, že na obou ústích mohou vznikat náboje. A to tak, že v topologicky ztotožněných bodech jsou vždy opačné (aby se náboj zachoval) - jak se náboj mění se potom určí, jako by šlo o dynamickou proměnnou - z Euler-Lagrageových rovnic. Zde jsem došel k výsledku, že dochází k polarizaci takovým způsobem, že na bližším ústí se generuje stejný náboj, který je větší, je-li náboj blíže. V důsledku je červí díra pro každý bodový náboj neprůchozí, protože energie nutná k jeho přiblížení k (i nebodovému) ústí, je nekonečná. Dokonce být nekonečná musí, protože na ústích není stejný potenciál, takže náboje nesmí procházet skrz kvůli zachování energie.. Navíc tato cesta taky nevypadá příliš Lorentz-invariantně, takže jsem ji také záhy opustil.

Sčítání po všech cestách
Dalším z možných přístupů bylo zkoušet sčítat příspěvky Q/r po všech cestách - kdy jdeme přímo k testujícímu náboji, kdy projdeme jedním ústím a zkrátíme si cestu, kdy projdeme ústím, jdeme zpět a projdeme jím znovu a pak jdeme k testovacímu náboji, atd. plus to samé pro druhé ústí. Pokud jsme na spojnici ústí, dostaneme tak



Tato suma diverguje. To by samo o sobě nevadilo, protože se dá udělat „přirozená“ normalizace - derivace potenciálu je síla, takže posčítáme derivace sčítanců - sumy zde již konvergovat budou, a potom zpět zintegrujeme. Problém je ovšem v něčem jiném - síla do nekonečna nebude ubývat jako 1/r², ale jako 1/r. To už samozřejmě vadí, protože bychom chtěli, aby se existence červí díry nedala rozpoznat na dálku - v takovém potenciálu ovšem neexistuje úniková rychlost, takže červí díra by se dala změřit libovolně daleko (o globálních vlivech, např. na vzdálené galaxie, nemluvě.) Dále si můžeme všimnout, že ani touto cestou nedostaneme stejný potenciál na obou ústích..

Nasadíme kulovou inverzi
Chvíli jsme zkoušeli s Mikulášem jít k problému tak, že si budeme představovat, že jedno ústí je prázdná koule. Pole náboje v ní má normální průběh .. poté vezmeme vnitřek, provedeme na něj kulovou inverzi a invertovaným polem obložíme druhé ústí.. (Předpokládáme, že je kulové a má stejný tvar.) Nejdřív se mi to zdálo jako skvělá myšlenka, protože jednak zaručuje stejný potenciál na obou ústích a jednak je velice podobný předchozímu přístupu, kde jenom dodává tlumící člen úměrný úhlové velikosti ústí, takže řady se najednou chovají hezky. Dokonce jsem si říkal, že by bylo skvělé vyřešit rovnou dynamiku tak, že si představuji, že vnějšek druhého ústí se namapuje dovnitř koule - prvního ústí, akorát se upraví index lomu tak, aby přímkové paprsky chodily po kružnicích přes střed (s možnou transformací času), jak se při kulové inverzi sluší. To by indukovalo transformaci permitivit a dalších veličin s polem spojených, čímž bychom dynamický problém v prostoru s podivnou topologií převedli na problém v normálním prostoru.. (To, že první ústí je zobrazeno samo do sebe, by se dalo vyřešit sečtením vhodné řady, díky linearitě.)

Po chvilce počítání jsem ale zjistil, že takový radiálně symetrický průběh indexu lomu v kouli neexistuje (musel by být různý pro různé vstupující paprsky, což by nešlo zobecnit na elektromagnetickou vlnu). Navíc jsme jaksi přehlédli, že kulová inverze řešení Laplaceovy rovnice nezaručuje, že invertované pole ji bude řešit - je to jen speciální rys řešení, který splňuje rozložení náboje, jde-li o vodivou kouli. (Pokud tomu někdo rozumíte víc a chcete mne opravit, tak mi prosím napište, třeba komentář.) Myšlenka tedy padá.

Topologický tank
Po počátečních neúspěších jsem se rozhodl na to jít trochu pořádněji. Řešíme relativistickou rovnici ◻A^μ = -J^μ. Její řešení můžeme hledat pomocí rozkladu D'Alembertiánu do jeho vlastních hodnot - to v rovném prostoru vypadá přesně jako řešení rovnice výše pomocí Fourierovy transformace, ve skutečnosti jde ale o obecnější přístup. Hledáme Greenovu funkci takovou, že

◻_x G(x|x') = δ(x|x').

Protože vlastní funkce D'Alembertiánu tvoří úplný systém¹, suma jejich skalárních součinů sama se sebou (ovšem v bodech x, x') dá δ(x|x'). Protože po zapůsobení D'Alembertiánu vyskočí na tomto skalárním součinu čtverec vlastní hodnoty, je nutně Greenova funkce suma přes všechny vlastní funkce f_k(x) z výrazu f_k(x)f_k(x')/k². (k je multiindex představující zároveň vlastní hodnoty tak, že k² jsou vlastní hodnoty, nikoliv jejich čtverce¹.)

A co jsou ty vlastní funkce? V Minkowského časoprostoru bez červí díry tvoří jejich úplný systém funkce exp(i k_μ x^μ) a vlastní hodnoty jsou k_μ k^μ. V časoprostoru s červí dírou s ústími posunutými o Δx^μ ale mohou existovat jen takové řešení, že potenciál na obou ústích je stejný. To implikuje podmínku

k_μ Δx^μ = 2 π n,

což v praxi znamená, že pokud vyšleme elektromagnetickou vlnu ve směru spojnice ústí, budou povoleny jenom některé její frekvence. Bohužel ovšem v rovnicích nikde nevystupuje naše vzdálenost od ústí (čehož jsem si samozřejmě všimnul až dlouhém řešení těch integrálů ), takže ať jsme libovolně daleko, přítomnost červí díry poznáme tak, že si laserem o určité frekvenci v daném směru neposvítíme. To je globální efekt, který určitě nechceme .. musíme proto připustit, že na ústích se skutečně generuje nějaký proud, čistě přes topologii cesta nevede.

Zajímavost: V tomto přístupu integrujeme přes všechny hodnoty k_μ, nejen přes světelné vektory k_μ k^μ = 0, - tato podmínka vznikne až tím, co je pod integrálem. V tom vidím analogii s virtuálními částicemi, které mohou být off-shell, tedy nesplňovat relativistickou relaci p^μp_μ = m₀² .

Zdroje:

1. Electromagnetic field near cosmic string, P. Krtouš
2. Huygens’ principle, the free Schrödinger particle and the quantum anti-centrifugal force, M A Cirone , J P Dahl, M Fedorov, D Greenberger and W P Schleich, Appendix
   

detaily výpočtů (zatím) neuvádím..

Indukovaný čtyřproud
Víme-li tedy, že pro normální chování našich červích děr je potřeba indukovat na nich čtyřproud, je otázkou, jak to udělat. Není těžké ukázat, že když zvolíme libovolné (stejné) rozložení náboje na ústích, Poissonova rovnice půjde s touto okrajovou podmínkou splnit. (Platit to pravděpodobně bude platit i pro dynamiku.) To je ovšem příliš mnoho možností - chtělo by to mít jednoznačné chování, abychom z modelu mohli vyzískat konkrétní předpovědi. Jedna z možností, která mne napadá, je, že se podíváme, jaké pole přichází k prvnímu ústí, a pak se podíváme, jaký čtyřproud na druhém ústí je potřeba vygenerovat, aby byl čtyřpotenciál stejný. Potom od obou ústí odečteme takový čtyřproud, aby jejich součet v každém bodě byl nula. (To opět nezpůsobí rozdíl ve čtyřpotenciálu.)

Takové řešení by mělo fungovat, ale přijde mi trochu ad hoc - zatím si navíc nejsem jistý, jestli je správně Lorentz-invariantní, ani jsem nezkonstruoval žádné analytické řešení pro nebodová ústí. (Tam nejde podmínka splnit stejnosti potenciálů takto splnit.) „Výzkumy“ stále pokračují .. pokud jste se dočetli až sem, tak upřímně, klobouk dolů. Popravdě tenhle článek stejně píši spíš pro sebe, abych si urovnal myšlenky.. takže dobrou noc, můj milý deníčku..

P.S.

Konečnost energie procházejícího náboje ve variantě indukovaný čtyřproud
Rozložení náboje na ústích umím spočítat jen pro speciální případy, naštěstí však stačí k rozhodnutí otázky konečnosti energie. Zajímá nás rozdíl energie pole v případě, že náboj je volný/daleko od ČeD, a kdy je náboj blízko ČeD. Důležitá speciální případ je, je-li ústí ČeD rovina. Pak jednoduše mezi rovinami/ústími pole není - končí v jedné rovině a spojitě navazuje ve druhé. V takovém případě má pole stejnou energii jako kdyby tam ČeD vůbec nebyla. Druhý speciální případ je, kdy se náboj dotýká malé ČeD. To vypadá jako dva bodové náboje poloviční velikosti - čili energie je opět stejná jako pro volný náboj. Obecně energie stejná není, ale tyto dva případy dostatečně přiblíženého náboje stačí k tomu, abychom mohli usoudit, že energie přiblíženého náboje je konečná a tedy může projít skrz.

Hraní s červími děrami

Nedávno mi Mikuláš položil otázku, zda bych uměl vymyslet nějaké věrohodné sci-fi-povídání - základ pro možnost kosmických letů tak, aby zněl fyzikálně co nejvěrohodněji. (Pro účely případného RPG.) Z hlediska sci-fi je potřeba mít možnost rychle cestovat mezi hvězdami, což se ale samozřejmě bije s požadavkem, aby nejvyšší dovolená rychlost byla rychlost světla. Po poměrně vydatné inspiraci Eganovou Diasporou jsem celou myšlenku postavil na červích děrách - topologických zkratkách časoprostorem. Nakonec se z toho vyklubala překvapivě plodná debata.

Problém s červími děrami (neřešili jsme mechanismus jejich vzniku - předpoklad byl, že ústí červích děr jsou třídy topologicky sjednocených bodů Minkowkého časoprostoru na světočarách jejich ústí, tj. vnitřní délka červí díry je nulová a ČeD je implicitně stabilní) je, že umožňují vznik časových paradoxů. Pokud se stane, že jedno ústí je v minulosti druhého, lze ČeD procházet do minulosti. (Když mezi ústími existuje uzavřená časupodobná trajektorie.) To bychom sice mohli vyřešit podobným modelem cestování časem, jako byl prezentován např. ve Dvanácti opicích, tj. časoprostor je zadán tak, že chování cestovatele v čase je předurčeno takovým způsobem, že nikdy nemůže způsobit časový paradox - pokud se o to pokusí, je z toho vymanipulován sérií nepravděpodobných událostí, které se najednou semelou. Takové řešení však není moc praktické, pokud chceme hrát RPG, kde postavy mají svobodnou vůli, takže jsme přemýšleli dál.

Další možností bylo, že napříč celým prostoročasem se táhne prostorupodobná nadplocha, která definuje privilegovanou vztažnou soustavu. Červí díry by potom vždycky vedly z jedné do druhé tak, že vejdu jedním koncem a na druhé straně vystoupím tam, kde se světočára druhého ústí protíná se stejnou nadplochou - současně v privilegované soustavě. Takové řešení je jistě funkční, ale bourá princip ekvivalence vztažných soustav, takže jsme se s ním rovněž nespokojili na dlouho.

Pokud nemá být žádná soustava privilegovaná a určovat globální „teď“, musí existovat jiný mechanismus, který časovým paradoxům zabrání. Takový mechanismus nabízí zpětná vazba a teorie pole. Jakmile jsou ústí od sebe vzdálená světlupodobně, mohou mezi ústími procházet fotony v nulovém čase. To jednak způsobí silnou zpětnou vazbu - zesílení šumu ve směru mezi ústími, a rovněž, protože jsou ústí „libovolně blízká“, můžeme předpokládat, že jakmile se k sobě ústí přiblíží tak, že by mohly vytvořit stroj času, buďto se objeví libovolně velká odpudivá síla, která jim znemožní se do oblasti dostat („soukromý horizont“), nebo se ústí vlivem silné interakce rozpadnou a jejich energie se uvolní podél jejich spojnice. V prvním případě přitom není potřeba předpokládat, že síla může být libovolně velká - pokud mají červí díry nějakou stabilizační energii, nad kterou se již rozpadají, pak pokud proti odpudivé síle budeme tlačit dostatečně, způsobíme rozpat ČeD. Později jsem se snažil najít, zda někdo nespočítal, jestli síla vyvolaná průchodem virtuálních částic zkratkou mezi ústími bude přitažlivá či odpudivá (odpověď se zjevně dá získat jen z topologie, není potřeba specifikovat interakční vrchol pro ČeD), leč bez úspěchu.

Pokud červí díru vytvoříme lokálně, nemusíme vůbec řešit „nepovolené otevření“ - každé lokální otevření je povolené.

ČeD vzdálena prostorupodobně, zjevně není strojem času, světelné signály prochází stále do budoucnosti.

ČeD vzdálená světlupodobně - signály mezi ústími prochází v nulovém čase, signál efektem zpětné vazby zesiluje kosmické pozadí, navíc prolétající virtuální částice nejspíš vyvolávají pole libovolné intenzity.

Máme-li vyřešenu možnost vzniku strojů času, je stále potřeba rozmyslet některé přirozené otázky, které by existence ČeD našeho typu vyvolávala. Co například zákony zachování? Je například vidět, že moment hybnosti (a tím pádem ani poloha těžiště), se zachovávat nemusí. To by samo o sobě vadit nemuselo. Zachování energie by mělo jít zaručit, není žádný důvod, proč nemohlo být splněno. Zachování hybnosti by bylo zachováno, pokud by byly ústí ČeD buďto byla dvojrozměrná a natočena vždy stejně, nebo byla trojrozměrná a směr průchodu by se zachoval. (V obecné relativitě by vše bylo složitější, ale záměrně jsme zkoumali jenom Minkowského model.)

Pokud skrz ČeD působí nějaké pole, pak za předpokladu rovného prostoru jednoduše bude působit po všech spojnicích - jak vnějškem, tak ústími ČeD. To nás přivedlo až k otázce, co se stane s ČeD vhozenou do černé díry. (To je mj. často nadnášená otázka i v odborných článcích.) Usoudili jsme, že jestliže pole působí i skrz ústí, pak jakmile jedno ústí propadne horizontem, horizont „vyteče“ ústím na druhé straně a černá díra se rozdělí na dvě menší. Nejprve jsme měli obavy, že (z požadavku vyrovnání teploty) vzniknou dvě ČD stejné hmotnosti, což by např. značně rozhodilo dynamiku galaxie při případném pádu ČeD do ČD v jejím jádru. Situaci ale překvapivě zachraňuje termodynamika černých děr, která požaduje, aby plocha horizontů událostí rostla (protože nese značnou entropii) - ČD obalivší nevpadlé ústí tedy bude jenom tak velká, jak velké je zvýšení entropie, které pád ústí do ČD může způsobit - to znamená, že hmotnost výsledné sekundární ČD by měla být škálově srovnatelná s hmotností ČeD. Informaci tedy z ČD dolovat stále nejde.

ČeD s postupně vzdalujícím se ústím - dilatací času vzniká časový posun mezi ústími (spojené jsou vždy k-té tečky navzájem), červená křivka vyznačuje mez, za kterou se vzdálené ústí nesmí vrátit - tato oblast se dá stáhnout k nule, pokud ústí oddalujeme pomalu a nevzniká časový rozdíl.

Pokud řešíme interakci několika červích děr, je situace stejná - opět zkoumáme možnost vzniku světlupodobných uzavřených trajektorií mezi ústími - a to, kdy se objeví, stanovuje oblasti, do kterých navzájem ČeD nesmí vstoupit. Zajímavé je snad jen provlečení jedné ČeD druhou - pak se časové rozdíly jejich ústí zdědí od červí díry, kterou jsme prošli - opět se stačí dívat na to, jak odtikává vlastní čas prošlé ČeD.

Zbytečné počty?

Vždycky jsem k fyzice přistupoval trochu po svém - jakmile jsem se naučil nějakou novou teorii, hned jsem se ptal, co by se stalo, kdyby nebyl splněný tenhle předpoklad, nebo kdybychom tohle chtěli formulovat obecněji. Typické příklady jsou - jak by vypadal atom vodíku v n-rozměrném prostoru? Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Apod. Vždy mi to přišlo hodně zajímavé. Jakmile se ale někdo zeptá, k čemu to je, musím říct, že k ničemu. Kdo by zaměstnal architekta, aby mu navrhnul čtyřrozměrný dům?

Když jsem si ale pár věcí dával dohromady, uvědomil jsem si, že skoro s každým podobným zobecněním jsem se naučil něco důležitého. Nedá mi to a musím se s nejzajímavějšími „absurdními“ výpočty, které jsem prováděl. (Popravdě se divím, že jsem o nich zatím ještě nepsal.)

Jak vypadá n-rozměrný vodík?

Tohle byla možná nejpoučnější vynaložená práce, k jejíž některým důležitým výsledkům mě kdysi navedl Luboš Motl. Lehčí část je najít rovnici pro radiální část vlnové funkce. Dojde se k zajímavému výsledku - zatímco ve 3-D je energie vodíku kvantovaná, ve čtyřrozměrném prostoru není a ve více rozměrech je elektron spadený v jádře. Nejprve mi tento výsledek přišel hodně překvapující, pak mi ale došlo, proč to tak musí být - když si spočítáte energii planety obíhající ve 4-D, zjistíte, že je volná. Pokud jenom změníte směr rychlosti, uletí - úniková energie je stejná jako kinetická energie oběhu. Proč elektron ve více rozměrech padá na jádro je ale ještě více překvapivé - jednoduše proto, že elektron v základním stavu drží princip neurčitosti. Pokud byste jej chtěli smáčknout více, bude lokalizovanější v poloze, a musí proto být méně lokalizovaný v hybnosti. Energie příslušná této hybnosti roste jako p², takže jako 1/r². Tento člen v jisté vzdálenosti od jádra převáží Coulombický člen -1/r a nastane rovnováha. Ve více rozměrech bude vypadat Coulombický potenciál jako -1/r^(n-2), takže ve 4-D bude elektron vždy volný a ve více-D bude muset spadnout na jádro, protože potenciál je už moc strmý. Zajímavý závěr: Za chemickou vazbu i stabilitu atomů může vlastně princip neurčitosti!

Dálnice - Newton

Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Ne, vážně jste čekali, že tohle bylo k něčemu dobré, kromě poznatku, že lineární algebra je užitečná?

Co dělá Lorentzovu grupu tak speciální, že je vůči ní fyzika invariatní? Dá se vymyslet jiná grupa, ze které by plynula jiná relativita? Dá se nad takovou grupou postavit obecná relativita? Tohle jsou rovněž „zbytečné“ otázky, a přesto odpověď na ně dává nečekané vhledy. Poincarého grupa je totiž skutečně speciální jenom tím, že jsou vůči ní fyzikální zákony invariantní. Kdybychom si vymysleli jinou grupu a formulovali vůči ní invariantní zákony? Samozřejmě to jde. Třeba ve světě, který je kromě rotací, translací a boostů invariantní ještě vůči boostům kolem nějakého vektoru úhlové rychlosti, by byly vztažné soustavy rotující vůči sobě konstantní úhlovou rychlostí úplně stejné. Kromě zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti a spinu, (u kterého mi doteď není úplně jasné, jestli je to skutečně jen moment hybnosti, když vzniká díky jiné symetrii, byť se chová stejně), bychom zde měli tři nové zachovávající se veličiny.) Zajímavý závěr: Zatím nevím, jak by se nad obecnou grupou budovala obecná relativita, ale pokud na to přijdu, pak mi to určitě pomůže lépe pochopit, jestli je její geometrická interpretace něčím zvláštním, nebo jestli je to něco, co se dá udělat pro každou z možných speciálních relativit - například Newtonova teorie se dá zapsat geometricky, ale ne pomocí metriky, jen pomocí afinních konexí.

Vyvolávají nutně červí díry paradoxy? Tahle úvaha mě napadla, když jsme s Mikulášem diskutovali, zda bych byl schopný vytvořit alespoň rámcově udržitelnou omáčku pro nějaké sci-fi, kde je samozřejmě cestování ke hvězdám samozřejmostí. Kdo zná trochu STR, snadno uvidí, co je za problém s cestováním nadsvětelnou rychlostí - vždy se najde pozorovatel, který uvidí takového cestovatele cestovat do minulosti. Takže je porušena kauzalita, což by nešlo. U červích děr (ala Stargate) k tomu zdánlivě nedochází, ale problém nastane, kdy se má určit, které body světočáry jedné červí díry vás přenesou do kterých bodů druhé červí díry, tedy jaké je společné „teď“. Pokud pak máte více červích děr na jednom místě, pak obecně vedou do různých teď (protože s jednou z nich jsem mohl pohybovat a tím její rychlost plynutí času měnit.) Takže i červí díry mají problém. Pak jsem si ale uvědomil, že problém se dá obejít i tak, že se budeme tvářit, že v časoprostoru je definovaná prostorupodobná nadplocha, která určuje globální teď. (A zejména, pokud by ji byly schopné rozeznat třeba jen některé druhy částic, bychom se mohli tvářit, že by se dala klidně později objevit a dnes se o ní jednoduše neví.) Taková nadplocha by umožnila se vyhnout paradoxům s časem (warpový nebo červoděrový cestovatel může vždycky jít nejlépe rovnoběžně s nadplochou, takže nikdy nesměřuje do minulosti). Tím neutrpí princip konstantní rychlosti světla, ale půjdou pak postavit přístroje, které poznají vyjímečnou vztažnou soustavu, pro kterou je naše nadplocha současností. Pak samozřejmě nejsou všechny vztažné soustavy rovnocenné. Zajímavý závěr: člověk si alespoň lépe uvědomí, na jakých axiomech STR stojí a že není potřeba rovnou bourat princip konstantní rychlosti světla, když už potřebujeme funkční sci-fi svět.

Dálnice - STR, obzor se křiví, barví Dopplerovým jevem a mění se intenzita.

Dalších podobných úvah mám hodně, ale nemám je všechny zdaleka tak rozmyšlené, abych u nich mohl zajímavosti vypíchnout - jen namátkou - Jak by vypadala kvantová teorie, která dává pohybovou rovnici obsahující i vyšší řády v čase? (A zrychlení a další veličiny, jsou stavové.) Jaké zajímavé důsledky dává kalibrační teorie, kde za kalibračně invariantní pole nebereme Diracovo pole s poločíselným spinem, ale pole se spinem vyšším? Jaké zajímavé termodynamické důsledky se objeví, pokud do hry zahrneme stroj času? (Co se stane s entropií, když jednou z podmínek je, že světočáry se musí navázat?) Atd. atp. Na první pohled jsou to úvahy zbytečné, ale člověk nikdy neví ..

Výběrová pravidla

Výběrová pravidla v molekulové spektroskopii mi vrtala hlavou už dlouhou dobu. Poměrně dlouho jsem o nich diskutoval s Luckou a v poslední době s Maruškou a snažil jsem se je vysvětlit fundamentálními argumenty, kterým bych rozuměl. Ale až nedávno se mi podařilo celou skládanku složit. (Jako fyzik nespecialista jsem nikdy neměl přednášku, která by se tématu týkala a chemikům zase celou věc podají s tak malým množstvím matematiky, že jsem nebyl dlouho schopný chybějící články najít.) Jak to tedy je?

Počítáme v klasické kvantové mechanice, záření tedy nepopisujeme jako proud fotonů, ale zkrátka jako rovinnou vlnu (vlnová délka je mnohem delší než rozměry molekuly) a vše v prvním řádu teorie poruch (takže intenzita elektrického pole záření musí být dostatečně malá). A jaká vlastně výběrová pravidla jsou? Ta nejobecnější (nezávislá na symetriích molekuly, kromě symetrie osové, kterou předpokládáme kdykoliv, když vůbec hovoříme o orbitálním impulsmomentu (=momentu hybnosti) dílčích elektronů) tvrdí, že přechody, při kterých se mění multiplicita (2S+1, kdy S je velikost součtu spinů elektronů v molekule) a přechody, kde se celkový orbitální impulsmoment mění víc jak o jedničku, jsou zakázány. Proč?

Odpověď má několik úrovní složitosti, na kterou můžeme jít. Nejjednodušší je říci, že na zářivých přechodech se nejvíce podílí interakce elektrického dipólu molekuly (suma -e r_i). Operátor elektrického dipólu zjevně na spiny elektronů vůbec nepůsobí, takže multiplicita je jasná. Potom lze říci, že foton má spin 1, takže může předat nejvíce jedničkový impulsmoment, a protože nepůsobí na spiny, tak jedině orbitálnímu momentu elektronu (kterému ho předat musí, takže delta l není nula, po přičtení k ostatním orbitálním momentům ale celkové delta L být nulové může.) Prostorový moment hybnosti fotonu se zase neprojeví, protože je foton moc velký a působí příliš homogenně, než aby mohl do elektronu „šťouchnout“ ze strany (čímž by mu předal libovolně velký moment hybnosti nepocházející z jeho spinu) - toto je možné až v kvadrupólovém a vyšším multipólovém modelu, které se ale uplatní až pro fotony s kratší vlnovou délkou.

Proč jenom te té červené čáře zprava tak dlouho trvá?

Teď bychom to mohli zabalit a s takovou odpovědí se spokojit. Ale jak to tak bývá, pravda je složitější (a hezčí). Předně: co nám říká, že foton má spin zrovna jedna? Použili jsme tu jakousi, sice pravdivou, ale do argumentace ad hoc vloženou skutečnost .. jak se spin fotonu odráží ve struktuře operátorů interakce s elektromagnetickým polem? Odpověď je schovaná ve skládání impulsmomentů: procesu, při kterém přejdeme z báze stavů, kdy známe velikosti a z-ové složky spinů a orbitálních impulsmomentů do báze, kdy známe velikost a z-ovou složku celkového spinu a orbitálního momentu všech elektronů v molekule. Dá se totiž ukázat (zájemce odkazuji na příslušnou kapitolu Formánkovy knihy), že operátory odpovídající vektorům (jako operátor elektrického nebo magnetického dipólu), komutují s operátory impulsmomentů takovým způsobem, že jeho vlastní stavy vždy mění nejvíce o jedničku. (Tenzorové operátory o dvojku, ... ) Informace o tom, že foton má spin 1 je tedy schovaná už v operátoru elektrického a magnetického dipólu! (Tady můžete tušit hlubokou souvislost mezi elektromagnetickým polem a fotony, které ho utváří - kdyby měl například foton spin dva, nemohl by působit změnu elektrického dipólu a ten by se proto zachovával - podobné souvislosti nám třeba říkají, že graviton musí mít spin 2, i kdybychom o něm jinak nic nevěděli, ale to odbíhám.) Když se navíc podíváme na operátor elektrického dipólu, zjistíme, že je lichý. Změna souřadnic na opačné mění jeho znaménko. Jelikož je rychlost změny v poruchové teorii úměrná integrálu přes Ψ^* Â Ψ, vidíme, že dipólová interakce musí měnit paritu prostorové části vlnové funkce, což je další z výběrových pravidel! (Kdyby ne, pro každý bod daného integrálu se podíváme do protějšího bodu a zjistíme, že má integrand opačné znaménko, naintegrujeme tedy nulu..)

To nejzajímavější ale teprve přichází - ono totiž není úplně pravda, že by se spin elektronu (rozumějmě jeho z-ová složka) nemohl změnit - vždyť foton má i magnetickou složku (byť velmi slabou, takřka zanedbatelnou), takže interakcí s vlastním magnetickým momentem elektronu může k překlopení dojít.. pravidlo o tom, že se multiplicita nemění je ale přesto pořád platné, jak je to možné?! K překlopení dochází vlivem magnetického dipólu molekuly - to je sudý vektorový operátor. Mění tedy velikost impulsmomentu o jedna (viz Formánek...), ale přitom nemění paritu prostorové části! Protože je ale tato parita dána jako (-1)^l, nemůže tato interakce zvednout orbitální impulsmoment (to by změnila paritu, musí tedy překlopit spin - právě jednoho elektronu). Jaktože se tedy nezmění multiplicita?

To, že prostor je symetrický vůči rotaci má hluboké důsledky. Bez toho by se nezachovával moment hybnosti a všechno kolem spinů by vypadalo úplně jinak..

Připomeňme, že multiplicita je funkcí celkového spinu molekuly, takže operujeme v bázi s ostrou hodnotou velikosti a z-ové složky celkového spinu |S,S_z,L,L_z>. Co v ní znamená, že se překlopí spin jednoho elektronu? To zjistíme přechodem do báze s ostrými hodnotami impulsmomentů jednotlivých elektronů, rozepíšeme |S,S_z,L,L_z> jako sumu příslušných stavů v dané bázi násobených Clebsch-Gordanovými koeficienty. (Ty nám říkají, jak přecházet mezi jednotlivými ireducibilními reprezentacemi SO(3) grupy). (Rozpis do této báze si bohužel musíte jenom představovat, protože Google ještě nezačlenil do Bloggeru TeX.) Pak se podíváme na relaci ortogonality

<S',S'_z,L',L'_z|S,S_z,L,L_z>=δ_SS' δ_SzSz' δ_LzLz' δ_LL' .

Každý z bra/ketů vlevo je součtem mnoha bra/ketů s ostrou hodnotou spinů a orbitálních momentů jednotlivých elektronů násobených C-G koeficienty. Tyto relace nám také říkají, že pokud se žádné ze spinů nepřeklopí, musí být S = S', aby byl výsledek nenulový. Co se ale stane, když se překlopí právě jeden elektron? Zjevně vůbec nic! Jen bázové vektory u nichž měl spin nahoru se vymění s těmi, kde měl spin dolů, protože ale přes tyto vektory sčítáme, stejně prosčítáme přes všechny - překlopení spinu u jednoho elektronu je ekvivalentní s přejmenováním jednoho ze sčítacích indexů a proto se pravidlo o zachování multiplicity neporuší...

Nejtěžší na konec - je potřeba si uvědomit, že tato krásná konzistentní argumentace se zakládá na mnoha aproximacích, které nejsou vždy splněny a proto je potřeba i vědět, proč všechno nefunguje úplně spolehlivě a trochu si teorii pobořit Tato pravidla se mohou narušovat třeba tím, že do hry vstoupí vyšší multipóly (ať už elektrické nebo magnetické). Tyto příspěvky jsou však slabé. Největší rozdíl udělá porušení LS-vazby, tedy fakt, že pokud se elektrony pohybují dostatečně rychle, klasická teorie nestačí a je potřeba použít relativistické opravy. V relativitě ovšem nekomutují spiny s orbitálními momenty. Proto obecně neexistují bázové funkce |S,S_z,L,L_z> a nemá smysl rozlišovat multiplicitu a orbitální momenty. Pak se multiplicita mění jednoduše proto, že se ani o počátečním ani koncovém stavu nedá říci, jakou že to multiplicitu přesně měl.

(Užitečné zdroje zde, zde a zde ...)

Greg Egan

Netajím se s tím, že mám rád sci-fi a fantasy. Čím je příběh exotičtější a čím víc nutí člověka přemýšlet, tím spíš se mi zalíbí. Odpůrci žánru často tvrdí, že zde je mnoho braků, které nestojí ani za otevření. To je pravda - čím víc knih jsem přečetl, tím jsem vybíravější (a zároveň o výběr přicházím, protože dobrých autorů skutečně není moc). Jedním z mistrů sci-fi je i australský spisovatel Greg Egan, kterého doslova chválím kudy chodím. Podívejme se na něj blíže.

Sci-fi je žánr, který dobře definoval jeden z jeho hlavních představitelů, Arthur C. Clarke: „Cokoliv, co by se v budoucnu mohlo stát sem patří, zbytek je fantasy.“ Sám se tohoto hesla držel - ve svých knihách se poměrně důsledně (i když taky ne docela) opíral o fyziku - popisoval lety k planetám, ke hvězdám a vůbec rozvoj lidstva. To je taky to, co si lidé většinou pod sci-fi představí. Lety do vesmíru a popis příběhů kosmonautů. Zdaleka ne každý autor se ale držel čistého sci-fi stylu, třeba ve slavné Duně mají hlavní hrdinové věštecké a telepatické schopnosti, zato příběh je tak silný, že takové mouchy vyrovná, Star Trek se zase nevyhnul warpovému pohonu a transportérům, které jsou snad ještě více technicky problematické a např. Star Wars má zase řád Jedi a Sílu. Všechny tyto mají zajímavý příběh a svět, ve kterém se odehrávají, ale o tom, že by se něco takového stalo následníkům lidí nemůže být řeč.


Naproti tomu Egan se drží (sub)žánru hard sci-fi - důkladně technicky popisuje, co a jak se v jeho světě děje. Nebojí se témat, kterým se ostatní vyhýbají, protože se zdánlivě hodně těžko vysvětlují a jsou nezvyklé a těžko uchopitelné. Většina jeho knih nastoluje spoustu provokativních otázek (kde jedna z nich např. vyprovokovala naši diskusi s Mikulášem o několik příspěvků níž). A k tomu všemu je potřeba ještě zmínit slovo transhumanismus (tedy zamýšlení nad tím, čím by se lidé pomocí techniky mohli časem stát) - to je to, o čem Egan píše především.

Jednou z hlavních linií jeho příběhů tvoří knihy Město permutací, Diaspora, Schild's ladder a Incandescence. Nejsou sice tak úplně ze stejného světa, ale všechny rozebírají stejnou představu budoucnosti lidstva, jen v různých etapách. Město permutací popisuje dobu, kdy počítače budou natolik výkonné, že si bohatí lidé mohou dovolit nechat pravidelně dělat sken svého těla. Jakmile zemřou, nechají se pustit na nejmodernějším hardwaru - ne jako nějací roboti, ale jako kopie - lidé, kteří žijí ve virtuální krajině, podobně jako postavy v nějaké počítačové hře. S tím je samozřejmě spojena spousta etických otázek. Měly by takové kopie mít lidská práva? A co na to veřejnost, když nejbohatší vrstva lidí přejde do počítačů a zajistí si (téměř) nesmrtelnost - a přitom efektivně budou vlastnit většinu prostředků? Nejdůležitější otázka se ale týká podstaty lidského vědomí - jak počítačový program vnímá sám sebe, jaké otázky bychom si museli položit, kdybychom se třeba mohli zkopírovat a spustit dvakrát, atd. (A vůbec, přečtete si knihu, nebudu kazit překvapení, protože vážně stojí za to.)

Naproti tomu Diaspora se odehrává podstatně dál v budoucnosti. Hlavní hrdinové už jsou jenom počítačové programy, které obývají virtuální krajinu, kterou si přizpůsobují dle svých potřeb. Fyzicky se přitom nacházejí v Polis, výpočetním uzlu zakopaném na nespecifikovaném místě pod zemí. Takové prostředí se může zdát natolik cizí, že musí být těžké o něm cokoliv psát, natož aby se v něm odehrával napínavý příběh. Egan to však zvládá výborně. Pokud např. hlavní hrdinové chtějí nějak vnímat skutečný svět, použijí některou z mnoha kamer, byť by třeba byla na oběžné dráze Jupitera - mohou se tam „podívat přímo“. Zajímavá je i výprava k původním lidem (na níž stráví hlavní hrdinové pouhý jeden den, který jim ale vzhledem k tomu, jak rychle počítač normálně běží, přijde skoro jako rok) - jednoduše přehrají sami sebe do robota, který je zanese kamkoliv bude potřeba. Další zajímavý problém byl např. jak má člověk, který žije tisíce subjektivních let ukládat svou paměť - nemůže si pamatovat vše najednou, ale taky by bylo hloupé vše zapomínat, takže část paměti mají jen pasivně „na vyžádání“. Nejlepší momenty samozřejmě neprozradím. O této knize bych řekl, že to bylo nejlepší sci-fi, jaké jsem kdy četl.


Schild's ladder naopak sleduje ty „lidi“ v daleké budoucnosti, kteří se rozhodli, že zůstanou ve fyzických tělech. Všichni mají v hlavě počítač, který nahrazuje mozek (to je ostatně společný rys mnoha Eganových knih - organický mozek nikdy nositeli nezaručí dlouhý život, proto je nutné vymyslet flexibilnější náhradu - tato varianta se sama nabízí), těla přitom střídají podobně jako oblečení. Tady se poprvé zabývá cestováním - pokud chce člověk cestovat, jednoduše se na druhou planetu pošle jako světelný signál (příslušně kvantově zašifrovaný), na druhé straně mu jednoduše dají nový procesor a tělo .. má to ale háček. Protože nejde cestovat rychleji než světlo, pokud se vydáte 300 světelných let daleko, vrátíte se nejdřív za 600 let. To ale znamená, že se vám všichni, koho jste znali, velice odcizí. Proto se cestování bere jako trochu zvláštní forma zábavy, ke které se neodhodlají zdaleka všichni. Dokonce je popisována planeta, jejíž obyvatelé se rozhodli mnohokrát zpomalit své myšlenkové pochody, aby mohli na případné cestovatele solidárně počkat. (Jako i předtím, tady též nechávám stranou děj knihy - jenom pro kamarády fyziky prozradím, že lidstvo při jednom experimentu vytvoří vakuum, které je stabilnější a energeticky výhodnější než to naše .. naštěstí není lorentz-invariantní a šíří se jenom půlkou rychlosti světla... ehm .. když jsme u toho, taky se tak těšíte, až nám spustí urychlovač? (Jenom vás straším...)) Co se této série knih týká, tak mi Greg Egan přijde jako novodobý Jules Verne, zkrátka píše budoucí historii, jen si na její realizaci budeme muset pár (set) tisíc let počkat.

Trochu stranou je kniha Teranesia, která si pohrává s evolucí - co kdyby se najednou začala chovat jinak, než čekáme? (S příslušně dechberoucím, rozhodně nijak spirituálním, závěrem.) Např. Úzkost zase vezme doslova myšlenku antropocentrismu. Vesmír je tu jenom proto, že nad ním někdo přemýšlí .. z takových předpokladů se dá vyvodit kde co. Tady mi ale trochu vadila Eganova příliš horlivá propagace teorie všeho a krajního materialismu, celkově je ale kniha relativně dobrá. Naposled zmíním Karanténu, která mi přišla oproti zbytku hodně slabá, protože Egan píše o kvantové mechanice, kterou ale pořádně nepochopil, takže co popisuje je čiré fantazírování. (Což sám na jedné Usenetové diskusi říká.) Rozhodně ale všem doporučuji krátkou sbírku povídek - Axiomat. (A začněte rovnou od druhé povídky, abyste neřekli, že jsem blázen, že něco tak překombinovaného čtu. )

Psal bych ještě dál, jsem zkrátka nadšený, protože jsem v USA dokoupil i knihy, které u nás nevyšly, ale myslím, že na krátký článek to stačí...