Srážka rotujících n-rozměrných koulí a termodynamika

Srážka rotujících n-rozměrných koulí je něco, co mi vždycky vrtalo hlavou. Ačkoliv to někteří z vás možná budou považovat za triviální problém, našel jsem v něm celkem netriviální aspekty, o které se v tomto příspěvku podělím. Jaké je přesně zadání?

Mějme soubor dokonale tuhých koulí o daných poloměrech. Koule mohou také obecně rotovat. Sráží se tak, že se zachovává energie, hybnost i moment hybnosti. Najděme takový přepis působících sil, který bude při dostatečně velkém souboru takových koulí imitovat „správnou“ termodynamiku.

Co myslím tou „správnou“ termodynamikou? V tom se právě ukáže být háček, ale původně jsem měl namysli splnění ekvipartičního principu, který se většinou považuje za hodně obecný a v klasické mechanice všeobecně platný.

Dynamika
Jak srážet nerotující koule je poměrně jednoduché.

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Převedeme do původní soustavy.
   

Takováto simulace automaticky ekvipartiční princip splňuje, i pokud máme různé hmoty koulí. To nás příliš nepřekvapí (i když by mělo..).

Jak je to ale s rotací? Jak ji vlastně reprezentovat? Většinou se k popisu používá (pseudo)vektor úhlové rychlosti. Pro zobecnění do n-rozměrů ale není příliš vhodný - to je vidět už když zkoumáme rotaci dvojrozměrného disku - ten má přece jen jednu úhlovou rychlost, ne dvě, jak bychom od vektoru očekávali! To je dané tím, že vektor úhlové rychlosti není vektor, nýbrž pseudovektor (jako všechny objekty vytvořené vektorovým součinem) - jde o tzv. Hodgeův duál „správně“ invariantního objektu - antisymetrického tenzoru druhého řádu.

To ostatně můžeme ukázat jednoduchou analogií - co je rychlost? Snadno nahlédneme z Taylorova rozvoje funkce polohy s(t), že jde o první derivaci, vektor, který stojí před členem dt:

s(t) = s(0) + v(0) dt + ...

Pokud je rotace daná maticí otočení A(t), která vzniká obecným součinem n vhodně zvolených generátorů rotace kolem jednotlivých os:

,




,

 kde v osách jedné roviny jsou vždy na příslušných místech sinus a kosinus a zbytek vypadá jako jednotková matice. Pokud úhly pootočení závisí na čase jako φ(t), ψ(t) a rozvineme vše do Taylorova rozvoje do prvního řádu v dt, rozvité generátory vypadají jako


,




,



Pokud tedy rozvineme A(t) do prvního řádu v čase, můžeme získat jedině to, co bychom získali nějakým součinem rozvitých generátorů G_ij. Všimněme si, že nediagonální členy těchto matic jsou antisymetrické. Tuto vlastnost bude mít do prvního řádu v dt i každý jejich součin (protože na diagonálu se dostanou jen násobky dvou mimodiagonálních elementů, alespoň dt² , které zanedbáme + to chce trochu rozmýšlení). Proto se dá napsat Taylorův rozvoj matice otočení jako:

A(t) = A(0) + ω(0) dt,

kde A(0) je původní pootočení (sem jsme posbírali všechny členy bez dt) a ω(0) je (nutně antisymetrická) matice úhlové rychlosti (sem jsme posbírali všechny členy úměrné dt). To je jen náhled. Analogicky se moment hybnosti nedefinuje v n-rozměrech jako (pseudo)vektor, ale jako tenzor druhého řádu vytvořený jako

L_ij = x_i p_j - x_j p_i.

Tento tvar je podezřele známý z kvantové mechaniky. Důležité je, že při srážce se zachovává. Nyní tedy můžeme shrnout to, co děláme, do bodů:

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Z kolmé složky hybnosti a poloh těžišť spočteme moment hybnosti L_ij = x_i p_j - x_j p_i
5. (5) Libovolně vyměníme moment hybnosti mezi momenty hybnosti obou míčků (¹l_ij , ²l_ij) a momentem hybnosti L_ij daném pohybem těžišť v těžišťové soustavě.
   
6. (6) Vhodnou inverzí soustavy z bodu 4. spočteme z L_ij novou hybnost kolmou na střed pro každý z míčků (každý z nich dostane moment hybnosti nepřímo úměrný své hmotě, aby se zachovala i hybnost - v tom, jak rozdělovat moment hybnosti mezi ně volnost nemáme, narozdíl od nezávislých rotací míčků).
7. (7) Přidáme dvojici sil ve směru spojnice středů mířící od nich. A to takové velikosti, aby výsledná energie byla stejná jako před srážkou. (Touto dodatečnou silou se zjevně nezmění moment hybnosti vůbec ničeho.)
   
8. (8) Převedeme do původní soustavy.
   

Termodynamika
Podobnou simulaci jsem si provedl - výměnu v bodě (4) jsem zkusmo specifikoval tak, že momenty hybnosti se mění tak, aby se vyrovnaly. (To mi přišlo přirozené - termodynamická rovnováha systému koneckonců k takovému výsledku vede.) Byl jsem ale silně překvapený, zjevně nebyl splněn ekvipartiční princip - rotační stupně volnosti měly podstatně méně energie než by jim příslušelo! Docela dlouho jsem bádal nad tím, čím je to způsobené (ekvipartiční princip jsem si zafixoval jako obecné pravidlo platné skoro pro všechny systémy). Přišlo mi hodně zajímavé, že kromě jednoduché kinematiky modelu a integrálů pohybu je potřeba splnit další požadavky, abychom dostali „korektní termodynamiku“. Jedniné řešení, které jsem ale vymyslel je takové, že síly budou zvoleny tak, aby energie každé srážky byla po odrazu vybrána podle Boltzmannova rozdělení - což, jak jistě uznáte, je trochu podvod .

Ve skutečnosti jsem se ale mýlil - se spolužáky jsme prošli předpoklady odvození ekvipartičního principu a zjistili jsme, že zdaleka není tak obecný, jak jsem myslel. Obecně se odvozuje ze střední hodnoty derivace Hamiltoniánu násobené obecnou souřadnicí, podle které derivujeme, ale známá formulace „každý stupeň volnosti má stejnou střední energii“ platí jen pro Hamiltoniány kvadratické v potenciálu či hybnosti. (Sem mj. spadá v dobrém přiblížení v podstatě celá chemie (pokud nejsou stupně volnosti kvantově zamrzlé), takže není divu, že je tato formulace často popisována jako tolik obecná.)

Popsaný model navíc z žádného Hamiltoniánu nevychází - je to jenom přepis pro síly. Takže bychom vlastně neměli očekávat nic - je spíš zajímavou otázkou, proč dokud nezahrneme rotace, ekvipartiční princip vůbec platí?

P.S.
Při přemýtání nad tímto problémem a následnou diskusí jsem narazil na zajímavá skripta z kinetiky, zde, zde, zde, zde a zde.