Hraní s červími děrami - elektrostatika/dynamika

Hračce zvané červí díry jsem zůstal věrný kupodivu dlouho. Poté, co jsme vyřešili „zjevné“ problémy, začal mi vrtat hlavou složitější problém - co se stane s ústími červí díry, pokud k němu přiblížíme náboj? Je zjevné, že by náboj měl skrz ústí působit. Ale jak přesně? Dále je téměř zjevné, že na obou ústích musí být stejný potenciál, kdyby nebyl, dala by se z červí díry těžit energie tak, že budeme chodit kolem dokola v nekonzervativním poli. Rozhodl jsem se sem vypsat své nápady, jak postupně přicházely, abych demonstroval, jak je někdy cesta k poznání krkolomná. (Jenom chci podotknout ke značení, že používám jednotky c = 1, G = 1, 1/4 pi ε₀ = 1, ...)

Naivní potenciál
Úplně první potenciál, který mne napadl, vypadal jako φ = Q/min(r_přímo,r_skrz). Myšlenka vychází z toho, že náboje můžeme k sobě přibližovat po kterékoliv spojnici - proto je nejvýhodnější použít tu nejkratší. Zajímavým jevem, který se objevil v takovém potenciálu, je síla působící na obě ústí, která nezávisí na jejich náboji, ale na náboji objektů, které se přiblížily tak, že ústí mezi nimi představují zkratku. To je zajímavé zejména tím, že by se to jistě týkalo třeba i gravitační síly (ať už Newtonovské, nebo linearizované OTR). Takový potenciál má ale ten problém, že se vůbec neopírá o žádné polní řešení a síla se objevuje okamžitě. Proto jsem posléze tuto myšlenku opustil.

Náboj extremizující akci
Další myšlenka, jak se vyhnout složitým výpočtům, byla, že na obou ústích mohou vznikat náboje. A to tak, že v topologicky ztotožněných bodech jsou vždy opačné (aby se náboj zachoval) - jak se náboj mění se potom určí, jako by šlo o dynamickou proměnnou - z Euler-Lagrageových rovnic. Zde jsem došel k výsledku, že dochází k polarizaci takovým způsobem, že na bližším ústí se generuje stejný náboj, který je větší, je-li náboj blíže. V důsledku je červí díra pro každý bodový náboj neprůchozí, protože energie nutná k jeho přiblížení k (i nebodovému) ústí, je nekonečná. Dokonce být nekonečná musí, protože na ústích není stejný potenciál, takže náboje nesmí procházet skrz kvůli zachování energie.. Navíc tato cesta taky nevypadá příliš Lorentz-invariantně, takže jsem ji také záhy opustil.

Sčítání po všech cestách
Dalším z možných přístupů bylo zkoušet sčítat příspěvky Q/r po všech cestách - kdy jdeme přímo k testujícímu náboji, kdy projdeme jedním ústím a zkrátíme si cestu, kdy projdeme ústím, jdeme zpět a projdeme jím znovu a pak jdeme k testovacímu náboji, atd. plus to samé pro druhé ústí. Pokud jsme na spojnici ústí, dostaneme tak



Tato suma diverguje. To by samo o sobě nevadilo, protože se dá udělat „přirozená“ normalizace - derivace potenciálu je síla, takže posčítáme derivace sčítanců - sumy zde již konvergovat budou, a potom zpět zintegrujeme. Problém je ovšem v něčem jiném - síla do nekonečna nebude ubývat jako 1/r², ale jako 1/r. To už samozřejmě vadí, protože bychom chtěli, aby se existence červí díry nedala rozpoznat na dálku - v takovém potenciálu ovšem neexistuje úniková rychlost, takže červí díra by se dala změřit libovolně daleko (o globálních vlivech, např. na vzdálené galaxie, nemluvě.) Dále si můžeme všimnout, že ani touto cestou nedostaneme stejný potenciál na obou ústích..

Nasadíme kulovou inverzi
Chvíli jsme zkoušeli s Mikulášem jít k problému tak, že si budeme představovat, že jedno ústí je prázdná koule. Pole náboje v ní má normální průběh .. poté vezmeme vnitřek, provedeme na něj kulovou inverzi a invertovaným polem obložíme druhé ústí.. (Předpokládáme, že je kulové a má stejný tvar.) Nejdřív se mi to zdálo jako skvělá myšlenka, protože jednak zaručuje stejný potenciál na obou ústích a jednak je velice podobný předchozímu přístupu, kde jenom dodává tlumící člen úměrný úhlové velikosti ústí, takže řady se najednou chovají hezky. Dokonce jsem si říkal, že by bylo skvělé vyřešit rovnou dynamiku tak, že si představuji, že vnějšek druhého ústí se namapuje dovnitř koule - prvního ústí, akorát se upraví index lomu tak, aby přímkové paprsky chodily po kružnicích přes střed (s možnou transformací času), jak se při kulové inverzi sluší. To by indukovalo transformaci permitivit a dalších veličin s polem spojených, čímž bychom dynamický problém v prostoru s podivnou topologií převedli na problém v normálním prostoru.. (To, že první ústí je zobrazeno samo do sebe, by se dalo vyřešit sečtením vhodné řady, díky linearitě.)

Po chvilce počítání jsem ale zjistil, že takový radiálně symetrický průběh indexu lomu v kouli neexistuje (musel by být různý pro různé vstupující paprsky, což by nešlo zobecnit na elektromagnetickou vlnu). Navíc jsme jaksi přehlédli, že kulová inverze řešení Laplaceovy rovnice nezaručuje, že invertované pole ji bude řešit - je to jen speciální rys řešení, který splňuje rozložení náboje, jde-li o vodivou kouli. (Pokud tomu někdo rozumíte víc a chcete mne opravit, tak mi prosím napište, třeba komentář.) Myšlenka tedy padá.

Topologický tank
Po počátečních neúspěších jsem se rozhodl na to jít trochu pořádněji. Řešíme relativistickou rovnici ◻A^μ = -J^μ. Její řešení můžeme hledat pomocí rozkladu D'Alembertiánu do jeho vlastních hodnot - to v rovném prostoru vypadá přesně jako řešení rovnice výše pomocí Fourierovy transformace, ve skutečnosti jde ale o obecnější přístup. Hledáme Greenovu funkci takovou, že

◻_x G(x|x') = δ(x|x').

Protože vlastní funkce D'Alembertiánu tvoří úplný systém¹, suma jejich skalárních součinů sama se sebou (ovšem v bodech x, x') dá δ(x|x'). Protože po zapůsobení D'Alembertiánu vyskočí na tomto skalárním součinu čtverec vlastní hodnoty, je nutně Greenova funkce suma přes všechny vlastní funkce f_k(x) z výrazu f_k(x)f_k(x')/k². (k je multiindex představující zároveň vlastní hodnoty tak, že k² jsou vlastní hodnoty, nikoliv jejich čtverce¹.)

A co jsou ty vlastní funkce? V Minkowského časoprostoru bez červí díry tvoří jejich úplný systém funkce exp(i k_μ x^μ) a vlastní hodnoty jsou k_μ k^μ. V časoprostoru s červí dírou s ústími posunutými o Δx^μ ale mohou existovat jen takové řešení, že potenciál na obou ústích je stejný. To implikuje podmínku

k_μ Δx^μ = 2 π n,

což v praxi znamená, že pokud vyšleme elektromagnetickou vlnu ve směru spojnice ústí, budou povoleny jenom některé její frekvence. Bohužel ovšem v rovnicích nikde nevystupuje naše vzdálenost od ústí (čehož jsem si samozřejmě všimnul až dlouhém řešení těch integrálů ), takže ať jsme libovolně daleko, přítomnost červí díry poznáme tak, že si laserem o určité frekvenci v daném směru neposvítíme. To je globální efekt, který určitě nechceme .. musíme proto připustit, že na ústích se skutečně generuje nějaký proud, čistě přes topologii cesta nevede.

Zajímavost: V tomto přístupu integrujeme přes všechny hodnoty k_μ, nejen přes světelné vektory k_μ k^μ = 0, - tato podmínka vznikne až tím, co je pod integrálem. V tom vidím analogii s virtuálními částicemi, které mohou být off-shell, tedy nesplňovat relativistickou relaci p^μp_μ = m₀² .

Zdroje:

1. Electromagnetic field near cosmic string, P. Krtouš
2. Huygens’ principle, the free Schrödinger particle and the quantum anti-centrifugal force, M A Cirone , J P Dahl, M Fedorov, D Greenberger and W P Schleich, Appendix
   

detaily výpočtů (zatím) neuvádím..

Indukovaný čtyřproud
Víme-li tedy, že pro normální chování našich červích děr je potřeba indukovat na nich čtyřproud, je otázkou, jak to udělat. Není těžké ukázat, že když zvolíme libovolné (stejné) rozložení náboje na ústích, Poissonova rovnice půjde s touto okrajovou podmínkou splnit. (Platit to pravděpodobně bude platit i pro dynamiku.) To je ovšem příliš mnoho možností - chtělo by to mít jednoznačné chování, abychom z modelu mohli vyzískat konkrétní předpovědi. Jedna z možností, která mne napadá, je, že se podíváme, jaké pole přichází k prvnímu ústí, a pak se podíváme, jaký čtyřproud na druhém ústí je potřeba vygenerovat, aby byl čtyřpotenciál stejný. Potom od obou ústí odečteme takový čtyřproud, aby jejich součet v každém bodě byl nula. (To opět nezpůsobí rozdíl ve čtyřpotenciálu.)

Takové řešení by mělo fungovat, ale přijde mi trochu ad hoc - zatím si navíc nejsem jistý, jestli je správně Lorentz-invariantní, ani jsem nezkonstruoval žádné analytické řešení pro nebodová ústí. (Tam nejde podmínka splnit stejnosti potenciálů takto splnit.) „Výzkumy“ stále pokračují .. pokud jste se dočetli až sem, tak upřímně, klobouk dolů. Popravdě tenhle článek stejně píši spíš pro sebe, abych si urovnal myšlenky.. takže dobrou noc, můj milý deníčku..

P.S.

Konečnost energie procházejícího náboje ve variantě indukovaný čtyřproud
Rozložení náboje na ústích umím spočítat jen pro speciální případy, naštěstí však stačí k rozhodnutí otázky konečnosti energie. Zajímá nás rozdíl energie pole v případě, že náboj je volný/daleko od ČeD, a kdy je náboj blízko ČeD. Důležitá speciální případ je, je-li ústí ČeD rovina. Pak jednoduše mezi rovinami/ústími pole není - končí v jedné rovině a spojitě navazuje ve druhé. V takovém případě má pole stejnou energii jako kdyby tam ČeD vůbec nebyla. Druhý speciální případ je, kdy se náboj dotýká malé ČeD. To vypadá jako dva bodové náboje poloviční velikosti - čili energie je opět stejná jako pro volný náboj. Obecně energie stejná není, ale tyto dva případy dostatečně přiblíženého náboje stačí k tomu, abychom mohli usoudit, že energie přiblíženého náboje je konečná a tedy může projít skrz.