Zbytečné počty?

Vždycky jsem k fyzice přistupoval trochu po svém - jakmile jsem se naučil nějakou novou teorii, hned jsem se ptal, co by se stalo, kdyby nebyl splněný tenhle předpoklad, nebo kdybychom tohle chtěli formulovat obecněji. Typické příklady jsou - jak by vypadal atom vodíku v n-rozměrném prostoru? Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Apod. Vždy mi to přišlo hodně zajímavé. Jakmile se ale někdo zeptá, k čemu to je, musím říct, že k ničemu. Kdo by zaměstnal architekta, aby mu navrhnul čtyřrozměrný dům?

Když jsem si ale pár věcí dával dohromady, uvědomil jsem si, že skoro s každým podobným zobecněním jsem se naučil něco důležitého. Nedá mi to a musím se s nejzajímavějšími „absurdními“ výpočty, které jsem prováděl. (Popravdě se divím, že jsem o nich zatím ještě nepsal.)

Jak vypadá n-rozměrný vodík?

Tohle byla možná nejpoučnější vynaložená práce, k jejíž některým důležitým výsledkům mě kdysi navedl Luboš Motl. Lehčí část je najít rovnici pro radiální část vlnové funkce. Dojde se k zajímavému výsledku - zatímco ve 3-D je energie vodíku kvantovaná, ve čtyřrozměrném prostoru není a ve více rozměrech je elektron spadený v jádře. Nejprve mi tento výsledek přišel hodně překvapující, pak mi ale došlo, proč to tak musí být - když si spočítáte energii planety obíhající ve 4-D, zjistíte, že je volná. Pokud jenom změníte směr rychlosti, uletí - úniková energie je stejná jako kinetická energie oběhu. Proč elektron ve více rozměrech padá na jádro je ale ještě více překvapivé - jednoduše proto, že elektron v základním stavu drží princip neurčitosti. Pokud byste jej chtěli smáčknout více, bude lokalizovanější v poloze, a musí proto být méně lokalizovaný v hybnosti. Energie příslušná této hybnosti roste jako p², takže jako 1/r². Tento člen v jisté vzdálenosti od jádra převáží Coulombický člen -1/r a nastane rovnováha. Ve více rozměrech bude vypadat Coulombický potenciál jako -1/r^(n-2), takže ve 4-D bude elektron vždy volný a ve více-D bude muset spadnout na jádro, protože potenciál je už moc strmý. Zajímavý závěr: Za chemickou vazbu i stabilitu atomů může vlastně princip neurčitosti!

Dálnice - Newton

Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Ne, vážně jste čekali, že tohle bylo k něčemu dobré, kromě poznatku, že lineární algebra je užitečná?

Co dělá Lorentzovu grupu tak speciální, že je vůči ní fyzika invariatní? Dá se vymyslet jiná grupa, ze které by plynula jiná relativita? Dá se nad takovou grupou postavit obecná relativita? Tohle jsou rovněž „zbytečné“ otázky, a přesto odpověď na ně dává nečekané vhledy. Poincarého grupa je totiž skutečně speciální jenom tím, že jsou vůči ní fyzikální zákony invariantní. Kdybychom si vymysleli jinou grupu a formulovali vůči ní invariantní zákony? Samozřejmě to jde. Třeba ve světě, který je kromě rotací, translací a boostů invariantní ještě vůči boostům kolem nějakého vektoru úhlové rychlosti, by byly vztažné soustavy rotující vůči sobě konstantní úhlovou rychlostí úplně stejné. Kromě zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti a spinu, (u kterého mi doteď není úplně jasné, jestli je to skutečně jen moment hybnosti, když vzniká díky jiné symetrii, byť se chová stejně), bychom zde měli tři nové zachovávající se veličiny.) Zajímavý závěr: Zatím nevím, jak by se nad obecnou grupou budovala obecná relativita, ale pokud na to přijdu, pak mi to určitě pomůže lépe pochopit, jestli je její geometrická interpretace něčím zvláštním, nebo jestli je to něco, co se dá udělat pro každou z možných speciálních relativit - například Newtonova teorie se dá zapsat geometricky, ale ne pomocí metriky, jen pomocí afinních konexí.

Vyvolávají nutně červí díry paradoxy? Tahle úvaha mě napadla, když jsme s Mikulášem diskutovali, zda bych byl schopný vytvořit alespoň rámcově udržitelnou omáčku pro nějaké sci-fi, kde je samozřejmě cestování ke hvězdám samozřejmostí. Kdo zná trochu STR, snadno uvidí, co je za problém s cestováním nadsvětelnou rychlostí - vždy se najde pozorovatel, který uvidí takového cestovatele cestovat do minulosti. Takže je porušena kauzalita, což by nešlo. U červích děr (ala Stargate) k tomu zdánlivě nedochází, ale problém nastane, kdy se má určit, které body světočáry jedné červí díry vás přenesou do kterých bodů druhé červí díry, tedy jaké je společné „teď“. Pokud pak máte více červích děr na jednom místě, pak obecně vedou do různých teď (protože s jednou z nich jsem mohl pohybovat a tím její rychlost plynutí času měnit.) Takže i červí díry mají problém. Pak jsem si ale uvědomil, že problém se dá obejít i tak, že se budeme tvářit, že v časoprostoru je definovaná prostorupodobná nadplocha, která určuje globální teď. (A zejména, pokud by ji byly schopné rozeznat třeba jen některé druhy částic, bychom se mohli tvářit, že by se dala klidně později objevit a dnes se o ní jednoduše neví.) Taková nadplocha by umožnila se vyhnout paradoxům s časem (warpový nebo červoděrový cestovatel může vždycky jít nejlépe rovnoběžně s nadplochou, takže nikdy nesměřuje do minulosti). Tím neutrpí princip konstantní rychlosti světla, ale půjdou pak postavit přístroje, které poznají vyjímečnou vztažnou soustavu, pro kterou je naše nadplocha současností. Pak samozřejmě nejsou všechny vztažné soustavy rovnocenné. Zajímavý závěr: člověk si alespoň lépe uvědomí, na jakých axiomech STR stojí a že není potřeba rovnou bourat princip konstantní rychlosti světla, když už potřebujeme funkční sci-fi svět.

Dálnice - STR, obzor se křiví, barví Dopplerovým jevem a mění se intenzita.

Dalších podobných úvah mám hodně, ale nemám je všechny zdaleka tak rozmyšlené, abych u nich mohl zajímavosti vypíchnout - jen namátkou - Jak by vypadala kvantová teorie, která dává pohybovou rovnici obsahující i vyšší řády v čase? (A zrychlení a další veličiny, jsou stavové.) Jaké zajímavé důsledky dává kalibrační teorie, kde za kalibračně invariantní pole nebereme Diracovo pole s poločíselným spinem, ale pole se spinem vyšším? Jaké zajímavé termodynamické důsledky se objeví, pokud do hry zahrneme stroj času? (Co se stane s entropií, když jednou z podmínek je, že světočáry se musí navázat?) Atd. atp. Na první pohled jsou to úvahy zbytečné, ale člověk nikdy neví ..