Perličky z nerovnovážné statistické termodynamiky

S přechodem na biofyziku jsem se trochu bál toho, že veškeré přednášky budou vesměs experimentálního rázu. O to více jsem byl překvapen, když jsem zjistil, že jsem se dostal k hodně přednáškám teoretickým, a to rozhodně velmi zajímavým. Asi nejvíce překvapující a novou pro mne je nerovnovážná statistická fyzika a termodynamika přednášená Dr. Šandou, na kterou tímto příspěvkem vlastně dělám reklamu.

Člověk se zde dozví o poměrně exotických objektech, jako je Wignerův operátor hustoty, který představuje nejbližší kvantovou obdobu statistického rozdělení pravděpodobnosti obsazení stavu na fázovém prostoru a má tu pozoruhodnou vlastnost, že na hodně malých oblastech FP může být i záporný. To je pro pravděpodobnost trochu divné .. ale vše se spraví jakmile integrujeme dost velkou oblast, aby byl uspokojen princip neurčitosti a pravděpodobnosti jsou pak vždy kladné. To vše v rámci probírané látky. Člověk se však dozví i spoustu zajímavostí navíc, které jsou od Dr. Šandy bonusem. U některých mi to nedá a musím se o nich rozepsat konkrétně, dokud je mám v čerstvé paměti. (V důsledku asi budu někde fakticky nepřesný, ale snad přimhouříte oko.)

Jedna z hodně zajímavých oblastí je popis Brownova pohybu a difuze pomocí stochastických sil. Takové síly působí náhodně a my známe jen jejich korelační funkce (<F(t)F(0)> a vyšší - zkrátka určují, že pokud částici náhodná síla kopla teď, v následujících chvílích bude mít trochu jinou pravděpodobnost kopnutí, než kdybychom o prvním kopnutí nevěděli). Všechno se přitom zjednoduší, jsou-li korelační funkce δ-funkce. Pokud pak chceme spočítat, jak se pod vlivem δ-korelované stochastické síly bude částice pohybovat na dlouhou vzdálenost, potřebujeme z jistých technických důvodů počítat integrály, kde tato δ-funkce sedí právě na hranici integrační oblasti. A nyní ta zajímavost: Zatímco pro fyzika je přirozené započítat půlku z δ-funkce (což odpovídá představě, že je to vlastně jen velmi lokalizovaná funkce, kterou integrační oblast rozpůlí), matematici používají v podstatě stejný popis pro analýzu fluktuací cen akcií na finančních trzích. Ve svém popisu do integrálu berou δ-funkce celou. (Itō-Stratonovichovo dilema.) Rozdíl v ceny na finančním trhu a brownovské částice je tedy v podstatě v tomto detailu. A zajímavá je jeho interpretace: Zahrnutí půlky δ-funkce odpovídá tomu, že část informace o korelaci je v minulosti a část v budoucnosti. Zkrátka pokud na částici teď působila síla, je jakási šance, že ještě chvíli působit bude. Oproti tomu zahrnutí celé δ-funkce vlastně znamená, že všechna informace je v minulosti a my do budoucna o fluktuaci nevíme nic. To je pro finanční trhy velice přirozené, protože pokud by někdo tuto informaci měl, skoupil by akcie o kterých ví, že porostou a tím by vnesl fluktuaci ceny, která původní informaci o budoucím vývoji ceny vymaže.

Wikipedie, ilustrativní obrázek.

Dalším velmi přínosným a pro mne novým vhledem byla statistika Léviho stabilních distribucí, která má hluboký dopad na statistiku obecně, i když si to mnoho lidí vůbec neuvědomuje. Obecně se totiž soudí, že pokud mám rozdělení mnoha náhodných vlivů, výsledné rozdělení odpovídá Gaussově funkci. To nám říká tzv. centrální limitní věta. Ta ovšem platí pouze v případech, že zkoumaná distribuční funkce má konečný druhý moment (rozptyl). Jako hezký fyzikální vhled, proč tomu tak je, beru fakt, že Gaussova funkce je funkcí, která maximalizuje entropii při fixní střední hodnotě a rozptylu. Jakmile je rozptyl nekonečný, maximalizace entropie selhává a není důvod, aby výsledné rozdělení bylo gaussovské. Pak nastupují tzv. Léviho stabilní distribuce, což jsou funkce které se pouze škálují, pokud sčítám výsledky měření podle více takovýchto rozdělení. (Tj. jen se škálují při konvoluci..) Jejich třída je obecně širší - má čtyři parametry, které vesměs charakterizují střední hodnotu (je-li konečná), asymetrii a parametry algebraických ocasů. (Rozdělení s divergujícím rozptylem typicky má algebraický ocas klesající pomaleji než 1/x^3, který divergenci způsobuje.)

Co je zajímavé je, že pokud je limitní rozdělení Léviho distribuce, neplatí základní věci ze statistiky, na které jsme zvyklí. Např. pokud odhadujeme průměr rozdělení z měřených dat, typicky spočítáme průměr hodnot. Pokud prokládáme daty závislost, používáme metodu nejmenších čtverců. (Obojí se odvodí z principu maximální pravděpodobnosti - zkoumáme, za jaké podmínky máme největší pravděpodobnost na správný fit, a pokud je rozdělení chyb gaussovské, vyjdou nám tato pravidla.) Pokud není, pak ani jedna z těchto metod nefunguje! Hodnoty, které pravděpodobně jsou z algebraických ocasů rozdělení musíme vážit nějakou funkcí, která je typicky charakteristická pro danou Léviho distribuci a vše se komplikuje.

Zajímavé také je, že k tomuto patologickému chování dochází poměrně často. Pro fyziky třeba jakékoliv statistiky řídící se Lorentzovým rozdělením. Ale třeba také výpočty kolem 6 degrees of sepatation, rozdělení velikosti měst (Zipfovo rozdělení), nebo rozdělení majetku napříč populací (Paretovo rozdělení). Z toho, jak podotkl Dr. Šanda, plyne např. to, že průměrná mzda může být nejenom nevypovídající (protože běžného člověka spíš zajímá medián), ale navíc i zavádějícím způsobem vysoká oproti skutečnosti, protože při jejím výpočtu se dost možná vychází z mylného předpokladu gaussovského rozdělení chyb.

Musím říci, že zajímavých věcí podobného rázu je na přednášce mnoho a mně nezbývá, než se těšit na další.

Srážka rotujících n-rozměrných koulí a termodynamika

Srážka rotujících n-rozměrných koulí je něco, co mi vždycky vrtalo hlavou. Ačkoliv to někteří z vás možná budou považovat za triviální problém, našel jsem v něm celkem netriviální aspekty, o které se v tomto příspěvku podělím. Jaké je přesně zadání?

Mějme soubor dokonale tuhých koulí o daných poloměrech. Koule mohou také obecně rotovat. Sráží se tak, že se zachovává energie, hybnost i moment hybnosti. Najděme takový přepis působících sil, který bude při dostatečně velkém souboru takových koulí imitovat „správnou“ termodynamiku.

Co myslím tou „správnou“ termodynamikou? V tom se právě ukáže být háček, ale původně jsem měl namysli splnění ekvipartičního principu, který se většinou považuje za hodně obecný a v klasické mechanice všeobecně platný.

Dynamika
Jak srážet nerotující koule je poměrně jednoduché.

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Převedeme do původní soustavy.
   

Takováto simulace automaticky ekvipartiční princip splňuje, i pokud máme různé hmoty koulí. To nás příliš nepřekvapí (i když by mělo..).

Jak je to ale s rotací? Jak ji vlastně reprezentovat? Většinou se k popisu používá (pseudo)vektor úhlové rychlosti. Pro zobecnění do n-rozměrů ale není příliš vhodný - to je vidět už když zkoumáme rotaci dvojrozměrného disku - ten má přece jen jednu úhlovou rychlost, ne dvě, jak bychom od vektoru očekávali! To je dané tím, že vektor úhlové rychlosti není vektor, nýbrž pseudovektor (jako všechny objekty vytvořené vektorovým součinem) - jde o tzv. Hodgeův duál „správně“ invariantního objektu - antisymetrického tenzoru druhého řádu.

To ostatně můžeme ukázat jednoduchou analogií - co je rychlost? Snadno nahlédneme z Taylorova rozvoje funkce polohy s(t), že jde o první derivaci, vektor, který stojí před členem dt:

s(t) = s(0) + v(0) dt + ...

Pokud je rotace daná maticí otočení A(t), která vzniká obecným součinem n vhodně zvolených generátorů rotace kolem jednotlivých os:

,




,

 kde v osách jedné roviny jsou vždy na příslušných místech sinus a kosinus a zbytek vypadá jako jednotková matice. Pokud úhly pootočení závisí na čase jako φ(t), ψ(t) a rozvineme vše do Taylorova rozvoje do prvního řádu v dt, rozvité generátory vypadají jako


,




,



Pokud tedy rozvineme A(t) do prvního řádu v čase, můžeme získat jedině to, co bychom získali nějakým součinem rozvitých generátorů G_ij. Všimněme si, že nediagonální členy těchto matic jsou antisymetrické. Tuto vlastnost bude mít do prvního řádu v dt i každý jejich součin (protože na diagonálu se dostanou jen násobky dvou mimodiagonálních elementů, alespoň dt² , které zanedbáme + to chce trochu rozmýšlení). Proto se dá napsat Taylorův rozvoj matice otočení jako:

A(t) = A(0) + ω(0) dt,

kde A(0) je původní pootočení (sem jsme posbírali všechny členy bez dt) a ω(0) je (nutně antisymetrická) matice úhlové rychlosti (sem jsme posbírali všechny členy úměrné dt). To je jen náhled. Analogicky se moment hybnosti nedefinuje v n-rozměrech jako (pseudo)vektor, ale jako tenzor druhého řádu vytvořený jako

L_ij = x_i p_j - x_j p_i.

Tento tvar je podezřele známý z kvantové mechaniky. Důležité je, že při srážce se zachovává. Nyní tedy můžeme shrnout to, co děláme, do bodů:

1. (1) Převedeme do těžišťové soustavy.
2. (2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
3. (3) U složky na střed otočíme znaménko.
4. (4) Z kolmé složky hybnosti a poloh těžišť spočteme moment hybnosti L_ij = x_i p_j - x_j p_i
5. (5) Libovolně vyměníme moment hybnosti mezi momenty hybnosti obou míčků (¹l_ij , ²l_ij) a momentem hybnosti L_ij daném pohybem těžišť v těžišťové soustavě.
   
6. (6) Vhodnou inverzí soustavy z bodu 4. spočteme z L_ij novou hybnost kolmou na střed pro každý z míčků (každý z nich dostane moment hybnosti nepřímo úměrný své hmotě, aby se zachovala i hybnost - v tom, jak rozdělovat moment hybnosti mezi ně volnost nemáme, narozdíl od nezávislých rotací míčků).
7. (7) Přidáme dvojici sil ve směru spojnice středů mířící od nich. A to takové velikosti, aby výsledná energie byla stejná jako před srážkou. (Touto dodatečnou silou se zjevně nezmění moment hybnosti vůbec ničeho.)
   
8. (8) Převedeme do původní soustavy.
   

Termodynamika
Podobnou simulaci jsem si provedl - výměnu v bodě (4) jsem zkusmo specifikoval tak, že momenty hybnosti se mění tak, aby se vyrovnaly. (To mi přišlo přirozené - termodynamická rovnováha systému koneckonců k takovému výsledku vede.) Byl jsem ale silně překvapený, zjevně nebyl splněn ekvipartiční princip - rotační stupně volnosti měly podstatně méně energie než by jim příslušelo! Docela dlouho jsem bádal nad tím, čím je to způsobené (ekvipartiční princip jsem si zafixoval jako obecné pravidlo platné skoro pro všechny systémy). Přišlo mi hodně zajímavé, že kromě jednoduché kinematiky modelu a integrálů pohybu je potřeba splnit další požadavky, abychom dostali „korektní termodynamiku“. Jedniné řešení, které jsem ale vymyslel je takové, že síly budou zvoleny tak, aby energie každé srážky byla po odrazu vybrána podle Boltzmannova rozdělení - což, jak jistě uznáte, je trochu podvod .

Ve skutečnosti jsem se ale mýlil - se spolužáky jsme prošli předpoklady odvození ekvipartičního principu a zjistili jsme, že zdaleka není tak obecný, jak jsem myslel. Obecně se odvozuje ze střední hodnoty derivace Hamiltoniánu násobené obecnou souřadnicí, podle které derivujeme, ale známá formulace „každý stupeň volnosti má stejnou střední energii“ platí jen pro Hamiltoniány kvadratické v potenciálu či hybnosti. (Sem mj. spadá v dobrém přiblížení v podstatě celá chemie (pokud nejsou stupně volnosti kvantově zamrzlé), takže není divu, že je tato formulace často popisována jako tolik obecná.)

Popsaný model navíc z žádného Hamiltoniánu nevychází - je to jenom přepis pro síly. Takže bychom vlastně neměli očekávat nic - je spíš zajímavou otázkou, proč dokud nezahrneme rotace, ekvipartiční princip vůbec platí?

P.S.
Při přemýtání nad tímto problémem a následnou diskusí jsem narazil na zajímavá skripta z kinetiky, zde, zde, zde, zde a zde.

Hraní s červími děrami - elektrostatika/dynamika

Hračce zvané červí díry jsem zůstal věrný kupodivu dlouho. Poté, co jsme vyřešili „zjevné“ problémy, začal mi vrtat hlavou složitější problém - co se stane s ústími červí díry, pokud k němu přiblížíme náboj? Je zjevné, že by náboj měl skrz ústí působit. Ale jak přesně? Dále je téměř zjevné, že na obou ústích musí být stejný potenciál, kdyby nebyl, dala by se z červí díry těžit energie tak, že budeme chodit kolem dokola v nekonzervativním poli. Rozhodl jsem se sem vypsat své nápady, jak postupně přicházely, abych demonstroval, jak je někdy cesta k poznání krkolomná. (Jenom chci podotknout ke značení, že používám jednotky c = 1, G = 1, 1/4 pi ε₀ = 1, ...)

Naivní potenciál
Úplně první potenciál, který mne napadl, vypadal jako φ = Q/min(r_přímo,r_skrz). Myšlenka vychází z toho, že náboje můžeme k sobě přibližovat po kterékoliv spojnici - proto je nejvýhodnější použít tu nejkratší. Zajímavým jevem, který se objevil v takovém potenciálu, je síla působící na obě ústí, která nezávisí na jejich náboji, ale na náboji objektů, které se přiblížily tak, že ústí mezi nimi představují zkratku. To je zajímavé zejména tím, že by se to jistě týkalo třeba i gravitační síly (ať už Newtonovské, nebo linearizované OTR). Takový potenciál má ale ten problém, že se vůbec neopírá o žádné polní řešení a síla se objevuje okamžitě. Proto jsem posléze tuto myšlenku opustil.

Náboj extremizující akci
Další myšlenka, jak se vyhnout složitým výpočtům, byla, že na obou ústích mohou vznikat náboje. A to tak, že v topologicky ztotožněných bodech jsou vždy opačné (aby se náboj zachoval) - jak se náboj mění se potom určí, jako by šlo o dynamickou proměnnou - z Euler-Lagrageových rovnic. Zde jsem došel k výsledku, že dochází k polarizaci takovým způsobem, že na bližším ústí se generuje stejný náboj, který je větší, je-li náboj blíže. V důsledku je červí díra pro každý bodový náboj neprůchozí, protože energie nutná k jeho přiblížení k (i nebodovému) ústí, je nekonečná. Dokonce být nekonečná musí, protože na ústích není stejný potenciál, takže náboje nesmí procházet skrz kvůli zachování energie.. Navíc tato cesta taky nevypadá příliš Lorentz-invariantně, takže jsem ji také záhy opustil.

Sčítání po všech cestách
Dalším z možných přístupů bylo zkoušet sčítat příspěvky Q/r po všech cestách - kdy jdeme přímo k testujícímu náboji, kdy projdeme jedním ústím a zkrátíme si cestu, kdy projdeme ústím, jdeme zpět a projdeme jím znovu a pak jdeme k testovacímu náboji, atd. plus to samé pro druhé ústí. Pokud jsme na spojnici ústí, dostaneme tak



Tato suma diverguje. To by samo o sobě nevadilo, protože se dá udělat „přirozená“ normalizace - derivace potenciálu je síla, takže posčítáme derivace sčítanců - sumy zde již konvergovat budou, a potom zpět zintegrujeme. Problém je ovšem v něčem jiném - síla do nekonečna nebude ubývat jako 1/r², ale jako 1/r. To už samozřejmě vadí, protože bychom chtěli, aby se existence červí díry nedala rozpoznat na dálku - v takovém potenciálu ovšem neexistuje úniková rychlost, takže červí díra by se dala změřit libovolně daleko (o globálních vlivech, např. na vzdálené galaxie, nemluvě.) Dále si můžeme všimnout, že ani touto cestou nedostaneme stejný potenciál na obou ústích..

Nasadíme kulovou inverzi
Chvíli jsme zkoušeli s Mikulášem jít k problému tak, že si budeme představovat, že jedno ústí je prázdná koule. Pole náboje v ní má normální průběh .. poté vezmeme vnitřek, provedeme na něj kulovou inverzi a invertovaným polem obložíme druhé ústí.. (Předpokládáme, že je kulové a má stejný tvar.) Nejdřív se mi to zdálo jako skvělá myšlenka, protože jednak zaručuje stejný potenciál na obou ústích a jednak je velice podobný předchozímu přístupu, kde jenom dodává tlumící člen úměrný úhlové velikosti ústí, takže řady se najednou chovají hezky. Dokonce jsem si říkal, že by bylo skvělé vyřešit rovnou dynamiku tak, že si představuji, že vnějšek druhého ústí se namapuje dovnitř koule - prvního ústí, akorát se upraví index lomu tak, aby přímkové paprsky chodily po kružnicích přes střed (s možnou transformací času), jak se při kulové inverzi sluší. To by indukovalo transformaci permitivit a dalších veličin s polem spojených, čímž bychom dynamický problém v prostoru s podivnou topologií převedli na problém v normálním prostoru.. (To, že první ústí je zobrazeno samo do sebe, by se dalo vyřešit sečtením vhodné řady, díky linearitě.)

Po chvilce počítání jsem ale zjistil, že takový radiálně symetrický průběh indexu lomu v kouli neexistuje (musel by být různý pro různé vstupující paprsky, což by nešlo zobecnit na elektromagnetickou vlnu). Navíc jsme jaksi přehlédli, že kulová inverze řešení Laplaceovy rovnice nezaručuje, že invertované pole ji bude řešit - je to jen speciální rys řešení, který splňuje rozložení náboje, jde-li o vodivou kouli. (Pokud tomu někdo rozumíte víc a chcete mne opravit, tak mi prosím napište, třeba komentář.) Myšlenka tedy padá.

Topologický tank
Po počátečních neúspěších jsem se rozhodl na to jít trochu pořádněji. Řešíme relativistickou rovnici ◻A^μ = -J^μ. Její řešení můžeme hledat pomocí rozkladu D'Alembertiánu do jeho vlastních hodnot - to v rovném prostoru vypadá přesně jako řešení rovnice výše pomocí Fourierovy transformace, ve skutečnosti jde ale o obecnější přístup. Hledáme Greenovu funkci takovou, že

◻_x G(x|x') = δ(x|x').

Protože vlastní funkce D'Alembertiánu tvoří úplný systém¹, suma jejich skalárních součinů sama se sebou (ovšem v bodech x, x') dá δ(x|x'). Protože po zapůsobení D'Alembertiánu vyskočí na tomto skalárním součinu čtverec vlastní hodnoty, je nutně Greenova funkce suma přes všechny vlastní funkce f_k(x) z výrazu f_k(x)f_k(x')/k². (k je multiindex představující zároveň vlastní hodnoty tak, že k² jsou vlastní hodnoty, nikoliv jejich čtverce¹.)

A co jsou ty vlastní funkce? V Minkowského časoprostoru bez červí díry tvoří jejich úplný systém funkce exp(i k_μ x^μ) a vlastní hodnoty jsou k_μ k^μ. V časoprostoru s červí dírou s ústími posunutými o Δx^μ ale mohou existovat jen takové řešení, že potenciál na obou ústích je stejný. To implikuje podmínku

k_μ Δx^μ = 2 π n,

což v praxi znamená, že pokud vyšleme elektromagnetickou vlnu ve směru spojnice ústí, budou povoleny jenom některé její frekvence. Bohužel ovšem v rovnicích nikde nevystupuje naše vzdálenost od ústí (čehož jsem si samozřejmě všimnul až dlouhém řešení těch integrálů ), takže ať jsme libovolně daleko, přítomnost červí díry poznáme tak, že si laserem o určité frekvenci v daném směru neposvítíme. To je globální efekt, který určitě nechceme .. musíme proto připustit, že na ústích se skutečně generuje nějaký proud, čistě přes topologii cesta nevede.

Zajímavost: V tomto přístupu integrujeme přes všechny hodnoty k_μ, nejen přes světelné vektory k_μ k^μ = 0, - tato podmínka vznikne až tím, co je pod integrálem. V tom vidím analogii s virtuálními částicemi, které mohou být off-shell, tedy nesplňovat relativistickou relaci p^μp_μ = m₀² .

Zdroje:

1. Electromagnetic field near cosmic string, P. Krtouš
2. Huygens’ principle, the free Schrödinger particle and the quantum anti-centrifugal force, M A Cirone , J P Dahl, M Fedorov, D Greenberger and W P Schleich, Appendix
   

detaily výpočtů (zatím) neuvádím..

Indukovaný čtyřproud
Víme-li tedy, že pro normální chování našich červích děr je potřeba indukovat na nich čtyřproud, je otázkou, jak to udělat. Není těžké ukázat, že když zvolíme libovolné (stejné) rozložení náboje na ústích, Poissonova rovnice půjde s touto okrajovou podmínkou splnit. (Platit to pravděpodobně bude platit i pro dynamiku.) To je ovšem příliš mnoho možností - chtělo by to mít jednoznačné chování, abychom z modelu mohli vyzískat konkrétní předpovědi. Jedna z možností, která mne napadá, je, že se podíváme, jaké pole přichází k prvnímu ústí, a pak se podíváme, jaký čtyřproud na druhém ústí je potřeba vygenerovat, aby byl čtyřpotenciál stejný. Potom od obou ústí odečteme takový čtyřproud, aby jejich součet v každém bodě byl nula. (To opět nezpůsobí rozdíl ve čtyřpotenciálu.)

Takové řešení by mělo fungovat, ale přijde mi trochu ad hoc - zatím si navíc nejsem jistý, jestli je správně Lorentz-invariantní, ani jsem nezkonstruoval žádné analytické řešení pro nebodová ústí. (Tam nejde podmínka splnit stejnosti potenciálů takto splnit.) „Výzkumy“ stále pokračují .. pokud jste se dočetli až sem, tak upřímně, klobouk dolů. Popravdě tenhle článek stejně píši spíš pro sebe, abych si urovnal myšlenky.. takže dobrou noc, můj milý deníčku..

P.S.

Konečnost energie procházejícího náboje ve variantě indukovaný čtyřproud
Rozložení náboje na ústích umím spočítat jen pro speciální případy, naštěstí však stačí k rozhodnutí otázky konečnosti energie. Zajímá nás rozdíl energie pole v případě, že náboj je volný/daleko od ČeD, a kdy je náboj blízko ČeD. Důležitá speciální případ je, je-li ústí ČeD rovina. Pak jednoduše mezi rovinami/ústími pole není - končí v jedné rovině a spojitě navazuje ve druhé. V takovém případě má pole stejnou energii jako kdyby tam ČeD vůbec nebyla. Druhý speciální případ je, kdy se náboj dotýká malé ČeD. To vypadá jako dva bodové náboje poloviční velikosti - čili energie je opět stejná jako pro volný náboj. Obecně energie stejná není, ale tyto dva případy dostatečně přiblíženého náboje stačí k tomu, abychom mohli usoudit, že energie přiblíženého náboje je konečná a tedy může projít skrz.

Hraní s červími děrami

Nedávno mi Mikuláš položil otázku, zda bych uměl vymyslet nějaké věrohodné sci-fi-povídání - základ pro možnost kosmických letů tak, aby zněl fyzikálně co nejvěrohodněji. (Pro účely případného RPG.) Z hlediska sci-fi je potřeba mít možnost rychle cestovat mezi hvězdami, což se ale samozřejmě bije s požadavkem, aby nejvyšší dovolená rychlost byla rychlost světla. Po poměrně vydatné inspiraci Eganovou Diasporou jsem celou myšlenku postavil na červích děrách - topologických zkratkách časoprostorem. Nakonec se z toho vyklubala překvapivě plodná debata.

Problém s červími děrami (neřešili jsme mechanismus jejich vzniku - předpoklad byl, že ústí červích děr jsou třídy topologicky sjednocených bodů Minkowkého časoprostoru na světočarách jejich ústí, tj. vnitřní délka červí díry je nulová a ČeD je implicitně stabilní) je, že umožňují vznik časových paradoxů. Pokud se stane, že jedno ústí je v minulosti druhého, lze ČeD procházet do minulosti. (Když mezi ústími existuje uzavřená časupodobná trajektorie.) To bychom sice mohli vyřešit podobným modelem cestování časem, jako byl prezentován např. ve Dvanácti opicích, tj. časoprostor je zadán tak, že chování cestovatele v čase je předurčeno takovým způsobem, že nikdy nemůže způsobit časový paradox - pokud se o to pokusí, je z toho vymanipulován sérií nepravděpodobných událostí, které se najednou semelou. Takové řešení však není moc praktické, pokud chceme hrát RPG, kde postavy mají svobodnou vůli, takže jsme přemýšleli dál.

Další možností bylo, že napříč celým prostoročasem se táhne prostorupodobná nadplocha, která definuje privilegovanou vztažnou soustavu. Červí díry by potom vždycky vedly z jedné do druhé tak, že vejdu jedním koncem a na druhé straně vystoupím tam, kde se světočára druhého ústí protíná se stejnou nadplochou - současně v privilegované soustavě. Takové řešení je jistě funkční, ale bourá princip ekvivalence vztažných soustav, takže jsme se s ním rovněž nespokojili na dlouho.

Pokud nemá být žádná soustava privilegovaná a určovat globální „teď“, musí existovat jiný mechanismus, který časovým paradoxům zabrání. Takový mechanismus nabízí zpětná vazba a teorie pole. Jakmile jsou ústí od sebe vzdálená světlupodobně, mohou mezi ústími procházet fotony v nulovém čase. To jednak způsobí silnou zpětnou vazbu - zesílení šumu ve směru mezi ústími, a rovněž, protože jsou ústí „libovolně blízká“, můžeme předpokládat, že jakmile se k sobě ústí přiblíží tak, že by mohly vytvořit stroj času, buďto se objeví libovolně velká odpudivá síla, která jim znemožní se do oblasti dostat („soukromý horizont“), nebo se ústí vlivem silné interakce rozpadnou a jejich energie se uvolní podél jejich spojnice. V prvním případě přitom není potřeba předpokládat, že síla může být libovolně velká - pokud mají červí díry nějakou stabilizační energii, nad kterou se již rozpadají, pak pokud proti odpudivé síle budeme tlačit dostatečně, způsobíme rozpat ČeD. Později jsem se snažil najít, zda někdo nespočítal, jestli síla vyvolaná průchodem virtuálních částic zkratkou mezi ústími bude přitažlivá či odpudivá (odpověď se zjevně dá získat jen z topologie, není potřeba specifikovat interakční vrchol pro ČeD), leč bez úspěchu.

Pokud červí díru vytvoříme lokálně, nemusíme vůbec řešit „nepovolené otevření“ - každé lokální otevření je povolené.

ČeD vzdálena prostorupodobně, zjevně není strojem času, světelné signály prochází stále do budoucnosti.

ČeD vzdálená světlupodobně - signály mezi ústími prochází v nulovém čase, signál efektem zpětné vazby zesiluje kosmické pozadí, navíc prolétající virtuální částice nejspíš vyvolávají pole libovolné intenzity.

Máme-li vyřešenu možnost vzniku strojů času, je stále potřeba rozmyslet některé přirozené otázky, které by existence ČeD našeho typu vyvolávala. Co například zákony zachování? Je například vidět, že moment hybnosti (a tím pádem ani poloha těžiště), se zachovávat nemusí. To by samo o sobě vadit nemuselo. Zachování energie by mělo jít zaručit, není žádný důvod, proč nemohlo být splněno. Zachování hybnosti by bylo zachováno, pokud by byly ústí ČeD buďto byla dvojrozměrná a natočena vždy stejně, nebo byla trojrozměrná a směr průchodu by se zachoval. (V obecné relativitě by vše bylo složitější, ale záměrně jsme zkoumali jenom Minkowského model.)

Pokud skrz ČeD působí nějaké pole, pak za předpokladu rovného prostoru jednoduše bude působit po všech spojnicích - jak vnějškem, tak ústími ČeD. To nás přivedlo až k otázce, co se stane s ČeD vhozenou do černé díry. (To je mj. často nadnášená otázka i v odborných článcích.) Usoudili jsme, že jestliže pole působí i skrz ústí, pak jakmile jedno ústí propadne horizontem, horizont „vyteče“ ústím na druhé straně a černá díra se rozdělí na dvě menší. Nejprve jsme měli obavy, že (z požadavku vyrovnání teploty) vzniknou dvě ČD stejné hmotnosti, což by např. značně rozhodilo dynamiku galaxie při případném pádu ČeD do ČD v jejím jádru. Situaci ale překvapivě zachraňuje termodynamika černých děr, která požaduje, aby plocha horizontů událostí rostla (protože nese značnou entropii) - ČD obalivší nevpadlé ústí tedy bude jenom tak velká, jak velké je zvýšení entropie, které pád ústí do ČD může způsobit - to znamená, že hmotnost výsledné sekundární ČD by měla být škálově srovnatelná s hmotností ČeD. Informaci tedy z ČD dolovat stále nejde.

ČeD s postupně vzdalujícím se ústím - dilatací času vzniká časový posun mezi ústími (spojené jsou vždy k-té tečky navzájem), červená křivka vyznačuje mez, za kterou se vzdálené ústí nesmí vrátit - tato oblast se dá stáhnout k nule, pokud ústí oddalujeme pomalu a nevzniká časový rozdíl.

Pokud řešíme interakci několika červích děr, je situace stejná - opět zkoumáme možnost vzniku světlupodobných uzavřených trajektorií mezi ústími - a to, kdy se objeví, stanovuje oblasti, do kterých navzájem ČeD nesmí vstoupit. Zajímavé je snad jen provlečení jedné ČeD druhou - pak se časové rozdíly jejich ústí zdědí od červí díry, kterou jsme prošli - opět se stačí dívat na to, jak odtikává vlastní čas prošlé ČeD.

Zbytečné počty?

Vždycky jsem k fyzice přistupoval trochu po svém - jakmile jsem se naučil nějakou novou teorii, hned jsem se ptal, co by se stalo, kdyby nebyl splněný tenhle předpoklad, nebo kdybychom tohle chtěli formulovat obecněji. Typické příklady jsou - jak by vypadal atom vodíku v n-rozměrném prostoru? Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Apod. Vždy mi to přišlo hodně zajímavé. Jakmile se ale někdo zeptá, k čemu to je, musím říct, že k ničemu. Kdo by zaměstnal architekta, aby mu navrhnul čtyřrozměrný dům?

Když jsem si ale pár věcí dával dohromady, uvědomil jsem si, že skoro s každým podobným zobecněním jsem se naučil něco důležitého. Nedá mi to a musím se s nejzajímavějšími „absurdními“ výpočty, které jsem prováděl. (Popravdě se divím, že jsem o nich zatím ještě nepsal.)

Jak vypadá n-rozměrný vodík?

Tohle byla možná nejpoučnější vynaložená práce, k jejíž některým důležitým výsledkům mě kdysi navedl Luboš Motl. Lehčí část je najít rovnici pro radiální část vlnové funkce. Dojde se k zajímavému výsledku - zatímco ve 3-D je energie vodíku kvantovaná, ve čtyřrozměrném prostoru není a ve více rozměrech je elektron spadený v jádře. Nejprve mi tento výsledek přišel hodně překvapující, pak mi ale došlo, proč to tak musí být - když si spočítáte energii planety obíhající ve 4-D, zjistíte, že je volná. Pokud jenom změníte směr rychlosti, uletí - úniková energie je stejná jako kinetická energie oběhu. Proč elektron ve více rozměrech padá na jádro je ale ještě více překvapivé - jednoduše proto, že elektron v základním stavu drží princip neurčitosti. Pokud byste jej chtěli smáčknout více, bude lokalizovanější v poloze, a musí proto být méně lokalizovaný v hybnosti. Energie příslušná této hybnosti roste jako p², takže jako 1/r². Tento člen v jisté vzdálenosti od jádra převáží Coulombický člen -1/r a nastane rovnováha. Ve více rozměrech bude vypadat Coulombický potenciál jako -1/r^(n-2), takže ve 4-D bude elektron vždy volný a ve více-D bude muset spadnout na jádro, protože potenciál je už moc strmý. Zajímavý závěr: Za chemickou vazbu i stabilitu atomů může vlastně princip neurčitosti!

Dálnice - Newton

Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Ne, vážně jste čekali, že tohle bylo k něčemu dobré, kromě poznatku, že lineární algebra je užitečná?

Co dělá Lorentzovu grupu tak speciální, že je vůči ní fyzika invariatní? Dá se vymyslet jiná grupa, ze které by plynula jiná relativita? Dá se nad takovou grupou postavit obecná relativita? Tohle jsou rovněž „zbytečné“ otázky, a přesto odpověď na ně dává nečekané vhledy. Poincarého grupa je totiž skutečně speciální jenom tím, že jsou vůči ní fyzikální zákony invariantní. Kdybychom si vymysleli jinou grupu a formulovali vůči ní invariantní zákony? Samozřejmě to jde. Třeba ve světě, který je kromě rotací, translací a boostů invariantní ještě vůči boostům kolem nějakého vektoru úhlové rychlosti, by byly vztažné soustavy rotující vůči sobě konstantní úhlovou rychlostí úplně stejné. Kromě zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti a spinu, (u kterého mi doteď není úplně jasné, jestli je to skutečně jen moment hybnosti, když vzniká díky jiné symetrii, byť se chová stejně), bychom zde měli tři nové zachovávající se veličiny.) Zajímavý závěr: Zatím nevím, jak by se nad obecnou grupou budovala obecná relativita, ale pokud na to přijdu, pak mi to určitě pomůže lépe pochopit, jestli je její geometrická interpretace něčím zvláštním, nebo jestli je to něco, co se dá udělat pro každou z možných speciálních relativit - například Newtonova teorie se dá zapsat geometricky, ale ne pomocí metriky, jen pomocí afinních konexí.

Vyvolávají nutně červí díry paradoxy? Tahle úvaha mě napadla, když jsme s Mikulášem diskutovali, zda bych byl schopný vytvořit alespoň rámcově udržitelnou omáčku pro nějaké sci-fi, kde je samozřejmě cestování ke hvězdám samozřejmostí. Kdo zná trochu STR, snadno uvidí, co je za problém s cestováním nadsvětelnou rychlostí - vždy se najde pozorovatel, který uvidí takového cestovatele cestovat do minulosti. Takže je porušena kauzalita, což by nešlo. U červích děr (ala Stargate) k tomu zdánlivě nedochází, ale problém nastane, kdy se má určit, které body světočáry jedné červí díry vás přenesou do kterých bodů druhé červí díry, tedy jaké je společné „teď“. Pokud pak máte více červích děr na jednom místě, pak obecně vedou do různých teď (protože s jednou z nich jsem mohl pohybovat a tím její rychlost plynutí času měnit.) Takže i červí díry mají problém. Pak jsem si ale uvědomil, že problém se dá obejít i tak, že se budeme tvářit, že v časoprostoru je definovaná prostorupodobná nadplocha, která určuje globální teď. (A zejména, pokud by ji byly schopné rozeznat třeba jen některé druhy částic, bychom se mohli tvářit, že by se dala klidně později objevit a dnes se o ní jednoduše neví.) Taková nadplocha by umožnila se vyhnout paradoxům s časem (warpový nebo červoděrový cestovatel může vždycky jít nejlépe rovnoběžně s nadplochou, takže nikdy nesměřuje do minulosti). Tím neutrpí princip konstantní rychlosti světla, ale půjdou pak postavit přístroje, které poznají vyjímečnou vztažnou soustavu, pro kterou je naše nadplocha současností. Pak samozřejmě nejsou všechny vztažné soustavy rovnocenné. Zajímavý závěr: člověk si alespoň lépe uvědomí, na jakých axiomech STR stojí a že není potřeba rovnou bourat princip konstantní rychlosti světla, když už potřebujeme funkční sci-fi svět.

Dálnice - STR, obzor se křiví, barví Dopplerovým jevem a mění se intenzita.

Dalších podobných úvah mám hodně, ale nemám je všechny zdaleka tak rozmyšlené, abych u nich mohl zajímavosti vypíchnout - jen namátkou - Jak by vypadala kvantová teorie, která dává pohybovou rovnici obsahující i vyšší řády v čase? (A zrychlení a další veličiny, jsou stavové.) Jaké zajímavé důsledky dává kalibrační teorie, kde za kalibračně invariantní pole nebereme Diracovo pole s poločíselným spinem, ale pole se spinem vyšším? Jaké zajímavé termodynamické důsledky se objeví, pokud do hry zahrneme stroj času? (Co se stane s entropií, když jednou z podmínek je, že světočáry se musí navázat?) Atd. atp. Na první pohled jsou to úvahy zbytečné, ale člověk nikdy neví ..