irigi bloguje

Částice v bublinové komoře

2012-01-27T07:00:00.042+01:00

Minule jsme si řekli, že k popisu zdánlivého kolapsu lze použít operátor hustoty a vystopování přes ty stupně volnosti, které nadále nemáme pod kontrolou a nebudeme na nich již nic měřit. V tomto příspěvku bych rád ukázal pěkný popis částice v bublinové komoře, která do ní vletí podél osy z jako široký vlnový balík (jehož šířku budeme popisovat jen podél jedné osy x kolmé na směr šíření) a teprve srážky s ostatními částicemi tento vlnový balík zúží. Odpovězme tedy na otázku, proč, i když částice ve vakuu bude popsaná velmi širokou vlnovou funkcí, uvidíme v bublinové komoře jen úzké trubice excitovaných atomů. Soustředíme se jenom na jednu srážku s molekulou z bublinové komory, ke které dojde v čase t₀ a následně budeme sledovat další časový vývoj původní (měřené) částice bez srážek. Spočítáme, jak se vyvíjí celková vlnová funkce dvou částic Ψ(x,X,t), kde malými písmeny budeme značit polohu x nebo hybnost p měřené částice a velkými písmeny X, P ty samé veličiny „měřící“ částice plynu. Jelikož k popisu podsystému nemůžeme použít vlnovou funkci, sestavíme „spojitý“ operátor hustoty Ψ(x',X',t)Ψ(x,X,t) a následně integrací Ψ(x',Z,t)Ψ(x,Z,t) přes Z spočteme redukovaný operátor hustoty (RDO - z anglického reduced density operator) ψ(x',t)ψ(x,t), který budeme diskutovat na obrázcích. Pojďme se nyní podívat na několik technických detailů. (Pokud vás problém zajímá jen kvantitativně, přeskočte až k diskusi.)

Technická část

Hamiltonián měřené částice je volný Hamiltonián H_S. Modelujeme jen jednu srážku s další částicí zanedbatelné hmotnosti a pro zjednodušení nebudeme zkoumat její vnitřní dynamiku, její Hamiltonián H_A tedy bude nulový. Zajímavá je interakční část H_SA, která je lokální v poloze (odtud součin xX) a v čase (odtud Diracova δ-funkce).

Na začátku budou měřená i měřící částice realizovány gaussovským vlnovým balíkem. Z technických důvodů budeme s měřící částicí pracovat v hybnostní reprezentaci a s měřenou v polohové. Jejich celková vlnová funkce v čase 0 bude

Popisovat tedy tento systém částic začínáme právě v okamžiku srážky. Časový vývoj Ψ(t) spočítáme jako

S výhodou přitom použijeme, že

neboť jde o operátor posunutí hybnosti, jak se snadno přesvědčíme, pokud si tento operátor napíšeme v p-reprezentaci. Interakční Hamiltonián H_SA má tedy tu zajímavou vlastnost, že když podle něj sestrojíme evoluční operátor, chová se jako operátor posunutí - nahrazuje hybnosti za posunuté hybnosti - a tedy se s ním velice jednoduše počítá. S gaussovskými balíky se zachází rovněž příjemně, protože místo řešení diferenciální rovnice lze snadno přejít do p-reprezentace, kde stačí vlnovou funkci vynásobit funkcí p. Konkrétní výpočty jsou již jen technikalita. Tvary získaných operátorů hustoty jsou složité, proto uvedu jen operátor hustoty těsně před měřením

a těsně po měření

N a N' jsou normalizační konstanty.

Diskuse

Nyní se již zaměřme na diskusi výsledků. Do grafů vynáším RDO měřené částice, který závisí na souřadnicích x a x'. Jednu z os jsem na grafech invertoval (čili vynáším -x místo x), protože pak opticky grafy mají stejný význam, jako matice hustoty, které jsme diskutovali v minulém příspěvku. Na diagonále odečítáme hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě, tedy to, čemu běžně odpovídá čtverec vlnové funkce. Mimo diagonálu vidíme koherence, které odlišují statistický soubor mnoha vlnových balíků od superpozice.

Na obrázku 1 vidíme RDO vlnového balíku měřené částice těsně před interakcí s měřící částicí. Vidíme, že vlnový balík je kruhový - koherence mimo diagonálu nesou informaci o tom, že jde o čistý kvantový stav, nikoliv o statistickou směs úzkých vlnových balíků s různými pravděpodobnostmi nalezení. Těsně po srážce s měřící částicí se vlnový balík zúží v mimodiagonálním směru. Diagonála se srážkou nezmění - v obou případech nese informaci o pravděpodobnosti „kdybychom se podívali“. Měření se ale projeví ztrátou koherencí mimo diagonálu. Nyní již nejde o široký vlnový balík, ale o mnoho úzkých vlnových balíků rozložených podél diagonály, protože částice prošla zdánlivým kolapsem vlnové funkce. Při skutečném měření bychom viděli jenom jeden z nich - tento diagram popisuje to, co uvidíme po mnoha opakovaných měřeních na souboru.

Obr. 1: Redukovaný operátor hustoty gaussovského balíku měřené částice před srážkou. Koherence mimo diagonálu vypovídají o tom, že jde o čistý kvantový stav v superpozici poloh a ne o statistickou směs.

Obr. 2: RDO měřené částice těsně po srážce. Rozložení pravděpodobností na diagonále se nemění, ale ztráta koherencí vypovídá o rozpadu vlnového balíku na soubor úzkých vlnových balíků podél diagonály.

Abychom se přesvědčili, že po srážce skutečně vidíme směs mnoha malých vlnových balíků v různých místech a ne jeden vlnový balík, sledujme rychlost rozplývání výsledného RDO. Je známo, že každý vlnový balík (v x-reprezentaci) se pomalu rozplývá. To je důsledkem principu neurčitosti - čím přesněji známe polohu (čím je vlnový balík užší), tím méně víme o jeho hybnosti. A jelikož vlnový balík obsahuje i rychlé i pomalé složky, rozplývá se. Tím více, čím je užší. Na obrázku 3 vidíme jeden z úzkých vlnových balíků, jaký bychom získali měřením ze souboru z obrázku 2. Srovnejte, jak se rozplyne původní neměřený balík (obr. 4) a jak by se rozplynul tento úzký vlnový balík za stejný čas (obr. 5). Když se podíváme na obr. 6, vidíme, jak se za stejný čas rozplyne RDO měřené částice po srážce. Jasně vidíme, že nová rychlost rozpínání dobře odpovídá rozšiřování úzkého balíku a ne původního širokého balíku (sledujme diagonálu). Z toho můžeme také usoudit, že obr. 2 skutečně ukazuje statistickou směs mnoha úzkých vlnových balíků a ne jeden balík široký. Aneb právě jsme ukázali, jak se srážkami s ostatními molekulami plynu dochází ke kolapsu na vlnové funkci měřené částice - skokovému přechodu z široké vlnové funkce na vlnovou funkci úzkou - a že se na tento kolaps můžeme dívat jen jako na kolaps zdánlivý, protože celková vlnová funkce obou částic žádným kolapsem neprochází. Toto je také východiském pro Everettovu interpretaci mnoha světů, která přidává vysvětlení, proč ze statistického souboru, který je na konci procesu dekoherence, vidíme jen jeden náhodný výsledek. Ale o ní až někdy příště.

Obr. 3: Směsí takto širokých vlnových balíků je systém těsně po srážce s měřící částicí.

Obr. 4: Původní vlnový balík bez srážky by se po jistém čase T rozšířil takto.

Obr. 5: Úzký vlnový balík z obr. 3 se za stejný čas rozšíří více.

Obr. 6: A takto se za stejný čas po srážce s měřící částicí rozšíří soubor z obr. 2 - po diagonále prakticky stejně, jako úzký balík z obr. 3. To dokladuje, že po srážce zbude skutečně směs mnoha úzkých vlnových balíků, do kterých vlnová funkce po srážce zkolabuje, a ne původní široký vlnový balík.

Otevřené kvantové systémy aneb „Kudy na kolaps?“

2012-01-24T07:00:00.000+01:00

Snad jednou z nejhůře pochopitelných věcí na kvantové mechanice je kolaps vlnové funkce. Dokud částici nepozorujeme, částice je spořádaně popsaná vlnovou funkcí, jejíž čtverec vyjadřuje pravděpodobnost nalezení na onom místě kdybychom se podívali a její časový vývoj je pěkně deterministický podle Schrödingerovy rovnice. Jakmile se skutečně podíváme, najednou se „skokově“ vlnový balík částice zúží (jen nevíme na kterém místě - to je právě udáno čtvercem ψ, čili pravděpodobností). Tato podivná vlastnost vedla některé průkopníky kvantové teorie k divokým spekulacím o význačnosti vědomých pozorovatelů a u jiných zase vedla k celému směru různých forem kvantového mysticismu hledajícího tajemství vědomí v kolapsu vlnové funkce (Deepak Chopra, apod). Moderní přístup teorie dekoherence přitom umožňuje dobře vysvětlit kolaps vlnové funkce jako zdánlivý jev, který vzniká v důsledku deterministického vývoje větší vlnové funkce, která zahrnuje kromě sledované částice i okolí, které s ní interaguje.

Při nedávném absolvování přednášky Interpretace kvantové mechaniky doc. Pavla Krtouše jsem narazil na velice jednoduchý a silný formalismus, který umožňuje tyto věci počítat a rád bych se o něj podělil. Co bych chtěl ukázat je zdánlivý kolaps vlnové funkce na případě částice, která prolétá bublinovou komorou a její následná lokalizace. Nejprve však musím udělat krátký teoretický úvod, který však vydá na celý článek.

K čemu je operátor hustoty

Klíčem k pochopení teorie dekoherence je fakt, že pro popis podsystému interagujícího i se svým okolím, nestačí vlnová funkce, ale potřebujeme použít tzv. operátor hustoty. Jde o ekvivalentní popis, který ale kromě kvantových stavů systému umí navíc popsat i statistické soubory systémů. Kvantová teorie nám říká, že pokud lze částici přivést do stavu spin nahoru, ψ(↑), nebo spin dolů, ψ(↓), můžeme na ní vytvořit i libovolnou lineární kombinaci těchto stavů Aψ(↑)+Bψ(↓), kde A a B jsou komplexní čísla. Matice/operátor hustoty ale umí víc než to. Je totiž velký rozdíl, jestli mám statistický soubor, kde všechny prvky jsou ve stavu ψ(↑)+ψ(↓) a statistický soubor, kdy je (náhodná) polovina atomů ve stavu ψ(↑) a druhá polovina ve stavu ψ(↓). Když provedu měření, tak v obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti procentech spin dolů. Případ souboru stavů ψ(↑)+ψ(↓), tzv. kvantově koherentní případ, ale rozeznám, když pootočím měřící přístroj o 90°. Najednou naměřím vždy stav ψ(→), nikdy stav ψ(←), zatímco u statistické směsi naměřím opět jenom poměr 50:50. V řeči operátoru hustoty je diskutovaný koherentní soubor popsán maticí

zatímco statistická směs maticí

Diagonální elementy matice hustoty udávají pravděpodobnosti měření. V obou případech naměřím v padesáti procentech spin nahoru a v padesáti spin dolů - na diagonále jsou poloviny. Co odlišuje oba případy jsou mimodiagonální elementy, nazývané někdy koherence, které říkají, že pokud matici hustoty převedu do jiné báze podobnostní transformací (otočím měřící přístroj), diagonální elementy se změní. V tomto případě třeba můžu přejít do báze vlevo-vpravo, kde budu mít jistotu, jaký výsledek naměřím:

Bez koherencí mohu ale přístrojem točit jak chci a výsledek se nezmění - pořád uvidím jen statistickou směs:

Kolaps vlnové funkce, o který se zajímáme, je právě přechod mezi „čistou vlnovou funkcí“ popsanou první maticí a statistickým souborem popsaným druhou maticí. Jakmile koherence zmizí, zbyde nám z původní vlnové funkce směs „změřených“ spinů ve směrech nahoru a dolů.

A k čemu vlastně statistické směsi?

Proč se bavím o statistických souborech a jejich popisu, když mne zajímá částice jenom jedna? Chci přeci popsat lokalizaci v jednom experimentu, nikoliv statistickou směs! Jenže operátor hustoty nepopisuje jen směsi mnoha různých částic, ale také směsi ve smyslu očekávaného výsledku. Jakmile proběhlo měření na částici, místo vlnového balíku najednou dostaneme v popisu „statistický soubor“ všech potenciálních výsledků s různou vahou. Nakonec sice částici najdeme jen v jenom stavu, ale soubor očekávaných výsledků a jejich pravděpodobností můžeme popsat dopředu operátorem hustoty. I pro jednu částici má smysl napsat matici hustoty pro statistickou směs - říká to, že částici „po kolapsu“ najdeme s danými pravděpodobnostmi v různých stavech a vlnová funkce už se rozpadla.

Nyní bych chtěl ukázat jednu skutečně zajímavou věc - jakmile pochopíte tento fakt, pochopili jste jádro teorie dekoherence. Pokud mám větší systém a nezajímám se o některé jeho části, nemohu vždy na popis jeho podčástí použít vlnovou funkci. Předveďme si to na systému dvou spinů. Řekněme, že jsou oba ve stavu „doprava“, který už známe, tedy celková vlnová funkce tohoto stavu je ψ₁(→)ψ₂(→). Napíšeme jeho matici hustoty (v bázi ψ₁(↑)ψ₂(↑), ψ₁(↓)ψ₂(↑), ψ₁(↑)ψ₂(↓), ψ₁(↓)ψ₂(↓) ) jako

Jde o obyčejnou matici 4x4, kulatými závorkami jsem jenom naznačil podmatice, které se týkají prvního spinu. Zatímco mezi stavy prvního spinu se pohybujeme přechody uvnitř malých matic, mezi stavy druhého spinu se pohybujeme přechody mezi velkými maticemi. Pokud se o druhý spin nezajímáme, můžeme přejít k tzv. redukované matici hustoty - uděláme stopu přes všechny stavy druhého spinu^*. V tomto případě to odpovídá sečtení horní levé a dolní pravé podmatice, čímž dostáváme matici

Tato matice popisuje stav prvního spinu, pokud se vůbec nedíváme na ten druhý. Ano! To je přesně matice stavu ψ(→), který už známe. Tím jsme se vlastně přesvědčili, že když se ve stavu ψ₁(→)ψ₂(→) nebudeme starat o druhý spin, dostaneme stav ψ₁(→); spiny jsou nezávislé jeden na druhém. V tomto případě první spin vlnovou funkcí zjevně popsat jde.

Teď si ale představme, že se spiny dostanou k sobě, chvíli spolu interagují a pak se vzdálí. Mohly se přitom dostat například do stavu

ψ₁(↓)ψ₂(↑)+ψ₁(↑)ψ₂(↓),

který popíšeme maticí

Tento stav je takzvaně entanglovaný - pokud změříme spin první částice nahoru, automaticky okamžitě a nehledě na vzdálenost, která částice dělí víme, že druhý spin bude v opačném stavu. Pokud opět vystopujeme přes druhý spin sečtením submatic na diagonále, dostaneme - ejhle - statistickou směs!

Z toho plyne, že ačkoliv celková vlnová funkce obou spinů žádným kolapsem neprošla, pokud se budeme dívat jen na jeden ze spinů, uvidíme chování odpovídající statistickému souboru spinů, jaké by byly po pravém kolapsu jejich vlnové funkce indukovaném měřením! Můžeme se na to dívat i tak, že ze stav druhého spinu určuje stav spinu prvního a odnáší tak o něm informaci, čímž první spin „změřil“. Druhé důležité pozorování je, že pokud spin interagoval s něčím dalším, nemohu obecně tento spin již popisovat vlnovou funkcí samostatně (takovou statistickou směs neumím vlnovou funkcí popsat). Buď musím použít operátor hustoty, nebo musím měřením spin opět připravit do čistého kvantového stavu.

Tím jsme si připravili půdu pro další úvahy a příště si povíme něco lokalizaci vlnového balíku při průchodu bublinovou komorou.

^{* Stopování přes stupně volnosti je standardní postup pro redukci matice hustoty. Důvod, proč se redukovaná matice hustoty získá právě takto je, že všechna měření, která plánujeme nadále provádět jsou realizována operátory ve tvaru projektor na měřený stav na prostoru spinu 1 krát jednotka na prostoru spinu 2. Jelikož pravděpodobnosti měření jsou vlastně střední hodnoty projektorů, které tato měření realizují, čili Tr P ρ a jelikož tyto projektory jsou na prostoru spinů, na kterých neplánujeme měřit jednotkou, můžeme přes tyto stupně volnosti vystopovat rovnou a „o nic nepřijdeme“.}

Ilja Prigogine - Řád z chaosu

2011-12-01T18:49:00.003+01:00

Nedávno jsem narazil na knihu Řád z chaosu (Order Out of Chaos) od Ilji Prigogina, ruského fyzikálního chemika a laureáta Nobelovy ceny za chemii v oblasti nerovnovážné termodynamiky. Kniha mne zaujala především tím, že převrací naruby tradiční interpretaci termodynamiky a její souvislosti s mikroskopickou dynamikou (ať už jde o Newtonovy zákony, nebo kvantovou mechaniku). Tradičně se termodynamika vysvětluje skrz statistickou fyziku: v termodynamice hraje ústřední roli veličina zvaná entropie, která vyjadřuje, kolika způsoby může být daný makroskopický stav (stav s danou teplotou, tlakem a pár dalšími makroskopickými parametry) realizován různými mikrostavy (přesné uspořádání molekul v látce nebo její kvantový stav). Podle druhého zákona termodynamiky se entropie nikdy nemůže snižovat. Tradičně je toto vnímáno tak, že je velmi nepravděpodobné, že by se entropie snižovala, protože stavy, které se dají vyjádřit hodně mikrostavy jsou prostě daleko pravděpodobnější. Na termodynamiku se tedy dnes drtivá většina fyziků dívá jako na efektivní teorii, která vyplývá s teorie popisující dynamiku jednotlivých částic, pokud je částic v systému hodně.

Prigogine hájí zajímavý názor, kde začíná z opačného konce: Termodynamika je podle něj fundamentální teorie, stejně jako např. Newtonovy rovnice nebo kvantová mechanika a druhý zákon termodynamiky je přesný zákon, který platí vždy, nejen většinou. Podle něj nejde svět popsat jednotným matematickým modelem: termodynamika a dynamika jsou jen dva limitní případy, které náhodou umíme popsat dobře. Entropie je skutečně fundamentální veličina, která neustále roste a jakmile vzroste, nemůže se již snižovat. Aby takovýto názor byl vůbec hájitelný, musí samozřejmě autor nejprve naznačit, že v teoriích popisujících dynamiku se nachází „díry“, do kterých se může schovat fundamentální zvyšování entropie. (Pokud teorie určuje dynamiku systémů jednoznačně, určuje také jednoznačně chování makrosystémů a tedy termodynamiku.)

Tyto „díry v jednoznačnosti“ ukazuje ve dvou případech. Pro Newtonovskou dynamiku jde prý o body, kdy počáteční podmínky diferenciálních rovnic neurčují jednoznačně, jak se bude vyvíjet dynamika dál. Pokud pro většinu případů zadám systému polohy a hybnosti jeho jednotlivých bodů, bude tím jednoznačně dán jeho budoucí časový vývoj. Pokud ale postavím jehlu přesně na špičku, může zůstat stát (tj. rovnice má řešení, kdy zůstane stát), ale existují také řešení, kdy se v nějakém čase jehla rozhodne začít padat na jednu stranu - časový vývoj je nejednoznačný. Popravdě jsem tento argument příliš dopodrobna nezkoumal^***, neboť klasická mechanika je nahrazena kvantovou mechanikou, takže rozbor Newtonových rovnic je jenom akademickou otázkou. Mám ale dojem, že problém s jednoznačností skutečně existuje - například v elektrodynamice existují řešení, kdy nabitá částice sama od sebe zrychluje a tím způsobuje svoje zrychlování.

Onou „dírou“ v kvantové mechanice, kam se má vejít indeterminismus a zvyšování „fundamentální entropie“ je podle Prigogina, jak jinak, kolaps vlnové funkce. Kolaps v některých interpretacích QM zavádí do teorie skutečný indeterminismus fyzikálního stavu vesmíru a má tedy přesně ty vlastnosti, které Prigogine potřebuje. V další fázi argumentace pak ukazuje jisté nesrovnalosti v klasickém statistickém pojetí termodynamiky. Například kritizuje Boltzmannovo odvození rovnovážného rozložení rychlostí molekul v plynu z rovnic dynamiky s odvoláním na to, že odvození samotné zavádí do pohybových rovnic nesymetrii v podobně zanedbání počátečních korelací mezi rychlostmi molekul plynu a tedy že o žádné skutečné odvození nejde^*. Takový argument je sice zajímavý, ale ve skutečnosti je předpoklad o zanedbání počátečních korelací poměrně rozumný a jsem přesvědčený, že by při bližším zkoumání obstál. (Nejspíše se redukuje na otázku: Proč je v minulosti vesmíru počáteční podmínka s tak nízkou entropií? To je otázka dodnes otevřená, ale nejspíš nesouvisí s formulací termodynamiky jako takové.)

Prigoginův pohled na termodynamiku mi sice připadne velmi neortodoxní a také mimořádně nepravděpodobný, ale uznávám, že je v jistém smyslu hájitelný. Spojení mezi dynamikou a termodynamikou nemá sílu matematické věty a tak odpověď na otázku po jejich spojení zůstává, alespoň trochu, otevřená. Zároveň musím přiznat, že jsem Řád z chaosu nečetl celý, protože Prigogine nešetří pasážemi, kde se asi snaží vzbuzovat ve čtenářích dojem jakýchsi hlubokých historicko-filozofických paralel a četly se mi hodně špatně^**. Mohlo se proto stát, že mi něco podstatného uteklo, doufám ale, že racionální jádro jsem z knihy vytáhl. Nicméně jsem díky knize rozšířil svoji metaforickou sbírku obskurních hájitelných světonázorů, což je vždycky zajímavé.

^{* Těmi korelacemi se myslí následující: když si nafilmuji, jak se plyn nerovnovážně rozpíná z malého objemu do velkého, přičemž roste entropie, pak je samozřejmé, že pokud za počáteční podmínku svého modelu vezmu stav, do kterého se plyn dostal a obrátím rychlosti, časem se dostanu nikoliv k rovnovážnému rozdělení plynu vyplňujícího velkou krabici, ale k plynu v malé oblasti prostoru, kde byla původní malá krabička. Molekuly prostě zopakují svůj pohyb pozpátku jako kdybychom pustili pozpátku film a udělají tu nepravděpodobnou věc, že se samy od sebe vrátí do krabičky. Za to přesně můžou ony zanedbané korelace v počáteční podmínce. Zanedbané jsou ale samozřejmě z dobrého důvodu - že se trefíme do takovéto speciální počáteční podmínky je totiž nesmírně nepravděpodobné - můžete zkusit na podomácku udělané počítačové simulaci.

** A navíc jsou fyzikálně irelevantní - jakmile je teorie jednou na světě, je jedno, jak na svět přišla. Jediné, co je podstatné je, jestli obstojí při srovnání s experimentem. Buď je správná, anebo není. Stejný přístup se snažím držet si i v literatuře a naprosto odděluji život autora a jeho dílo.

*** Po dopsání příspěvku jsem jej samozřejmě zkoumat začal :-). Nejednoznačné body se v teorii skutečně objevují, ale jen pro potenciály jistého druhu. Např. s padající jehlou ve skutečnosti žádný problém není, protože potenciál v okolí stabilního bodu jehly postavené na špičku není nijak strmý (má nulovou derivaci). Problém se objeví teprve pokud je potenciál dost strmý na to, aby jehla, kterou stavíme pořád přesněji na špičku nepadala ze stabilní polohy nekonečně dlouho. Tuto vlastnosti má např. rovnice y'(t) = y(t)^(1/2) s počáteční podmínkou v nule. Tím spíše mi není jasné, proč Prigogine viděl v této vlastnosti problém - je poměrně dost speciální. Pokud by byly fundamentální potenciály mezi částicemi alespoň trochu „rozumné“, problém by se neobjevil.}

Informatika a termodynamika

2011-01-10T21:26:00.009+01:00

Nedávno jsem se opět setkal s velice zajímavým fyzikálním konceptem, o kterém jsem dřív neměl ani tušení. (Ano, taková věc mi vždy udělá radost a mám pak neodolatelnou touhu se o ni podělit..) Velmi zběžně jsem četl knihu Feynman Lectures on Computation a kromě základů informatiky, které jsou dnes poměrně široce známé, jsem zde narazil na popis výpočetního procesu z hlediska termodynamiky. Základní tvrzení říká, že pokud chci uložit nějakou informaci na pásku bitů, potřebuji k tomu zvednout entropii alespoň o jistou minimální hodnotu. Chvíli jsem četl související detaily a uvědomil jsem si, že vlastně v jistém smyslu špatně rozumím pojmu entropie. Co jsem se dozvěděl zkusím shrnout v tomto článku.

Když se člověk naučí klasickou termodynamiku, často se smíří s pojmem entropie a od té doby jej považuje za zcela fundamentální veličinu. Ze zákona maximalizace entropie při dané energii se dá odvodit celá termodynamika a v tomto smyslu ji pak dále používáme. Ve skutečnosti ale není zase tolik fundamentální a celý koncept entropie vyžaduje naši neznalost o systému - dohodu, že přesný stav systému neznáme a měříme jenom termodynamické veličiny (teplotu, tlak, objem..) Entropie je pak počet mikrostavů (v klasické fyzice míra ve fázovém prostoru), které realizují stejné termodynamické veličiny. Kdybychom znali stav systému dostatečně přesně, pak jeho entropie nemá úplně význam. Vybaveni takovou znalostí bychom mohli např. postavit stroj, který by libovolně snížil entropii daného systému. Jak? Jednoduše bychom ze znalosti jeho časového vývoje vypočetli, kdy nastane přesně taková fluktuace, že v daném objemu nebude žádná molekula a potom bychom tento objem oddělili od zbytku. To lze udělat limitně bez vynaložení energie. Opakováním této procedury bychom se dostali do stavu, kdy plyn (dejme tomu, že jde o ideální plyn) zaujímá daleko menší objem, než zaujímal před procesem a jeho entropii jsme tak snížili bez jejího zvýšení na své straně. Tento jednoduchý myšlenkový experiment nás přivádí k poznatku, že informace o systému nám umožňuje snižovat jeho entropii. Pokud má ale entropie ve světě vzrůstat, dojdeme k závěru, že ukládání informace naopak entropii nutně musí zvyšovat někde jinde. Např. slavný Maxwellův démon^* nemůže fungovat právě kvůli tomu, že by informaci, kterou o molekulách získá musel někam ukládat, což vyžaduje zvýšení entropie o přiměřené množství^**.

Jaká je entropie jednoho bitu? Představme si, že máme pásku krabiček, kde v každé je jedna částice a dvě potenciálové jámy - jedna představuje hodnotu 0 a druhá hodnotu 1. Pokud zacházíme se zprůměrovanou polohou částice, můžeme o jednotlivých krabičkách mluvit jako o ideálním plynu obsahujícím jednu částici. Představme si dále, že chceme pásku vynulovat, tj. ujistit se, že všechny částice jsou v potenciálové jámě příslušející hodnotě 0. Pokud nevíme⁺, kde se v krabici částice nachází, musíme vynaložit energii na to, abychom pístem zatlačili na částici a ta zaujala poloviční objem. Tím jsme mj. snížili entropii tohoto plynu o jedné molekule, podle vzorce pro změnu entropie ideálního plynu můžeme snadno říci, že o k_B log 2⁺⁺, což je přesně entropie zpracování jednoho bitu. Pokud bychom ale věděli, v jakém minimu potenciálu (a tedy v jakém stavu) se částice nachází, stačilo by krabici reverzibilně otočit a tím bychom ji uvedli do kýženého stavu bez vynaložení energie nebo manipulace s entropií. Argument lze i obrátit a říci, že pokud víme, v jakém stavu se páska nachází, můžeme ji zahřát (čímž práci konat nemusíme) a přiložením pístu na správnou stranu můžeme z pásky vyrobit energii, čímž se páska randomizuje. Z toho tedy (alespoň zhruba) vidíme, proč nakládání s informací nutně zvedá entropii a že existuje velmi přímý link mezi entropií a neznalostí/znalostí systému.

Pro zajímavost a úplně na okraj jsem si spočítal, že kdybychom vytěžili veškerou entropii produkovanou Sluncem, mohli bychom zpracovat 1,5·10⁴⁶ bitů za sekundu. (Kdybych mluvil jen o záření dopadlém na Zem, bylo by to 7·10³⁶ bitů za sekundu.)

^{* Maxwellův démon je zařízení obsluhující přepážku mezi dvěma komorami s plynem. Jakmile se blíží rychlá molekula z komory 1 do komory 2 nebo pomalá molekula z komory 2 do komory 1, démon ji změří a zaklapne záklopku. V opačném případě záklopku otevře. V klasické fyzice měření nepředstavuje problém, takže nakonec bude v komoře 2 vyšší teplota než v komoře 1 bez vynaložení energie. Jedná se o perpetuum mobile druhého druhu a v článku diskutovaná teorie je jedním z důvodů, proč Maxwellův démon nemůže fungovat.
** Problém není v samotném procesu měření, v klasické fyzice lze měřit libovolně přesně s libovolně malým narušením systému.
+ Ano, tady vstupuje do hry že pokud chceme mluvit o entropii, potřebujeme specifikovat naši míru neznalosti, resp. znalosti o systému - s plnou informací entropie nedává smysl!
++ Není úplně košér, že operujeme s ideálním plynem a přitom mlčky předpokládáme, že v krabici je potenciál, který částici nutí být typicky jen ve dvou stavech. Feynman to v oné knize dělá podobně a odvolává se na to, že podrobnější termodynamická teorie existuje - já ji příliš do detailů nezkoumal. Další věcí, ze které vidíte, že jde nejlépe o náhled je, že není důvod, abychom dvoustavový systém s kuličkou stlačovali zrovna na polovinu objemu. Zde bychom se asi mohli ohánět jen symetrií fázového prostoru. Argument tedy není správně, ale alespoň funguje jako náhled a vede na správný výsledek.}

Stroje času v kvantové mechanice a dráhový integrál

2010-12-20T12:52:00.006+01:00

Již před nějakou dobou jsem psal příspěvek, který měl shrnout existující modely pro cestování časem. Zatímco vědecké články vycházející z obecné relativity, které zkoumají různé efekty v časoprostorech, které implicitně obsahují stroj času lze najít, cestování v čase z pohledu kvantové mechaniky se jich příliš nevěnuje. Pravděpodobně proto, že pro ně chybí seriózní model a tedy jde přinejmenším o spekulaci na úrovni nedostačující pro seriózní vědu. Přesto jsem se rozhodl si na toto téma udělat alespoň nějaký názor, který shrnu v tomto příspěvku. Co se týká vědecké serióznosti .. byli jste varováni.

Hlavní problém s cestováním v čase se zohledněním kvantové mechaniky je, že narozdíl od mechaniky klasické nemůžeme předpokládat, že minulá i budoucí historie jsou dány aktuálním stavem vesmíru. Tvrzení, že platí Novikovův princip selfkonzistence tedy není zdaleka samozřejmé. Místo toho propagujeme vlnovou funkci celého vesmíru. Pokud tento pojem vezmeme doslova ve smyslu interpretace mnoha světů, pak tato vlnová funkce bude obsahovat superpozici mnoha stavů, ke kterým by došlo různými možnostmi náhodných kvantových rozhodnutí v průběhu historie. Pokud naopak vyjdeme z interpretace objektivního kolapsu, pak náš aktuální svět je tím jediným, který byl ze všech možností vybrán náhodně v důsledku kolapsu vlnové funkce. Předpovědi těchto interpretací jsou stejné, pokud ovšem nemáme k dispozici stroj času - zda jsou stejné i v tomto případě není vůbec jasné. Nový jev, který by se u kvantového stroje času v principu mohl vyskytnout je např. že cestovatel z budoucnosti bude pocházet z jiné kvantové historie, než jaká se odehraje po jeho návratu a tedy že jeho schopnost sdělit nám něco o naší budoucnosti bude velmi omezená. Pak je tu samozřejmě další problém - pokud možných světů existuje mnoho, pak to, co v minulosti opustí stroj času může být výsledkem superpozice mnoha různých možných budoucností .. anebo by šlo o stav, do kterého náhodně zkolabovala vlnová funkce v „předešlé budoucnosti“ - to v případě interpretace objektivního kolapsu. Ze které kvantové historie by temponaut přišel by pak bylo dáno výsledkem předchozího kolapsu vlnové funkce.

Dráhový integrál a mnohasvětová interpretace
Protože předpověď interpretace objektivního kolapsu je poměrně zřejmá, dále jsem se zabýval tím, jak by cestování časem mělo fungovat v interpretaci mnoha světů. Jako možný výchozí bod mi připadá použití Feynmanova dráhového integrálu - ten totiž dává poměrně intuitivní vhled i pokud neprovedeme příliš mnoho matematiky. (I když se tím pádem můžeme také snadno splést.) Základní myšlenka dráhového integrálu spočívá v tom, že systém z daného klasického uspořádání necháme propagovat po všech přípustných klasických trajektoriích, a to i takových, kde se hybnost a poloha mění nezávisle^*. Každé takové klasické trajektorii přisoudíme jistou komplexní váhu, která odpovídá amplitudě pravděpodobnosti (A ~ e^iS/ħ, kde S je akce dané trajektorie). Nakonec po čase T spočítáme celkové amplitudy možných klasických stavů od všech drah, které v těchto stavech končí. Jejich čtverce potom budou pravděpodobnosti nalezení těchto stavů, pokud provedeme měření. Čtverec komplexní amplitudy tedy udává míru na prostoru všech možných klasických trajektorií.

V praxi se tento přístup používá tak, že makroskopické objekty uvažujeme jako dané uspořádáním experimentu a po všech drahách propagujeme jen mikrosystém⁺. Ve skutečnosti se ale na celou mnohasvětovou interpretaci můžeme podívat očima dráhového integrálu. Představme si, že svět je v počátečním čase t popsán množinou klasických uspořádání, které mají přiřazenu aktuální amplitudu pravděpodobnosti. Každé z těchto uspořádání budeme propagovat po všech možných klasických drahách, které opět budou přispívat do stavu v čase T váženy amplitudou spočtenou z jejich akce a tak zjistíme množinu klasických stavů v čase T.

Kde se tento přístup potkává s teorií mnoha světů? Především stejně jako v ní, k žádnému kolapsu vlnové funkce nedochází. (Pojem vlnové funkce vlastně přímo ani nezavádíme.) Co zde jsou tedy ty jiné světy? Jak víme, pokud je systém dostatečně velký, nebo těžký, stává se postupně klasickým. To odpovídá tomu, že pro velké systémy mají zdaleka největší váhu klasické trajektorie, tedy trajektorie, jejichž akce se pohybuje kolem akce minimální. (Odtud také pochází princip nejmenší akce.) Při vývoji množiny klasických stavů vážených amplitudou pravděpodobnosti tedy budou dominovat trajektorie klasické.⁺⁺ Zkusím v tomto modelu popsat, proč dochází vlivem pozorování k rozdělení stavu

|pozorovatel>(|spin ↑> + |spin ↓>)

na stav

|pozorovatel vidí stav ↑>|spin ↑> + |pozorovatel vidí stav ↓>|spin ↓>

a tedy ke vzniku dvou světů, které spolu v budoucnu dále neinteragují. V počátečním stavu je stav spinu elektronu nekorelován se stavem zbytku vesmíru a tedy příspěvky klasických trajektorií elektronu v dráhovém integrálu mohou navzájem interferovat a my „pozorujeme kvantové chování elektronu, dokud se na něj nedíváme“. Jakmile začneme o elektronu něco zjišťovat, přenese se tato informace do zbytku vesmíru prostřednictvím jejich vzájemné interakce. A protože do výsledné amplitudy klasické konfigurace mohou přispívat jen dráhy, které v ní končí, vzniknou dvě klasické větve, kdy v každé z nich bude informace o jiném změřeném spinu elektronu. Protože uložení této informace je v každé větvi makroskopické, nemohou se tyto konfigurace snadno dostat do konfigurace navzájem totožné (díky termodynamice) a tedy dochází k rozdělení na „dva světy“. Teorie dráhového integrálu by tady měla dávat stejný výsledek, jako mnohasvětová teorie.

Mnoho světů a vědomí
Aby mnohasvětová teorie mohla přejít k předpovědím, potřebuje specifikovat, kdo je vlastně pozorovatelem. V běžném chápání této interpretace se zkrátka řekne, že pozorovatel nemůže vědomě vnímat superpozici stavů (s odůvodněním přes teorii dekoherence a robustní stavy neuronů v mozku) a tedy že kolaps vlnové funkce není vlastně skokovou změnou stavu vesmíru, ale skokovým rozdělením pozorovatelů do jednotlivých větví vlnové funkce. To, že vnímám, že došlo k pravděpodobnostnímu měření tedy znamená, že se svět rozdělil na množinu světů a já jako pozorovatel jsem jen v jednom z nich - a ve kterém určí právě čtverec jejich amplitudy pravděpodobnosti jako míra. Toto východisko budeme dále potřebovat.

Co nám to tedy říká o cestování časem?
Celou předchozí stať jsem psal proto, že množinu klasických stavů si člověk poměrně snadno představí a lze snad získat jakousi intuici. Zkusme tedy odpovědět na otázku, co se stane, pokud bude možno v rámci nějaké makroskopické konfigurace postavit stroj času. Co se mění oproti předchozí stati je jen pojem klasické trajektorie, které jsme se věnovali již při zkoumání strojů času v klasické fyzice. Tam jsme dospěli k tomu, že jelikož existuje jen jeden časoprostor a do daného diagramu musí jít světočára daného bodu nakreslit, musí být historie selfkonzistentní. Pokud jednou učiníme nějaké pozorování (nebo nám je jeho výsledek pravdivě poslán z budoucnosti), nelze výsledek tohoto pozorování cestováním časem změnit. (Což je přesně Novikovův princip selfkonzistence.) To by nám mělo říci, jakou třídu klasických trajektorií bychom měli uvažovat, pokud chceme aplikovat metodu dráhového integrálu vesmír se strojem času. Měli bychom uvažovat jen klasické trajektorie, které jsou konzistentní samy se sebou.

Mám silný pocit (nic silnějšího si netroufnu tvrdit ), že předpověď, která z toho plyne je, že princip selfkonzistence musí platit i při cestování časem v rámci mnohasvětové teorie. Kvantová měření by měla pořád pravděpodobnostní povahu, ale pokud by nám někdo z budoucnosti poslal informaci o tom, jak měření dopadlo, výsledek by musel sedět s poslanou informací, protože cestovatel z budoucnosti je, stejně jako já, součástí jedné makroskopické klasické trajektorie, která tuto informaci obsahuje. S klasickými trajektoriemi, které obsahují jinou informaci o výsledku měření tato interferovat nemůže, takže z budoucnosti nemůže přijít nic, co by obsahovalo informaci jinou, než tu, kterou jsme naměřili. Pokud je to pravda, pak je mnohasvětová interpretace v přítomnosti stroje času odlišitelná od interpretace objektivního kolapsu a navíc je kauzálně deterministická nejen pro celou vlnovou funkci, ale i pro pozorovatele uvnitř ní. Ze samotné teorie nelze získat jiné než pravděpodobnostní předpovědi - přesto lze získat definitivní informaci o budoucnosti, prostřednictvím stroje času. Někdy, až bude více času, bych se rád pokusil o matematičtější formulaci předchozí úvahy, ale tato možnost je zatím jenom hodně hypotetická .

^{* Tj. hybnost není nutné volit tak, aby se splnil zákon zachování energie - jeho splnění vyplyne z přechodu k variačnímu principu nejmenší akce.
+ S tím dodatkem, že pokud se dráha potká s detektorem, výpočet se provádí místo součtem amplitud přímo součtem pravděpodobností. To ovšem nebudeme potřebovat, protože pokud bychom kvantově popisovali celý vesmír, žádné externí detektory v něm samozřejmě nebudou.
++ Tady je potřeba dát pozor na jednu nuanci. Pokud chceme dát do souvislosti dráhový integrál a oddělování kvantových historií ve formalismu vlnové funkce, pak musíme jako fyzikální brát jen výsledné množiny klasických stavů, protože ty odpovídají vlnové funkci, ne trajektorie, po kterých integrujeme. Například v dvouštěrbinovém əxperimentu budeme integrovat přes mnoho trajektorií, které se navzájem vyruší. Ve formalismu vlnové funkce ve výsledném stavu bude nulová hustota amplitudy pravděpodobnosti, takže se tento stav zkrátka nerealizuje. Klasické trajektorie, které budou představovat kvantové historie tedy nejsou dráhy přes které se integruje, ale sledy často zastoupených klasických stavů.}

Kvantové vědomí

2010-12-15T14:25:00.007+01:00

Kvantové vědomí je poměrně odvážná myšlenka známá pravděpodobně díky slavnému jménu jejího propadátora, kterým není nikdo menší než Roger Penrose. Raději nezkoumám, co Penrose k její formulaci vedlo, protože bych asi nabyl dojmu, že nebyl ochoten překousnout myšlenku, že náš mozek a naše vědomí stejně jako zbytek světa podléhají determinaci přírodními zákony a že je tedy svobodnou vůli hledat někde v kvantové mechanice, nebo že mu přišlo nepřípustné, aby náš mozek byl vypočitatelný něčím „tak prostým“, jako je klasický algoritmus. První část takové motivace by, jak např. píše M. Schlosshauer v knize Decoherence and the Quantum-to-Classical Transition, byla samozřejmě chybná - fakt, že kvantová mechanika poskytuje fundamentální zdroj náhody neznamená, že náhodné chování je to, co bychom označili za svobodnou vůli. Naše rozhodnutí sice, narozdíl od klasické fyziky, nebude pevně předpověditelné z výchozího stavu mozku na základě přírodních zákonů, ale to rozhodně neznamená, že by náhodné volby pocházející z kvantové mechaniky byly nějakým způsobem „naší vůlí“ - šlo by jen doslova o zesílený šum náhodného generátoru. Druhá část takové motivace by také neprošla, protože ani fakt, že by vědomí bylo ryze kvantovým jevem by neznamenal, že nejde algoritmicky předpovídat - kvantová mechanika je algoritmizovatelná, jen její předpovědi mají pravděpodobnostní povahu. Jen by takový model byl podstatně náročnější na výkon.

Budu pro svůj klid předpokládat, že autoři si obou těchto skutečností byli vědomi a že šlo zkrátka jen o seriózní vědecký návrh. V čem teorie tedy spočívá? V zásadě se tvrdí, že v mozku, konkrétně v axonech spojujících neurony, mohou vzniknout podmínky, které způsobí, že kvantově koherentní chování vydrží dostatečně dlouhou dobu, aby mozek fungoval jako kvantový počítač. To by umožnilo odsunout „problém vědomí“ někam do kvantové fyziky, popř. bychom pak mohli očekávat, že lidský mozek by v principu byl schopen louskat dnešní vojenské šifry v polynomiálním čase. Dlouho jsem byl na vážkách, protože koneckonců s hypotézou přišel Penrose a bylo těžké rozlišit seriózní kritiku od pouhého napadání. Teprve ve Schlosshauerově knize jsem našel seriózní odkazy na výpočty provedené Tegmarkem, které z teorie dekoherence poměrně dobře odhadují maximální délku kvantové koherence přítomné v axonech. Axon je v zásadě dlouhá velmi tenká trubička, která přenáší signály tak, že na vnějšku a vnitřku má velký rozdíl koncentrací sodíkových iontů. Jakmile má dojít k přenosu, jeho membrána na jednom kraji začne být pro ionty průchozí - tento vzruch se pak šíří velmi rychle podél axonu. Systém, který by tedu musel být koherentní, je dekoherován samotnými srážkami sodíkových iontů pro které lze udělat seriózní model. Typický čas dekoherence vychází na 10^-19-10^-20 s. Když si uvědomíme, že typický čas našich rozhodnutí je 10^-2-10⁰ s, je vidět, že o nějakém kvantovém rozhodování nemůže být řeč. Podobným způsobem je v knize čas dekoherence počítán i pro některé, ještě jemnější, struktury - konkrétně pro mikrotubuly. Pro ty vychází odhad dekoherence na 10^-13 s - opět na beznadějně krátké časové škále.

Schlosshauer dodává, že není ani možné, že by vědomí bylo tvořeno nějakým dosud neznámým orgánem, který kvantovou koherenci udrží déle, protože abychom mohli hovořit o vědomí, musel by tento orgán být schopen získávat informace z našich smyslů, popř. z aktivity axonů spojujících neurony, a pak tyto informace přenášet zpět na neurony. Takový přenos informace by ale nutně vedl i k dekoherenci v tomto orgánu. V tomto okamžiku myslím lze seriózně tvrdit, že lidský mozek je jako celek spolehlivě klasické zařízení a tím pádem by měl být v principu modelovatelný v rámci klasických modelů, jako jsou např. neuronové sítě.

Odkazy:

www.quantumconsciousness.org

Dekoherence

2010-12-09T15:32:00.003+01:00

Většinou když píšu něco o fyzice, hned v úvodu se snažím upozornit na to, zda jde jenom o moji vlastní fyzikální hračku nebo úvahu a je tedy potřeba na ni nahlížet s patřičným odstupem, nebo zda se snažím psát seriózně. Aktuálně jsem se začetl do teorie dekoherence, která pokud přímo neřeší problém měření v kvantové mechanice, který byl tak dlouho považován za zásadní problém této teorie, k tomu má minimálně velmi blízko. Následující text se tedy snaží být relativně seriózním shrnutím. Hlavní zdroje uvádím na konci.

Pozn.: superpozice jsou v článku neúplně normované, abych se vyhnul spoustě odmocnin ze dvou. Laskavý čtenář si je buď domyslí, nebo dohledá, kam patří. Z hlediska argumentace nejsou důležité.

Problém měření, superselekční zákony
Problém měření v kvantové mechanice úzce souvisí s kolapsem vlnové funkce. Kvantová mechanika popisuje stav objektů pomocí vlnových vektorů. Ty splňují princip superpozice, tedy pokud máme fyzikální stavy |a> a |b>, pak je legitimním fyzikálním stavem také stav α|a> + β|b>. Pro malé systémy na úrovni molekul je to dobře známým a ověřeným faktem. Jedním z problémů je, proč takové stavy nevidíme makroskopicky, tedy proč když zavřeme (tzv. Schrödingerovu) kočku do krabice ve které je ampulka s jedem napojená na kvantový proces, který se zvolna dostává do superpozice |spuštěn> + |nespuštěn>, proč se následně jed nedostává do stavu |rozlil se> + |nerozlil se> a kočka do stavu |mrtvá> + |živá>. Co zásadního se děje při přechodu z velmi malých měřítek na velká? Má kvantová mechanika omezenou platnost na malé systémy, nebo zmíněné chování dá nějak vysvětlit zevnitř ní?

Přesnější formulací tohoto problému je, proč při měření nevidíme superpozice stavů, ale jen konkrétní stavy. (Jde o tzv. problém určitých výsledků.) Druhou částí problému měření je pak, proč si příroda vybere pro tyto pozorované stavy jednu konkrétní bázi. (Tzv. problém preferované báze.) Tato druhá část se hůř vysvětluje „obrazně“, ale pěkným příkladem může být třeba molekula glukózy. Obecně je popsaná vlnovou funkcí Ψ(x₁,..., x_n), kde x₁,..., x_n jsou polohy elektronů a jader. Teď bychom se mohli zeptat, proč se typicky v roztoku glukózových molekul nachází ve vlastním stavu chirality (tj. molekula, jelikož je chirální, bude buď levotočivá a nebo pravotočivá) a ne třeba ve vlastním stavu parity (tj. molekula je symetrická nebo nesymetrická při zrcadlení). Z pohledu kvantové mechaniky by to přitom bylo zcela legitimní - vlastní stav parity je superpozicí vlastních stavů chirality a naopak. Komu se to zdá divné a ptá se správně, jak by glukóza mohla nebýt být ve vlastním stavu chirality, když je to přece chirální molekula - uvědomme si, že to, že v molekule jsou nějaké typické polohy atomů nebo vazby, je už důsledek toho, v jaké bázi molekulu příroda „nejradši měří“ a tedy součást problému, na který se ptáme.)

Na úvod ještě zmíním tzv. superselekční zákony, které teorie dekoherence údajně také dobře vysvětluje. Ve zkratce jde o to, že některé stavy se do superpozic nikdy nedostávají. Můžete např vidět elektron v superpozici několika poloh, nebo vidět superpozici jednoho fotonu se stavem, kde jsou fotony dva, ale nikdy neuvidíte superpozici protonu s neutronem, nebo elektronu se dvěma elektrony. Tento fakt fyzici nazvali superselekční zákon pro náboj (neexistují superpozice stavů s různým nábojem) a do teorie byl zaveden jako dodatečný empirický fakt. Podobných superselekčních zákonů je více.

Co je dekoherence
Poměrně nedávno (konec 80. let) vznikl tzv. program dekoherence, který z větší části vysvětluje otázky z předchozích odstavců. Základní myšlenkou je vysvětlení ztráty kvantového chování pomocí jevu zvaného entanglement (česky provázání). To je čistě kvantově mechanické chování, které nejdříve lidem zabývajícím se kvantovou mechanikou přišlo paradoxní, odtud např. Einstein-Podolsky-Rosenův paradox, který entanglement pěkně ilustruje. Představte si, že mám zařízení, které posílá dvojice fotonů - každý na jednu stranu. Navíc pro každou dvojici je celkový spin fotonů 0^*. Pokud bych spin měřil, naměřím vždy pro každý foton spin nahoru nebo dolů - co je nahoru a dolů ale samozřejmě volím tím, do jakého směru spin hodlám měřit. Vždy můžu zvolit takovou soustavu, že stav jednoho fotonu bude |↑> + |↓> a druhého |↑> - |↓>; tedy že bude v superpozici a teprve mé měření vybere jeden z těchto stavů. (Pozn. - nevíme ovšem, kterou superpozici dostaneme my - buď první, nebo druhou.) Pak ovšem nastává podivná situace - pokud jeden foton zachytím a druhý pošlu mimozemšťanovi k Proximě Centauri vzdálené několik světelných let od Země, měřením na svém fotonu okamžitě změním i stav fotonu, který měří kolega mimozemšťan, byť je ode mne třeba i velmi daleko. Pokud jsem totiž naměřil stav |↑>, on nutně dostane stav |↓> a naopak a jeho stav se tedy v okamžik mého měření změnil z původní superpozice na stav ostrý. Fotony jsou takzvaně provázané, čili entanglované. Z toho lze vyvodit, že proces měření je buď nelokální (ovlivňuje okamžitě i velmi vzdálená místa), nebo je popis vlnovou funkcí neúplný. Původně sice šlo o argument proti úplnosti kvantové mechaniky, postupně se však dospělo k závěru, že o žádný paradox nejde, že jde zkrátka jen o podivnou vlastnost kvantové mechaniky. Slovy R. P. Feynmana - paradox je jen rozpor mezi tím, jaká realita je a jaká si myslíte, že by měla být.

Jak zapíšeme provázání fotonů matematicky? Počáteční stav je až na normalizaci

|Ψ> = (|1↑> + |1↓>)(|2↑> - |2↓>)/2 + (|1↑> - |1↓>)(|2↑> + |2↓>)/2.

První foton mohu dostat v jedné nebo druhé superpozici, druhý ale potom vždy bude v opačné. První člen součtu představuje případ, kdy je foton 1 v první superpozici a foton 2 ve druhé, u druhého členu je to naopak. Pokud jej rozepíšeme, dostaneme

|Ψ> = |1 ↑>|2 ↓> - |1 ↓>|2 ↑>.

Vidíme, že si nemůžeme vybrat stav, kdy bychom dostali oba spiny nahoru - pokud změříme jeden foton, automaticky tím určíme stav druhého. Podobný případ je emise fotonů atomem. Pokud jeden atom vyzáří foton, nebo dva fotony, budou spolu tyto interferovat. Dokonce jsem schopen připravit superpozici dvoufotonového a jednofotonového stavu. Pokud budu mít ale fotony vyzářené různými atomy, interferovat spolu nebudou, přestože jsou to navzájem nerozlišitelné částice. Je tomu tak proto, že atomy, které je vyzářily, si „pamatují“ vyzáření fotonů. Jsou s nimi entanglované stejně, jako byly spolu fotony z EPR paradoxu.

Zásadní myšlenka dekoherence spočívá ve vysvětlení kolapsu vlnové funkce provázáním jednotlivých superponovaných stavů s okolním světem. Dokud je systém v superpozici popsán stavem |okolí 0>(|systém 1>+|systém 2>), stavy mezi sebou interferují a pozorujeme kvantově mechanické chování. Jak ale různé varianty stavů ovlivňují okolí jiným způsobem, postupně se svět dostává do superpozice |okolí 1>|systém 1>+|okolí 2>|systém 2>. Jakmile od sebe začnou být stavy |okolí 1> a |okolí 2> dost odlišné, začnou na sebe být kolmé a přestaneme pozorovat interferenci, protože měřící přístroj je, aniž bychom to věděli, provázán se systémem. Měří tak větev 1, nebo větev 2. Pokud na počátku bylo molekul ve stejném stavu více, část z nich se prováže s přístrojem tak, že skončí ve stavu 1 a část ve stavu 2. Nadále pozorujeme už jenom směs takových molekul, ne superpozici stavů^**. Jednoduše by tuto myšlenku šlo vyjádřit i tak, že jakmile je informace o tom, v jakém stavu se systém nachází reprezentována v okolním světě dostatečně robustně, superpozice na něm přestane být pozorovatelná. (Přestože globální superpozice celého vesmíru může stále existovat - jednotlivé globální větve jsou pak právě světy o kterých mluví Everettova mnohasvětová interpretace nebo velmi podobná interpretace mnoha myslí.)

Robustní stavy
Teorii dekoherence silně podporují měření na mezoskopických systémech, kde lze přímo pozorovat spojitý přechod mezi klasickým a kvantovým chováním a přímou souvislost kolapsu s odnesením informace ze systému do okolí. Jistě ale budete souhlasit, že samotné provázání ještě pořád nevysvětluje hlavní problémy spojené s měřením - tedy proč nevidíme superpozice a podle čeho se tedy vlastně bude měřit? Na to lze ovšem najít odpověď také. Stačí si uvědomit, že provázání s okolním světem se děje typicky tehdy, když spolu svět a systém silně interagují. Vezměme si třeba vlnový balík, který se, jak známo rozplývá. Pokud je tento balík např. v řídkém plynu ostatních částic, může se rozpínat jen dokud se nezačne významně překrývat s balíkem jiné částice. Jakmile se tak stane, velmi rychle se prováží. Toto provázání se rozšíří do okolí tím rychleji, čím více částic již provázáno je, protože oblast se zvětšuje a pravděpodobnost, že tato oblast interaguje s dalšími částicemi je téměř totožná s jistotou. Rychlost dekoherence exponencielně závisí na velikosti systému (což je také hlavní překážkou při tvorbě kvantových počítačů) a pro makroskopické objekty je téměř okamžitá. Dekoherence tedy dává na otázku z úvodu, proč jsou molekuly glukózy měřeny do vlastního stavu chirality a ne třeba parity odpověď: Proto, že na chiralitu je citlivé např. záření, které podle ní mění svou polarizaci. Každý foton tepelného záření procházející skrz molekulu glukózy tedy rychle odnese do okolí informaci o chiralitě, zatímco pro paritu to neplatí. (Alespoň takto to píše H. D. Zeh v knize The Physical Basis of the Direction of Time.) Tuto robustnost lze kvantifikovat nezávisle na bázi a z jejího konceptu lze pak odvodit Bornovo pravidlo (že čtverec vlnové funkce odpovídá hustotě pravděpodobnosti měření) aniž by ho bylo třeba postulovat.

Na stejném principu se dají vysvětlit i výše zmíněné superselekční zákony. Zeh ve své knize píše, že důvodem, proč nevznikají superpozice stavů s různým nábojem je, že pole, které kolem sebe nabitá částice tvoří (tedy jeho monopólový příspěvek) v dostatečné vzdálenosti hraje roli okolí, které nepřetržitě měří náboj částice. Navíc ukazuje krásný příklad kvalitativního odhadu rychlosti dekoherence přes dipólový člen. Představte si, že elektron prochází dvojštěrbinou. Při jakém uspořádání experimentu by již byl elektron změřen svým vlastním elektrickým polem? To, v čem se liší obě trajektorie, je dipólový člen, na kterém mj. také závisí vyzařování elektronu. Pokud jsou trajektorie vzdáleny o typickou vzdálenost d, kterou elektron projde za čas t, musel při tom dosahovat typických zrychlení d/t². K odhadu středního vyzářeného výkonu můžeme použít klasickou Larmorovu formuli, tedy

P = e²a²/6πε₀c³.

Pokud je dráha elektronu zakřivená na měřítku celkové vzdálenosti d (např. je kruhová), pak typický foton, který má být vyzářen, bude mít vlnovou délku řádově d, a tedy energii hc/d. Pokud dáme tyto vzorečky dohromady, můžeme získat počet fotonů za sekundu, který vyjde pro makroskopický experiment zcela zanedbatelně - jak jsme očekávali. Informace o poloze elektronu tedy není odnášena jeho polem.

Zeh zároveň upozorňuje na to, že pokud platí superselekční pravidlo pro náboj, měli bychom to samé očekávat pro energii, protože ta má podle teorie relativity hmotnost a hmotnost rovněž budí gravitační pole v nekonečnu.. a tedy že se této problematice nejspíš ještě dost dobře nerozumí. Nějakou dobu jsem nad tímto argumentem přemýšlel a dospěl jsem k závěru, že Zehova formulace je poněkud nešťastná. Co částici nemůže být jen její vlastní pole v nekonečnu, protože celkový monopólový příspěvek v nekonečnu se odvíjí i od jejího vzdálenějšího okolí. (Pokud mám kladný náboj, typicky je příslušný záporný někde blízko.) Co tedy musí být příčinou superselekčního pravidla je spíš téměř okamžitý coupling náboje částice s okolím - okolí na náboj musí být velmi citlivé. Energie se tedy může nacházet v superpozici, protože její gravitační příspěvek je tak malý, že si ho okolí na dané časové škále zdaleka nestačí „všimnout“. Typický rozdíl jeho velikosti oproti poli elektrickému je 25 řádů - pokud by tedy dekoherence nábojem probíhala na řádu attosekund (10^-18 s), gravitační dekoherence by pořád mohla trvat řádově roky.

Teorie dekoherence sice vypadá skoro jako šitá pro mnohasvětovou interpretaci, protože právě mechanismus entanglementu představuje důvod k vzniku mnoha pseudoklasických větví vlnové funkce - mnoha světů. Stačí jen postulovat, že vědomí se odvíjí od reprezentace informace v mozku v pseudoklasickém stavu. Ale ve skutečnosti je dekoherence v pořádku začlenitelná i do jiných interpretací. Ale o tom až někdy příště.

Zdroje

M. Schlosshauer: Původní článek
H. D. Zeh: The Physical Basis of the Direction of Time
M. Schlosshauer: Decoherence and the Quantum-to-Classical Transition

Poznámky
^{* Pokud vám je proti srsti mluvit o spinu fotonů, který odpovídá kruhové polarizaci světla, nahraďte v celém článku pojem spin pojmem polarizace - neřešil jsem onu technikalitu, že polarizace se měří lépe než spin, experimentátoři jistě pochopí.
** Pokud se ptáte, jak je od sebe poznáme - měřením v jiné bázi. Pokud měříme jenom stav 1 nebo stav 2, superpozici nepoznáme.}

Zamyšlení nad povahou pravdy

2010-12-05T20:18:00.004+01:00

Přednedávnem se ke mně dostal poměrně zajímavý komiks - Logicomix. Jeho hrdinové zcela jistě nejsou komiksoví superhrdinové, nýbrž matematici z oboru logiky. (Russel, Whitehouse, Cantor, Gödel, Wittgenstein). Pročetl jsem ho celkem rychle a docela se mi líbil. Celý je protkán trochu filozofickou myšlenkou hledání absolutní pravdy, o které se v jistém smyslu pokoušeli matematici za doby Hilberta, dokud Gödel nedokázal, že zevnitř formálního systému obsahujícího aritmetiku nelze dokázat, že tento systém je vnitřně bezrozporný, ani tento systém nemůže být úplný (vždy v něm budou otázky nezodpověditelné zevnitř systému.) Vliv komiksu mne vedl k malému filozofickému zamyšlení. (Poznámka pro filozofy - čtete: „..k následujícímu žvatlání.“)

Během svých diskusí na nejrůznějších místech jsem si všiml, že lidé většinou při posuzování pravdivosti většiny tvrzení vychází z několika „zdrojů pravdy“ - tj. postaví si některé základní předpoklady, kterým věří a dále se o ně opírají. Stejnou věc do jisté míry odráží i rozdělení vědních disciplín a některé světonázory. Nechci se snažit posuzovat, které východisko je „správné“ - každý již na to nějaký názor má, ale přišlo mi zajímavé na ně poukázat a přidat názor vlastní.

Empirická „pravda“ je založená striktně na pozorováních, které mohu učinit na okolním světě. O ni se opírají všechny přírodní vědy (fyzika, chemie, biologie a jiné), které tvoří modely a porovnávají je se skutečností. Jediným kritériem je, zda daný model umí předpovídat budoucí děje, nebo zda dané vysvětlení dobře sedí na existující, již ověřené modely.

Matematická „pravda“ je soubor formálně uchopitelných vět a důkazů. Ke své existenci nepotřebuje žádnou empirickou znalost, místo toho zvolí sadu axiómů, u kterých se (podle Gödela to ani lépe nejde) doufá, že jsou bezrozporné a z nich se vyvozují další věty. Důkaz vyvozený z daných axiómů je narozdíl od empirické vědy nezvratný a definitivní, ať už jde o tvrzení 1 + 1 = 2, nebo o Velkou Fermatovu větu. Matematická pravda nevynáší žádné soudy o materiálním světě, takže se s empirickou „pravdou“ nedostává do sporu. (Skutečnost, že samotná empirická realita se nechává popsat i velice abstraktní matematikou je pozoruhodná, nicméně jde pořád o empírii - neznamená to, že by se matematické důkazy a věty přímo k přírodě vztahovaly, nebo že by snad dokonce něco „muselo platit, protože jinak nelze model postavit“.)

Náboženská „pravda“ nazývám východisko založené na zjevených „pravdách“ dané věrouky. Z toho pochopitelně vyplývá, že není jen jedna, ale záleží na věrouce, kterou si člověk zvolí. Někteří lidé pravdy dané víry vezmou doslova a postaví je vysoko nad ostatní, že se dostávají do přímého rozporu s pravdou empirickou. (Kreacionisté jsou typickým příkladem - jsou ochotni ignorovat fosilní nálezy, geologii, kosmologii a vůbec cokoliv, co svěčí proti jejich východisku.). Pokud člověk naopak zvolí jako východisko „opatrnější“ výklad věrouky, s empirickou pravdou se, podobně jako matematická „pravda“, náboženská „pravda“ vůbec nemusí potkávat.

Filozofická „pravda“ nazývám východisko, do kterého bych zařadil většinu ontologických výroků filozofie a širokou třídu filozofických teorií, které staví na tvrzení jednoho člověka nebo skupiny lidí, nebo se opírá o argumentaci vágnější než „pravda“ matematická a nejde o empirický světonázor. Vesměs pro ni platí to samé co pro „pravdu“ náboženskou, jen není typicky motivována žádnou věroukou.

Subjektivní „pravda“ nazývám východisko, které zakládá na subjektivních pocitech člověka. Zařadil bych sem většinu tvrzení o vědomí a především tvrzení druhu, že jedinou věcí, kterou skutečně víme jistě, je fakt existence vlastního vědomí. Subjektivní „pravda“ je typicky v rámci filozofických či náboženských „pravd“ nějak pojednaná (ty se otázky a dojmy subjektivního vnímání často snaží obsáhnout a tak vysvětlit jako součást svých východisek - myslím, že např. celý koncept duše pochází z pocitu vlastního vědomí lidí) a umožňuje klást otázky, které jsou zjevně zcela mimo empirickou pravdu. (Tj. takové, které by dokonce přísný empirik považoval za nesmyslné, například „paradox teleportu“, tedy otázka „kdyby mne někdo přesně a okamžitě zkopíroval, který z nich bych byl potom ‚já‘“.)

Sám za sebe musím říct, že jsem stále víc čistý empirik - zejména proto, že jde o fakta, která jsou, zdá se, objektivní a máme k nim jako k jediným přímý přístup. Z náboženské ani filozofické „pravdy“ jsem nikdy neměl tendenci vycházet, protože vždy vychází z tvrzení lidí, která jsou ze své podstaty zpochybnitelná a před několika lety jsem si v jedné diskusi vyjasnil, že matematika také nepředstavuje zdroj objektivní „pravdy“ - jen nástroj pro jisté bezrozporné zacházení s informací. Kdybychom se potkali s mimozemšťanem, velmi pravděpodobně by se s námi shodl na tom, že jeho civilizace dospěla k podobným teoriím ve fyzice a chemii (i kdyby samotný popis této skutečnosti byl jiný, pohyby planet stejně jako termodynamiku nějak pojednat musejí), zatímco pro samotnou matematiku by si klidně mohli zvolit jinou sadu axiómů a tak dokonce dokázat i tvrzení, která pro nás jsou úplně nedokazatelná, a naopak. (Zase Gödel.) Že bychom se neshodli na „pravdách“ filozofických považuji za samozřejmé.

Nad některými zjištěními subjektivní „pravdy“ jsem pořád částečně na vážkách. Podobně jako většině lidí mi pocit vlastního vědomí připadne hodně reálný, přesto jeho braní doslova vede k otázkám, které v rámci aktuální vědy nemají odpověď z pohledu materialismu a aktuální fyziky ani smysl - ať už je to paradox teleportu, nebo úvahy o tom, že jestliže vědomí může být způsobeno (v souladu s empirickou pravdou) jen pohyby částic a polí v mozku, musí mít stejně kvalitní pocit vědomí i dostatečně dobrý model mozku, byť byt to byly jen výpočty na papíře. Stále více ale nabývám dojem, že všechny tyto otázky vycházející z „pravdy“, že „já mám pocit, že jsem já“, jsou prostě jen důsledek fungování mozku a nemá smysl jim přisuzovat hlubší význam.

Toroidal World

2010-11-28T14:05:00.006+01:00

Tento článek jsem se rozhodl napsat anglicky, jednak abych si procvičil svou její bídnou znalost, ale také abych obskurní téma možnosti existence toroidálních planet zpřístupnil nejen českým matfyzákům, ale i daleko početnější skupině světových „nerdů“.
------------------------------------------------------

I would never convinde the queen to fund my journey if the new continent couldn't be seen on the night sky from Norway.

Christopher Columbus
------------------------------------------------------

To sail around the world? Impossible!

Fernão de Magalhães
------------------------------------------------------

Good old England - always misty, always gloomy - nor day, nor night, never.

author unknown
------------------------------------------------------

Problem of gravity
Could there, or could there be not a stable toroidal planet? Before I start trying to answer this question, I must accent that I would probably never come with this idea myself. The question was, in fact, raised during solving of a miniproject "Describe Any Fictional Universe and Tell Something Interesting About Its Physics" on scientific camp of correspondence seminar M&M. So authoresses are, in fact, Martina B., Alča B. and Míša K. - I only helped them to resolve some technical details. But later on, I was so much drawn-in by the idea of toroidal planet, I couldn't stop until I calculated the details a bit deeper that was possible on M&M.

It wouldn't be very wise to try to calculate the result analytically, for just a potential field of massive circle requires working with elliptic integral functions - whole toroid is unlikely to be more simple that that, probably completely out of reach. Let us approximate the toroidal planet by set of massive points instead. I was very surprised by the fact that a mere ring of massive points gives a qualitatively good result. However, for better precision, we will use set of circles of massive points and decompose the planet into such slices, as shown on Fig. 1. The planet is hardly a rigid body on the planetary scale of sizes - it would be much closer to truth imagining it's out of water! The mass of the planet always fills the inside of the surface of constant potential. Therefore, after first calculation of newtonian potential V(r), we take a surface V(r) = const., we fill it by mass by changing the positions of massive points accordingly and repeat the calculation. I performed this for a torus of R = 3 r proposed by original authoresses.

Fig. 1 - massive points used as an approximation of self-gravitating torus.

It is immediately clear that inner radius of the toroid has always smaller potential than the outer one and that the mass will flow to the center eventually forming a sphere after some time. The only way out of this trouble is to suppose that the planet rotates at high pace, so the centrifugal force is pulling the mass out of the center. We introduce potential of the centrifugal force v(r) = -1/2 ω²r² and we choose the angular velocity ω to be of such value that points on inner and outer radius will have the same potential. In combined gravitational and centrifugal potential, equipotentials indeed converge to oblate toroid. It is not a circle that rotates about the axis of symmetry, but an ellipse is a very good approximation. It seems from the performed numerical experiments that it is not a metastable equillibrium. If we increase angular velocity a bit, toroid will became more oblate and of higher main radius, but remains stable.

Fig. 2 - gravity field of the toroidal planet. The right side of the picture belongs to the inner side of the torus, the left is outer.

When we have a stable toroidal planet, we can harvest the fruit of our work and calculate some interesting properties of the planet. We will start with gravitational force, which is simply a gradient of the potential. You can see resulting field on Fig 2. It always points to the surface, so there is no lateral pull, but its magnitude changes according to observer's position. If we choose the major axis of rotating ellipse to be the Earth's radius and density 5500 kg/m³, it varies from 3.64 m s^-2 for the outer radius, to 9.78 m s^-2 on the inner radius.

Days and nights
For the last image of this article, I used our planet Earth changed into toroidal shape, but it would be very naive to think climatic conditions would be preserved. First major change (not mentioning the changing gravity) is a length of days nights. If we put a sun very close to the plane of rotation (inclination to the ecliptic 6°), we can see from the Fig. 3., that in the region of former Earth equator (torus' "outer equator"), the days and nights would look very similarly to that we know from Earth. Only the day length would be changed to 2.6 hours instead of slow 24 hours days of Earth. As we go to the "north", e.g. to Europe, we soon reach area, where the light intensity is the same all the time, so there is almost no change of day and night at all! (The sun appears to be always near horizon spinning around at high pace.) Going yet further to the north, we get to area, where is constant night during "winter" (we are in shadow of the rest of torus), but during "summer" the day and night cycle would look exactly like near equator. The angle between sun rays and the surface normal is almost 0° and sun is almost at nadir at noon, making the days very hot. There is also an area, where sun never shines. This, of course, depends very wildly on the inclination of the axis - if it was bigger, both inner and outer equators would be illuminated by the same way in both "summer" and "winter" - the shadow of torus would not shade the inner radius. During "spring" and "autumn", the inner radius would be always shadowed.

Of course, to investigate where will be rich vegetation and where deserts, or how would the global circulation of atmosphere look like, one would have to run pretty sophisticated climatic model. This is, unfortunately, beyond my time possibilities - it would be serious work for few years to do that properly. :-) (Unless you are a climatologist with rich experience with already present global models of climate, of course..) However, we may try to guess some things. One of basic principles according to which the air flow establishes in the atmosphere is transfer of heat. On Earth, most of heat is produced around equator. Hot air raises to upper atmosphere, where it starts flowing to the north, where it eventualy turns downwards. This convection cell is called Hadley cell and there is not only one - in fact, there are three major ones. Places where hot air raises up are characteristic by rich precipitation and the land is usually covered by vegetation there (rain forests and temperate forests), the other end of the cell is usually arid and major deserts forms in these places.

On a toroidal planet, most of heat is produced on the outer equator, so air would probably flow in Hadley cells raising up on the outer equator and heading to the inner equator. In fact, with the map of the Earth maped on the torus in the way it is depicted on the figures in this article, the basic vegetation distribution might be quite similar. The main difference would be in magnitude of the Coriolis force, which makes north/southwards-flowing air to turn east/westwards forming jets. These jets would be much stronger and would probably form in shorted distance from outer equator, which might force the Hadley cells to be smaller and make, in fact, Sahara a rain-forest. (I'm just guessing, of course.)

Fig. 3 - daylight in "spring" (left) and "summer" (right).

Other relevant questions
From spherical planets we know that the magnitude of precession of their rotational axes is very small. It would be natural to think it is because of their spherical symmetry - all the principal moments of inertia are almost the same. For torus, however, one might expect a typical precession to be much larger. It would be, indeed, true if the torus would be a rigid body. However, as we said in the beginning, on planetary scales the mass behaves much more like a liquid than solid. It is therefore probable that if there was some initial precession, it would be reduced by the tidal forces. By other words, either the torus would eventually form around the principal axes of inertia and resulting precession would be small, or it would be torn apart by them.

Another interesting physical question is whether there are stable orbits around the planet. I also investigated this and it seems from the numerical simulations, that there are stable distant orbits, which are elliptical (as expected), with some perturbations caused by non-spherical shape of the central body. All orbits in the vicinity of the planet (like those, which would go through the center of the torus) are in principle possible, but unstable, maybe except of pendulum-like periodical movement up and down through the hole inside the torus.

If we imagine a Earth-like biosphere on the torus, probably the most interesting question is, how would the sleep cycles of the animals be affected. (Provided the sleep is univerzal feature of complex neural networks, which is not necessarily true.) From experiences with planet Earth, we somehow relate sleep with day-night cycle. But if the days were too short, it might be more preferable to completely ignore them and evolve sleep not directly connected from day-night cycles. However, if you take for example giraffes, which sleep only 2 hours a day, we might deduce that sleeping during night lasting 2 hours is possible even for animals with brains developed in circumstances of 24-hour rotation of the Earth.

At the very end, I put here some physical properties of the torus. Enjoy!

Physical parameters:
Mass: 6.6 Earth masses
Volume: 6.6 Earth volumes
Outer radius: 19 134 km
Inner radius: 6378 km
Major axis: 6378 km
Minor axis: 4464 km
Outer g. acceleration: 3.64 m s^-2
Top/bottom g. acceleration: 7.36 m s^-2
Inner g. acceleration: 9.78 m s^-2
Length of day: 2.65 hours
Inclination to the Ecliptic: 6°

Kolapsy složitých společností

2010-08-01T16:02:00.007+02:00

Nedávno jsem si pořídil několik knih z nakladatelství Dokořán, abych si trochu rozšířil obzory mimo fyziku. Skutečně povedeným úlovkem byla kniha Kolapsy složitých společností od J. A. Taintera. Kniha si klade za cíl odpovědět na otázku proč se společnosti někdy rychle rozpadají a někdy naopak trvají dlouze a přestojí i poměrně významné krize. Představuje teorii, která je dostatečně obecná, aby se dala použít téměř na každou společnost (což je mj. důvod, proč je zajímavá i pro mne - odhaluje, jak některé věci fungují, nepředkládá jen pouhou faktografii.) Většina tvrzení článku přímo cituje knihu, nebo z ní vychází. A prosím taky nezapomeňte, že tomu vůbec nerozumím a jenom sepisuji dojem z knihy :-).

Jak společnosti fungují?
Aby se Tainterovi dobře postupovalo, zavádí několik užitečných modelů a pojmů. (nebo častěji představuje modely a pojmy jiných autorů - cituje skutečně často a důkladně.) Pro začátek uvádí, že existují v zásadě dva globální názory na to, proč se složité společnosti utvářejí. Teorie konfliktu a teorie strukturální. Zastánci té první (původně např. Marx, Engels) tvrdí, že stát představuje nástroj, pomocí kterého vládnoucí vrstva (která je vždy přítomná v podobě těch nejschopnějších, ať už to znamená, že jsou v primitivní společnosti dobří lovci, nebo že umí pohotově intrikovat ve vysoké politice a zajistí si prostředky ve společnosti složité) nutí ovládanou vrstvu produkovat komodity, ze kterých potom oni žijí v blahobytu, zatímco ovládaná vrstva zůstává permanentně chudá. Zastánci teorie strukturální naopak tvrdí, že společnosti se organizují proto, že taková organizace je pro lidi výhodná - umožňuje jim stavět zavlažovací kanály tam, kde by to jednotlivci nezvládli a obecně produkovat vyšší výnosy. Lidé se tedy uspořádávají, protože to má pro ně výhody. Obě teorie samy o sobě mají některé problémy. Např. teorie konfliktu předpokládá, že lidé, kteří v daném prostředí budou tvořit vládnoucí vrstvu, se vždy najdou - je to zkrátka přirozený a obecný důsledek lidské psychiky. Pokud je to ale pravda a zároveň společnost nehraje žádnou strukturální roli, neumí např. vysvětlit, proč se složité společnosti nevyvinuly už někdy v Pleistocénu. Teorie strukturální zase poněkud optimisticky pomíjí skutečnost, že vládnoucí třída skutečně nejedná efektivně a obohacuje se na úkor ovládané složky typicky daleko více, než by musela. Tainter nakonec pro své vývody volí syntézu obou tezí, že

vykořisťování je normální cenou za sociální stratifikaci,
špatná vláda je normální cenou za vládu.

Přiznává tedy, že společnosti jsou skutečně organizace určené k řešení problémů a to také (většinou docela efektivně) činí, avšak nefungují ideálně a konfliktní složka je vždy přítomna.

Mezi úkoly, které společnost typicky plní je pak

Správa (zajištění toho, aby vůbec fungovala, budování veřejně prospěšných staveb.)
Boj s vnitřním nepřítelem (tedy vlastně policie.)
Boj s vnějším nepřítelem (tedy vlastně armáda.)

Dalším velice užitečným pojmem je tzv. legitimita. Pokud má vládnoucí složka vládnout, je třeba, aby ji v delším časovém měřítku lidé považovali za legitimní vládce. Pro staré egypťany byl důvod, proč panovník vládne fakt, že to byl bůh slunce, v průběhu středověku proto, že šlechta byla dědičně k vládě určena a panovník byl panovníkem z vůle boží a v dnešní demokracii je vláda legitimní, protože je zvolená lidem. Pokud chce vládce vládnout a nemá dostatečnou legitimitu, musí daleko více investovat do policie a utlačování obyvatelstva. To je sice možné a v hodně případech i poměrně dlouho udržitelné, ale je to zoufale neefektivní a stát tak ztrácí konkurenční výhodu nad ostatními státy. O udržení pocitu legitimity se většinou stará další složka společnosti, ať už je to církev (starověk, středověk - dnes tuto funkci již neplní, snad mimo některé islámské režimy) nebo strana (typicky diktátorské a/nebo komunistické režimy).

Udržování legitimity.

Cena udržování legitimity záleží na životní úrovni. Pokud je životní úroveň nízká, musí být do legitimity investováno daleko více. (Se svými malými znalostmi historie si nedovolím moc spekulovat, ale myslím, že rozpad Výmarské republiky ve prospěch nacistického Německa byl typickým příkladem, kdy legitimitu ztratila demokracie. Do jisté míry, (jak tvrdí Mikuláš), by se dalo říci, že SSSR se rozpadl, protože ztratil legitimitu, protože nebyl schopen ani uskutečnit světovou revoluci (což byla jedna z hlavních tezí komunismu), ani zajistit životní úroveň srovnatelnou se západem - závody ve zbrojení tak byly jen vyústěním již déle trvajícího problému.)

Posledním pojmem, který se v knize často používá je složitost, nebo investice do složitosti. Složitost je poněkud těžko přesně definovatelná (jak to tak v humanitních oborech bývá). Zhruba se však dá rozpoznat podle počtu jednotlivých profesí, které lidé společnosti vykonávají (které jdou od desetitisíců až k miliónům), počtu strukturálních jednotek a typickou vzdáleností, na kterou komunikují, počtem výrobků, které se vytváří a obchodují, apod.

Proč společnosti kolabují?
Kolaps společnosti znamená rychlý pokles složitosti a rozpad společnosti na menší strukturální celky, ze kterých byla tvořena. Tzn. i když kulturní odkaz dané civilizace může přetrvat a dále se rozvíjet, stejně společnost, jejíž správní instituce se zhroutili, označíme jako prošlou kolapsem. Naopak samotná změna režimu kolapsem není - to je jen transformace společnosti.

Kdyby složité společnosti kolabovaly pravidelně pod některými typickými tlaky, nebylo by co řešit. Jak říká Tainter, problémem není, že společnosti kolabují, ale že některé společnosti se kolapsu stovky let úspěšně vyhýbají a odolají mnoha nepříznivým okolnostem. Na začátek uvádí mnoho dnes používaných teorií kolapsů s patřičným vysvětlením, proč nejsou dostatečné:

Katastrofy - problémem je, že takto jednak nelze vysvětlit kolapsy obecně, druhak je známo mnoho příkladů, kdy civilizace katastrofám naopak odolávají - teorie nedokáže odpovědět na to, proč společnosti následkem katastrof kolabují jen někdy.
Nájezdníci - stejný problém, jako teorie katastrof.
Konkurující jiných složitých společností - je málo obecná, např. pád Říma a některých jiných takto vysvětlit nejde.
Vyčerpání zdrojů - problém je vysvětlit, proč společnost typická centrálním řízením neučinila dopředu dostatečná protiopatření. Tyto teorie většinou dopředu předpokládají
Třídní konflikt, špatné řízení ze strany elity, sociální konflikt - nevysvětluje, proč se elity někdy začnou chovat nezodpovědně a vykořisťovat populaci, když v mnoha jiných případech, třeba i ve stejném zřízení, tak činí jen v únosné míře.
Náhodné zřetězení událostí - Tainter především uvádí, že toho příliš nevysvětlují. Věrohodně ji však podle mého ze hry nevyřadil.
Ekonomické faktory - u těch nakonec Tainter skončil, jeho teorie je jednou z těchto.

Tainter přihází s myšlenkou, že společnosti pravidelně investují do složitosti, protože složitost typicky přináší výhody. Umožní více produkovat, lépe a efektivněji se bránit apod. Další tezí ale je, že mezní výnos složitosti postupně klesá. (Mezní výnos je derivací výnosu podle investice - udává, kolik jsme získali zvýšením naší investice, nikoliv jaký je průměrný zisk na celkovou investici.) Krásný příklad se dá ukázat na zemědělství (teorie Boserupové). Zemědělství se dá provádět v různých intenzitách. Můžeme vypálit les, osít půdu, sklidit a nechat půdu zarůst na dalších 25 let. Nebo můžeme nechat les vzejít jen na pár let a pak jej vypálit. Nebo můžeme půdu nechat ležet ladem jen třeba rok (trojpolný systém), popř. sklízet jednou či více do roka. Přitom platí, že dřívější verze vyžadují málo práce na jednoho člověka, ale dohromady jsou schopny uživit jen málo lidí. Jakmile hustota obyvatel roste, je třeba přejít na intenzivnější metodu zemědělství. To skutečně produkuje více, ale množství práce je uživení jednoho člověka obecně roste - investovali jsme do složitosti - tím produkujeme více, ale průměrný výnos na jednotku práce je menší. (Pokud chcete namítnout, že obdělávání traktorem a moderními hnojivy stojí práce jistě daleko méně, tak nezapomeňte započíst, kolik lidí ten traktor a jeho součástky vyvíjelo, kolik stojí budování infrastruktury, která vytvoří a dopraví palivo až k vám, kolik infrastruktury je třeba na vytvoření těch hnojiv popř. získání know-how, apod. Pokud vám pořád vychází, že je to snazší, tak asi máte pravdu - v tom případě civilizace dostala tzv. zdrojově-technologickou injekci, viz dále.)

Nárůst složitosti a pokles mezního výnosu je demonstrován v celé řadě oblastí. Administrativě na příkladě námořnictva Britského kolonálního impéria, zdravotnictví v USA, zemědělství v Nigérii, Gambii, Jugoslávii na případě plodin, které se neexportovaly (což by výsledek ovlivnilo), apod. Společnosti zkrátka obecně do složitosti investují a mezní výnosy klesají. Teorie pak ve zkratce říká, že společnosti se dostanou do bodu, kdy už složitost nezvyšuje dále produktivitu, ale investice do ní musí pokračovat, aby se udržela v chodu. Pro jednotlivé podčásti, které musí na drahou složitost doplácet, se stane výhodnější se odtrhnout (pokud to jde), nebo alespoň nechat bez odporu zabrat jinou, byť třeba méně složitou (a tím typicky normálně slabší) společností. Jakmile začne být výhodnost snížení složitosti společnosti zjevná, vládnoucí třída musí investovat do zvyšování legitimity a do zvyšování stavů armády nebo policie. To jsou další investice do složitosti, která již téměř nic neprodukuje. Společnost se nakonec hroutí.

Princip je důkladně rozebrán na příkladě Mayů, pádu Říma a dalších - pokud vás zajímaví detaily, budete si muset knihu přečíst.

Co z toho plyne pro naši společnost?
Dobrou otázkou, které se IMHO Tainter nevěnuje tolik, jak by možná mohl, proč (a zda) společnost musí stále svou složitost zvyšovat a zda ji může nějak nedestruktivně redukovat. Obecná (otázkou zda dostatečně obecná) odpověď by pravděpodobně byla, že jakmile společnost produkuje přebytky do jisté míry, nějakým způsobem je investuje do složitosti - nebude je jen tak hromadit. V době, kdy Řím vedl úspěšnou expanzivní politiku, zbavil své obyvatele daní, protože si to mohl dovolit. Obyvatelé si ale na danou míru přebytku zvykly a poté byl problém zavést byť jen nějakou daň a vyžadovalo to další investice do legitimity, nebo armády. Tím, že potenciál zdrojů k tvorbě složitosti plně využijeme, nebudeme mít už rezervu k vytváření složitosti např. za účelem překonání katastrofy, nebo jiného tlaku.

Jakmile jednou vytvoříme sítě mobilních operátorů, nejsme je ochotni znovu opustit - a nemohou to udělat ani firmy, protože je to lokálně nevýhodné. (I kdyby vznikla významná úspora tím, že by tyto prostředky nikdo nepoužíval (jako že v tomto ilustrativním případě by asi nevznikla), ten, kdo je používá je v lokální výhodě a vydělá vždy víc.) Jakmile jsme schopni vytvořit vyspělé zdravotnictví, kterým velmi draze léčíme některé jinak smrtelné nemoci, nejsme schopni jej zredukovat, protože je to společensky nepřijatelné. To s sebou navíc nese i drahé školení pracovníků (tj. nárůst nákladů na vysoké školství), vytvoření správních celků (v tomto případě pojišťoven, které distribuují finance) a v neposlední řadě údržbu počítačů, které na jednu stranu usnadňují administrativě třídění informací (a umožňují tak další růst složitosti a administrativy), na stranu druhou vyžadují celý zástup drahých školených techniků, kteří je vyvíjejí a starají se o ně. Celý systém zjevně směřuje k vyšší složitosti.

Tainter ovšem zdaleka netvrdí, že složitost je drahá vždy, jen že je příliš drahá (už neproduktivní) jakmile je příliš velká v porovnání s technologiemi a zdroji, které ji umožňují. Pokud se objeví nová technologie (parní stroj, spalovací motor, mobilní telekomunikace, počítače), z počátku usnadňuje produkci statků a tím vede k vytváření přebytků. Ty umožní další růst složitosti, atd. Moderní industriální společnosti dostávali pravidelný odklad ze popisovaného procesu díky stále se nově objevujícím technologiím, které posouvali hranici, kdy se složitost už nevyplácí. Dá se vysledovat, že (Tainter) náklady na vědu rostou exponencielně, což je jen cena za to, aby pokrok probíhal stále stejným tempem. (Protože i vědě klesá mezní výnos - jednodušší otázky jsou logicky zodpovězeny nejdříve a odpověď na další vyžadují více úsilí.)

Navzdory některým optimistickým ekonomům, kteří jsou ochotni tvrdit, že zdroje nikdy nedojdou, protože věda je vždy schopna vytvořit další alternativu, je jasné, že tomu tak není a odklady pro naši společnost se nebudou objevovat věčně. Jak se také v Kolapsech píše, dnešní svět je na rozdíl od starověku podobně složitými civilizacemi vyplněn, proto není možné, aby se tyto zhroutily samostatně. Větší celek bude vždy intervenovat v jejich prospěch (nemůžu než si vybavit poslední krize v Lotyšsku, Maďarsku nebo Řecku), nebo dojde k pohlcení jednoho celku druhým. Takto se buďto nakonec zhroutí systém celý, až klesne schopnost velkého celku výkyvy tlumit, anebo k tomu nedojde vůbec.

Společnost typu kapitalistické demokracie zatím (pokud vím) žádným velkým kolapsem neprošla. Otázkou je, zda jsou skutečně lidé schopni se luxusu plynoucího ze složitosti vzdát, jakmile začne být neúnosně drahý, nebo zda krácení luxusu povede k sociálním tlakům, které kolaps jen urychlí, jak to zatím bylo typicky v minulosti u jiných společností. Jistou naději vidím v kapitalismu, protože skutečné rozpočítání nákladů napříč společností může umožnit zbavit se některých typů složitosti, jakmile je zjevné, že jsou příliš drahé. (Protože v kapitalismu jsou skutečné náklady zjevnější než v jiných systémech.) Ani zde se to ale netýká státního aparátu a sociálního státu, jejichž schopnost redukce zůstává sporná. Je také otázkou, jestli současná vlna ekonomických krizí představuje jen periodicky se opakující proces, díky kterému se složitost na mnoha úrovních snižuje a drží se tak na únosné míře, anebo zda představují skutečnou krizi kvalitativně odlišnou od krize z nadvýroby a zda investice do zeslabení krize nepředstavují právě ty další investice do složitosti, které celý problém jen zhoršují.

Rozhodně zajímavou laboratoří budou výše jmenované země, které právě krizí procházejí - uvidíme, zda je v demokracii možné zredukovat sociální stát a celkové náklady - a i pokud se do v těchto případech povede, nebudeme si jistí, jestli to bylo proto, že větší celky podržely stabilitu tohoto procesu (demokracie neztratila legitimitu) a že je to možné globálně. A tlak na redukci složitosti bude .. i kdybychom si mysleli, že není samotným důsledkem vnitřní dynamiky společností, nezapomeňme, že nežijeme trvale udržitelným způsobem a že zdroje, které využíváme, jednou dojdou.

P.S. (napadlo mne po dopsání článku): Další naději pro západní industriální společnost vidím v tom, že pokud platí druhá verze Tainterovy hypotézy, že totiž složitost nemusí nutně růst, ale roste jen dokud jsou pro to rezervy, čímž se ovšem vytratí rezervy pro překonávání krizí. Potom bychom mohli (možná trochu optimisticky) tvrdit, že současné celosvětové společnosti jsou tak velké, že rezervy pro budování složitosti nejsou vlastně potřeba, protože na společnosti nemají jak vzniknout tlaky dostatečného měřítka. Proto je, narozdíl od starých civilizací možné, aby dostatečně velká civilizace přežívala za konstantní složitosti, aniž by se objevily skutečné tlaky na její další zvýšení. (Což přestává být samozřejmě relevantní jakmile dochází zdroje. Ale může to představovat odklad.)

Přednášky z astrobiologie II

2010-05-15T10:51:00.043+02:00

Po absolvování posledního bloku přednášek z astrobiologie jsem se rozhodl zapsat ještě několik dalších perliček, o které se rozdělím. (Mj. abych je sám nezapomněl.) Samozřejmě si uvědomuji, že molekulární biologii vůbec nerozumím, takže budu vděčný za opravy nepřesností, které mi unikly.. Takže směle do toho!

Univerzalita genetického kódu
Možná jste se zamýšleli nad tím, nakolik by bylo odlišné genetické kódování potenciálního mimozemského života. V minulém příspěvku jsem psal, že je představitelných několik koster nukleových kyselin. Nemusí ji tvořit ribosa nebo deoxyribosa, ale třeba i peptidy, nebo jiné látky. V následující přednášce jsme zkoumali, nakolik jsou univerzální báze a kód, na základě kterého se podle nich kóduje tvorba proteinů. Velice zajímavou souvislostí je, že ačkoliv je dnes namodelováno, nebo i experimentálně připraveno mnoho bazí, které by mohly nahradit ty používané námi, cytosin, adenin, guanin a uracil (potažmo thymin) jsou něčím vyjímečné. A to sice tím, že jsou-li excitovány UV zářením, oproti většině alternativních bazí se velmi rychle vracejí do základního stavu - rozdíl je přitom značný [1] (z 10^-8 s na 10^-12 s). To je klíčové pro stabilitu nukleových kyselin proti UV záření. To totiž molekulu nerozbíjí tak, že by přiletěl foton, který ji prostě rozštípne. Jen ji excituje - a excitovaná molekula je chemicky vysoce nestabilní. Čím dříve se na základní stav vrátí, tím větší je šance, že se molekula nerozštípne. Pokud by se tedy život vyvíjel v prostředí s UV zářením, je velmi pravděpodobné, že by zvolil tytéž báze. Oproti nim však např. ještě existuje varianta, kde je každá z bazí rozšířena o aromatický kruh [2]. Jejich vlastnosti se zdají být podobné (čili tato varianta by asi byla rovněž přípustná) a navíc jsou odolnější vůči teplotě. Je tedy jakási šance, že by je mohly používat organismy, které se již od začátku musely vyrovnat s vyššími teplotami.

Modifikované báze DNA, a vzhled alternativní šroubovice. [2]

Genetický kód je však něco docela jiného. Pro ty, kteří nejsou příliš biologicky zdatní, stejně jako já, napíši, že proteiny se v živých organismech staví tak, že molekula tRNA tvoří jakousi čtecí hlavu, která se přes slabé vazby váže na „datovou pásku“ - mRNA. Z prostorových důvodů, které vypadají v případě nukleových kyselin poměrně univerzálně, se kontakt uskutečňuje vždy přes tři báze (druhá je v nejsilnějším kontaktu, třetí v nejslabším). Podle trojice bází a podle tvaru tRNA se na řetízek proteinů tRNA již tažený, připojí další aminokyselina, nebo se řetízek přeruší. V něm obecně platí, že co nejvíce informace nese druhá pozice (je nejpevnější, tedy i nejméně chybová) a že složitější aminokyseliny jsou kódovány méně redundantně, protože tRNA nemusí zaujmout tolik speciální tvar, aby je připojila. Genetický kód však není univerzální a pro některé živočichy se liší. V průběhu evoluce života se pravděpodobně výrazně měnil. Předpokládá se, že původní přiřazení bylo vesměs náhodné (tRNA není ničím speciální - už dnešní biotechnologie ji umí modifikovat tak, aby kódovací tabulku změnila - a to dokonce přímo uvnitř živých buněk). Případný mimozemský virus (pokud se nevyvinul na místě, odkud byl život ze Země nebo naopak zavlečen - viz teorie panspermie) by tedy byl pro nás zcela neškodný - při syntéze by totiž dostal úplně jiné proteiny, než na jaké je zvyklý.

Alternativní postranní řetězce k RNA - threosová, peptidová, odvozená z glycorelu a z pyranosylu. B značí bazi.

Masová vymírání
Pokud bychom chtěli vyšetřit, jak stabilní podmínky mnohobuněčný život potřebuje, nejlepší je pravděpodobně podívat se na to, za jakých podmínek na Zemi došlo k velkým vymíráním. Asi nejznámějším z nich je vyhubení dinosaurů před 65 milióny let, které dlouho bylo nevyřešenou záhadou. Dnes již panuje všeobecná shoda, že za jejich vyhubení je zodpovědný impakt planetky o rozměru cca 10 km, který způsobil nejprve horkou rázovou vlnu, která spálila většinu lesů na planětě a poté dlouhé období zimy, které zahubilo plankton a velkou část rostlinstva a tak přerušilo potravní řetězce na planetě. (Jako jeden z hlavních důkazů se uvádí vrstvička iridia - prvku jinak na Zemi vzácného - nacházející se v příslušné geologické vrstvě všude na planetě. Pod ní je vždy vrstva utvořená ze schránek živočichů a těsně nad ní už jen vrstva sedimentů.. Vcelku přesvědčivý argument.)

Co je ovšem zajímavé je, že se zdá, že bylo nějméně několik ještě fatálnějších vymírání, kdy žádné náznaky kosmických impaktů nejsou, nebo jsou přímo vyloučeny. (Před 199-214 mil. lety, před 251 mil. lety před 364 mil. lety, ..) Jako pravděpodobný mechanismus se jeví masivní výlev lávy, který se tou dobou odehrál. Tyto události jsou totiž spojené s výlevy lávy při rozpadu kontinentu Pangey a při vzniku tzv. Sibiřského a Dekanského trapu. Oba trapy jsou masivní vrstvy lávy rozkládající se na značném území Sibiře a Indie. Tak velký výlev měl mnoho neblahých důsledků - výrazné zvýšení koncentrace SO₂, CO₂ a CH₄ v atmosféře vedlo jednak k mohutnému skleníkovému efektu a rychlé změně klimatu, ale i k redukci atmosféry a poklesu hladiny kyslíku. Podle poměrně nové teorie z r. 2005 [6] tyto podmínky svědčí anaerobním mikroorganismům žijícím na dně moře a produkujícím H₂S. Právě jejich biologické markery byly nalezeny ve vrstvách z epizod některých významných vymírání. (Tuto informaci nemám z Kopeckého přednášky, takže snad jsem to nemisinterpretoval..) Zdá se, že prudký nárůst teploty a redukce atmosféry způsobí jejich rozšíření, které se projeví zrůžověním části moří, ve kterých se vyskytují. Nakonec to tedy možná není nedostatek kyslíku nebo teplo, ale nadprodukce sulfanu, který mnohobuněčný život zkrátka otráví. Peter Ward o této teorii mluví v následujícím TEDTalku [7]. (Ward rovněž uvádí, že při 1000 ppm oxidu uhličitého v atmosféře kompletně roztají polární čepičky a při asi dvakrát vyšší koncentraci začíná „efekt růžových moří“ - CO₂ však není jediný plyn, jehož koncentrace se měnila.)

Bezkyslíkaté prostředí v mělkých mořích může způsobit rozšíření bakterií produkujících sulfan - při masovém rozšíření vede k vymíráním [7], [9].

Na konci Permu, před příchodem éry dinosaurů, bylo množství kyslíku v atmosféře tak velké, že hořelo skoro i mokré dřevo. Toto množství kyslíku začátkem Triasu rapidně pokleslo. Tehdy souši vládla zvířata ne nepodobná dnešním savcům. Přestože mohla být životaschopnější za běžných podmínek - byla chytřejší a teplokrevná, měla větší nároky na kyslík, díky čemuž pravděpodobně během období redukce atmosféry a jejího zamoření sulfanem podlehla plazům. Z toho, jak může být zemská tektonika fatální lze nepřímo usuzovat, že planety těžší než Země s větší tektonickou činností, mohou svůj mnohobuněčný život pravidelně hubit - to by ještě zúžilo aktuální rozmezí hmotností planet, na kterých se život může vyvinout.

Dobrou příležitost k výzkumu vymírání představuje kompendium asi 36 000 druhů mořských měkkýšů, kteří mají relativně stabilní podmínky v podstatě celou dobu své historie. Podle vývoje počtu jejich druhů můžeme datovat vymírání poměrně podrobně. Ukazuje se, že impakty planetek na Zemský povrch pravděpodobně nejsou tak fatální, jako velké výlevy lávy (co do počtu vyhynutí), ale zato jsou častější. Ve vymíráních lze vypozorovat dvě významné frekvence. ~ 63 milionů let a ~ 140 milionů let. (První je jistá, druhá je těsně na hranici chyby.) Není bez zajímavosti, že právě toto jsou periody, se kterými Slunce prochází spirálními rameny Mléčné dráhy a galaktickou rovinou - tedy místy s větší hustotou hvězd. Pravděpodobný scénář těchto periodických vymírání tedy je, že blízké hvězdy naruší dráhy těles na vnějšku Sluneční soustavy a tím se zvýší množství dopadů na vnitřní planety. (Zda dopad planetky nastartuje „efekt růžových moří“ nebo ne nevím. Pravděpodobně však není vyhrazen jen pro výlevy lávy.)

Efekt růžových moří zjištěný pomocí biomarkerů anaerobních bakterií vyžadujících sulfan - [9].

Jak je Země vzácná?
Téměř pokaždé, když Vám někdo něco povídá o mimozemnském životě, přijde ke slovu Drakeova rovnice pro výpočet četnosti mimozemských civilizací. Ta je sice z definice správná, ale obsahuje spoustu pravděpodobnostních koeficientů, které většinou nejsme schopni nijak blíže odhadnout. Přesto mi přišlo zajímavé se zamyslet nad jednotlivými členy. Hlavní slovo bude mít člen zodpovědný za výskyt planet podobných Zemi. Ten dnes můžeme odhadovat jednak z pozorování exoplanet a z modelování vzniku slunečních soustav. Předevěším se ukazuje, že se poměrně velmi často stává, že dráhy plynných obrů jsou nestabilní a během vývoje migrují. Nezanedbatelné procento soustav skončí s „horkým Jupiterem“ někde kolem vzdálenosti Merkura, který skrz gravitační rezonance vymete všechny menší planety z obyvatelné zóny. Toto vymetení se může udát i během procesu migrace planet, aniž by se plynní obři přímo dostali do blízkosti hvězdy. (Bohatě stačí jedna, která má výstřední dráhu a jednou za čas prolétne dostatečně blízko.) Navíc je ovšem vhodné mít tyto planety vně, protože třeba Jupiter odvrací velké množství impaktů svou přítomností. (Jak jsem psal minule - tento fakt by znamenal, že život na měsíci takové planety by měl sice zaručenou stabilní dráhu, ale musel by si poradit s častými impakty a vysokou radiací plynného obra - a jak mohou být impakty fatální víme díky vymíráním.)

Další nepravděpodobnou věcí je velký měsíc, který má poměrně důležitou funkci, neboť stabilizuje rotační osu Země. Zachycení takové oběžnice v podstatě není možné - soudí se, že Měsíc vznikl srážkou s tělesem velikosti Marsu a vyvržením části hmoty na oběžnou dráhu. Taková událost je poměrně málo pravděpodobná. Kromě toho, že Měsíc stabilizuje osu, podporuje slapovým působením deskovou tektoniku, která je v jisté míře důležitá, aby všechny biogenní sloučeniny neskončily pasivně v usazeninách a údajně snad mohl hrát jím způsobený přiliv a odliv roli při vzniku života pravidelným zavlažováním a následně odpařováním zahušťováných pobřežních jezírek, kde se život mohl vyvíjet, nejsem tak úplně přesvědčený, že bez něj by to nešlo. To už je ale velmi spekulativní závěr.

Pak je tu ještě omezení na velikost. Planety menší než je Země budou ztrácet poměrně rychle vodu do kosmického prostoru (permanentně uniká i ze Země) a rychle zchladnou a ztratí tenktonickou činnost, důležitou pro aktivní biosféru. Jak jsem psal výše, větší planety zase mohou mnohobuněčný život nadměrnou tektonikou hubit.

Hypotézou, která by už tak nízkou pravděpodobnost výskytu Země znížila na naprosté minimum je hypotéza vzplanutí jádra galaxie. (Také dosti spekulativní, přesto zajímavá.) Astronomové pravidelně pozorují tzv. Seyfertovy galaxie. Jsou to spirální galaxie, kde černá díra uprostřed nesedí pasivně, jako v té naší, ale polyká velké množství hmoty, které se dostalo do jejího okolí. Jádro takové galaxie je pak až stokrát zářivější, což má za následek sterilizaci všeho živého v celé galaxii vlivem gama záření, je-li jádro na dohled (to naše není), popř. intenzivním částicovým bombardováním, i pokud viditelné není. Četnost vzplanutí jádra spirálních galaxií se odhaduje na jednou za milion až miliardu let. Hypotéza říká, že i Mléčná dráha byla několikrát Seyfertovou galaxií - oběžná dráha Slunce je však natolik speciální, že se Slunce opakovaně nacházelo ve spirálním rameni, když ke vzplanutí došlo. (Slunce skutečně má jinou rychlost než okolní hvězdy.) Tamní vyšší hustota plasmy by částicové bombardování odstínila a tím by se život na Zemi zachránil. Tato teorie je sice značně spekulativní, nicméně pokud by byla pravdivá, pak nejen, že jsme v naší galaxii skoro jistě sami, ale i pravděpodobnost vzniku inteligentního života v jiných spirálních galaxiích bude mizivá. (Ward v knize Vzácná Země uvádí, že eliptické a nepravidelné galaxie mají pro život příliš nízkou metalicitu, takže možná mnohobuněčný život vůbec bude velmi vzácný, zdroj jsem ale ještě neověřil.

I když pomineme Seyfertovy galaxie, zdá se, že ačkoliv může být vznik mikrobiálního života poměrně pravděpodobný a hojný, podmínky potřebné pro mnohobuněčný život budou daleko více speciální.

Citace:

Přednášky z astrobiologie

2010-04-18T12:22:00.007+02:00

Nejsou zase až tak daleko doby, kdy zkoušet vůbec odhadnout, jak vypadal začátek našeho vesmíru vyvolalo spíše úsměv fyziků, než seriózní zájem. Mám dojem, že pojem astrobiologie, tedy věda zkoumající, kde všude bychom měli ve vesmíru hledat život a jak by mohl vypadat, bude u mnohých dnes také vzbuzovat přinejmenším podezření. Přesto se spojením znalostí astronomie, chemie, biologie, geologie a fyziky dá o životě ve vesmíru říci už poměrně hodně. Tento příspěvek jsem se rozhodl napsat v reakci na výbornou přednášku RNDr. Vladimíra Kopeckého, Ph.D., kterou letos navštěvuji, abych se podělil alespoň o to nejzajímavější.

Jak může život vypadat?
První zajímavá otázka je, jak obecně může život vypadat? (Ponechávám stranou otázku, co život je - vesměs ale hledáme něco, co funguje si udržuje nízkou entropii za vysokých teplot (je dlouhodobě mimo termodynamickou rovnováhu) a je schopno se rozmnožovat, i když definice se liší.) I když v principu není vyloučené, že by život nefungoval na chemickém principu (zvířátka uplácaná z neutronového degenerovaného plynu na neutronových hvězdách, jako to píše Forward v Dračím vejci), jen o běžné hmotě založené na atomech víme dost, abychom ji mohli nějak seriózně vyšetřovat. Nejprve jsme se zaměřili na otázku, zda může být život postaven na jiných sloučeninách, než na sloučeninách uhlíku. Tvorby delších řetězců jsou schony v zásadě jen bor, dusík, uhlík, křemík a fosfor. Sloučeniny boru, dusíku a fosforu jsou však velmi nestabilní, takže jsme je rovnou vyloučili.

Křemík vyžaduje delší vyšetřování. Ten má však oproti uhlíku několik nevýhod - především nemá vazby s kyslíkem vodíkem a sám sebou na stejné, přijatelné energii. Vazba s kyslíkem je příliš pevná, takže spolu s kyslíkem velmi ochotně oxiduje (a to dokonce i ve vodě) a výsledné sloučeniny jsou inertní za teplot nižších než několik stovek °C. Vysoké teploty a tlaky omezením nejsou, ale pro takové sloučeniny je těžké najít rozpouštědlo. Pokud by v daném prostředí nebyl přítomný kyslík, samotná chemie silanů, polymerů křemíku a vodíku, je poměrně bohatá. Jen funguje za nízkých teplot a vysokých tlaků. Voda pro ně není vhodným rozpouštědlem kvůli reakci s kyslíkem, ve hře však zůstáván třeba metan. Další nevýhodou křemíkové chemie je tzv. stínící efekt, který narušuje aromaticitu případných benzenu-podobných jader, což dělá Si-chemii chudší. Dalším zajímavým kandidátem by mohly být zeolity postavené z Si-O tetraedrů fungující za teplot kolem tisíců stupňů. Takové podmínky jsou např. v zemském plášti, nic zajímavého zde však nepozorujeme.

Pokud se smíříme s tím, že uhlík je díky svým speciálním vlastnostem (které samy o sobě mohou být docela dobře vyladěné pro život, vezmeme-li do úvahy, jak málo by bylo možno pohnout třeba hmotností elektronu, aby jeho vlastnosti zůstaly stejné, nebo poměru protonu k neutronu, aby vůbec ve hvězdách uhlík vznikl) opravdu nejlepším kandidátem pro vznik života, můžeme se zaměřit na skupenství, v jakém by typicky měl život vznikat. Vybudovat život pouze v plynné fázi je velmi těžko představitelné, protože jelikož plynných termodynamických fází nemůže existovat vedle sebe více a nemáme tak ekvivalent hydrofilního-hydrofóbního chování, které skrz lipidové dvojvrstvy odděluje biogenní látky od okolí. Zkrátka by bylo pro takový život příliš těžké bojovat s difuzí a s výkyvy hustoty. Kapalné skupenství pomáhá udržovat stabilní koncentrace látek a zároveň umožňuje, narozdíl od pevných látek, jejich rychlý transport mezi jednotlivými reakčními místy. Proto jsme v další fázi přednášky hledali možná vhodná rozpouštědla, na kterých by se dal uhlíkatý život postavit. (Podle [1].)

NH₃ - menší povrchové napětí než voda (ne tak dobře koncentruje molekuly, snáz se vypařuje), rozklad N-H vazby nechrání před UV zářením
HCN, H₂S, CH₃OH - problematické z různých podobných důvodů.
HF - velmi podobná vodě co do vlastností, ale fluoru je ve vesmíru 1000x méně než C,N,O
N₂H₄ - vhodný, ale reaguje prudce s kyslíkem, prostředí bez něj těžko je těžko představitelné.
CH₄, C₂H₆ - jsou možné a podporují i vznik aminokyselin, jen narozdíl od předchozích jsou nepolární, takže by všechny membrány musely být postaveny naopak. To je možné, ale nemáme s tím příliš zkušeností.

Přesto najít něco schopné nahradit vodu nemusí být snadné, protože má mnoho anomálií:

Vytváří vodíkové můstky - brání tak lépe výkyvům teploty (vyšší tepelná kapacita) a je tekutá za daleko většího rozmezí teplot a tlaků, než by měla tak malá molekula být.
Má velký dipólový moment, je tedy značně polární a vytváří možnost hydrofilního/hydrofobního chování.
Vytváří iontové formy (H₃O⁺, ...) zvyšující rozpustnost.
Má přes 40 anomálií, hodně z nich je důležitých pro život. (Např. maximum hustoty v kapalné fázi, vytváření pravidelných struktur kolem organických molekul skrz vodíkové můstky, apod.)

Jaké jsou možné způsoby zisku energie?
Z naší biosféry známe mnoho způsobů příjmu energie. Především fototrofii (zisk ze světla fotosyntézou) a chemotrofii (zisk rozkladem látek získaných z jiných živočichů). Lze si však představit i mnoho jiných a mnohdy je překvapivé, že je náš život nerealizuje. Fototrofie je např. možná i na nižších vlnových délkách - od infračervené až k mikrovlnám. Jen by bylo potřeba stavět daleko větší "antény", takže se taková investice nevyplácí. Zisk z UV záření příliš pravděpodobný není, protože UV rozkládá téměř všechny organické biomolekuly. Pak je ale ještě mnoho dalších možností - např. kinetotrofie, kdy živočich získává energii z okolo proudící vody, např. pomocí pohyblivých brv. Další možností je termotrofie - takový živočich by fungoval podobně jako parní stroj. Seděl by u nějakého horkého zřídla, nahřál by se a potom by odešel do chladnější oblasti - tak by vlastně konal Carnotův cyklus. Takový způsob zisku energie by mohl být klíčový např. pro případný život na Europě - Jupiterově měsíci, kde by mohl být díky slapovým silám pod zmrzlým povrchem velký oceán vody - tedy v prostředí, kde žádné světlo není. Podobnou věc by šlo provádět i na úkor osmotického nebo iontového gradientu, pokud by se v daném prostředí vyskytoval. (Gradient koncentrace soli v našem moři ale dostatečný není.) Naproti tomu gravotrofii nebo magnetotrofii (zisk energie z gravitačního nebo magnetického pole) můžeme v podstatě vyloučit - jsou příliš neefektivní, snad jen kromě jinak letálního okolí neutronových hvězd.

Obyvatelné zóny kolem hvězd
Poměrně hodně článků se věnuje tomu, jaká oblast kolem hvězd jakého typu je vhodná pro terrestické planety hostící život. (Např. [2], odkud jsem si i půjčil některé obrázky.) Především se většinou předpokládá život založený na uhlíku a vodě. Příliš hmotné hvězdy se předem vyloučí, protože jejich životnost je jen stovky milionů let, což nestačí pro stabilizaci podmínek na planetách. Obyvatelná zóna se pak počítá podle výkonu hvězdy se zohledněním atmosféry a jejího spektra co do skleníkového efektu. Vnitřní okraj je dán bodem, kdy se odpaří dost vody na vyvolání sebepodporujícího skleníkového efektu, při kterém se vypaří oceán. (Kupodivu nejsme této hranici zase tak moc daleko - jen pět procent vzdálenosti.) Za horní hranici se často bere teplota, kdy už ani skleníkový efekt neudrží oxid uhličitý před zmrznutím - pak totiž již nebude žádný skleníkový plyn, který by se mohl hromadit ze sopečné činnosti který by stav zmrzlosti mohl zvrátit. Na grafu je takto vyhraničený pás značen písmeny HZ (habitable zone). Také se musíme dívat do průniku s oblastí, kde se typicky tvoří zemi-podobné kamenné planety. Z toho, že menší hvězdy žijí déle a je jich více by se dalo soudit, že by měly být pro život nejvhodnější. To je asi pravda, ale jen do jisté míry. Jakmile je hvězda příliš malá, září tak slabě, že planety musíme přistrčit velmi blízko k ní. Pak ale daleko rychleji vznikne vázaná rotace (čára "tidal lock radius" a oblast vlevo od ní na grafu), takže planeta na tom bude jako náš Měsíc vzhledem k Zemi - bude hledět neustále jednou stranou ke hvězdě a opačnou od ní. Takový stav je pro život udržitelný jen asi s 1,5 krát hustší atmosférou, která by teplo rozváděla. (Když ponecháme otázky, jaké vichry by asi na takové planetě panovaly.) Protože je však taková planeta příliš blízko atmosféry hvězdy, je docela pravděpodobné, že by byla atmosféra odfouknuta - červení trpaslíci tedy nejsou asi tím nejlepším kandidátem.

Oblast obyvatelné zóny, zóny tvorby planet a zóny vázané rotace planet podle vzdálenosti od hvězdy a hmotnosti hvězdy.

Rozsah obyvatelné zóny hvězd daných spektrálních typů podle věku hvězdy. U jasných hvězd je obyvatelná zóna utnuta přeměnou v červeného obra (u Slunce už v grafu není). Zóna se posouvá, protože hvězda se stále ohřívá,

Měsíce velkých planet
Zajímavou myšlenkou je rovněž zkoumat měsíce velkých planet Jupiterova typu v obyvatelné zóně, jako byla třeba Pandora ve známém Avatarovi. Pak odpadá starost o to, zda se tvoří terrestické planety ve vhodné vzdálenosti. Ačkoliv se plynní obři v obyvatelné zóně typicky nezrodí (sluneční vítr je tak silný, že vodík a helium odfoukne), jak se ukazuje z modelů i pozorování exoplanet, plynní obři mohou do vnitřního pásu doputovat a nevypařit se. Neměli bychom však zapomínat, že plynní obři mají velmi silné magnetické pole, které je provázeno silnou částicovou radiací (plazma zamrzlé v magnetickém poli) - měsíc by tak musel být geologicky aktivní a mít silné magnetické pole, které by jej chránilo. To by neměl být problém - i u těles mnohem menších než Země (vyžadována je alespoň pětina hmoty, kvůli udržení atmosféry) slapové síly centrální planety geologickou aktivitu zaručují. (Jen tak bokem - ta je údajně důležitá i proto, aby se všechny stavební prvky neusadily v usazeninách, čímž by byly vyňaty z koloběhu života - geologická aktivita je vrací skrz sopečnou činnost zpět do oběhu.)

Druhý problém spočívá v tom, že obří planety velmi často zachycují asteroidy a komety. Takže zatímco nás před nimi vhodně postavený Jupiter vlastně chrání, případná Pandora by čelila daleko větší frekvenci srážek. Otázka je, jestli za takovýchto podmínek mohou složitější živočichové úspěšně fungovat.

Obyvatelná zóna galaxií
Obdobně, jako se dá stanovit obyvatelná zóna kolem hvězd, dá se na základě jistých úvah odhadnout, které oblasti v galaxii budou pro vznik života vhodné. Tyto úvahy, čerpané z článku [3], vychází ze dvou poměrně dobře modelovatelných parametrů - v četnosti supernov, které život cca do 30 světelných let spolehlivě hubí, a tzv. metalicity, tedy zastoupení prvků těžších než helium, ze kterých je život postaven. (Název metalicita plyne z toho, že pro astrofyziky je cokoliv těžšího než helium "kov".) Zatímco ve středu spirální galaxie je mnoho těžkých hvězd, které okolí obohacují o stavební prvky, supernovy jsou zde tak časté, že každých pár set milionů let je život smeten. Na okraji galaxie se zase předpovídá tak nízká metalicita, že není z čeho stavět. (Některá novější pzorování však údajně i v těchto oblastech zjistila formaldehyd v molekulárních mračnech, takže i zde stavební prvky jsou - to se přičítá pohlcení menších galaxií tou naší, takže graf je třeba brát trochu s rezervou.) Autoři mj. také vyřazují oblast s příliš vysokou metalicitou, protože pak se očekává, že se budou tvořit místo terrestických planet především plynní obři, jejichž satelity pro vznik života autoři neuvažují. A v neposlední řadě předpokládají jakési rozdělení pravděpodobnosti, že se život za jistou dobu stihne vyvinout, čímž se diskvalifikují příliš mladé hvězdy - takový parametr je ovšem vysloveně spekulativní - horní oblast grafu tedy úplně vyřadit nelze.

Obyvatelná zóna spirálních galaxií - pokud by naše galaxie nekanibalizovala galaxie menší, bude její okraj příliš chudý na prvky těžší než helium, aby mohl život vzniknout (světle modrá oblast). Poblíž centra naproti tomu zase bude příliš mnoho supernov (červená oblast), nebo bude těžkých prvků tolik, ze se místo terrestických planet utvoří jen plynní obři (tmavě modrá oblast). Vodorovná osa udává vzdálenost od jádra galaxie, svislá čas, kdy se hvězda tvořila.

Chemie počátků života
Dalším velkým tématem je, kde se vlastně vzaly organické látky, ze kterých původní život pravděpodobně vznikl. Zde se již nebudu pouštět do takových detailů - nejlépe, když si na přednášku z astrobiologie zajdete sami. Velice zajímavé ovšem je např. to, že už v samotných mračnech mezihvězdného plynu se najde hodně složitých organických látek. Hustota v těchto mračnech je taková, že zde se zde dvě vybrané molekuly srazí asi jednou za jeden a půl roku, takže téměř všechny reakce musí probíhat buď díky záchytu molekul na prachových zrnkách, kde se koncentrují do poměrně složité vrstevnaté struktury, nebo v rázových vlnách, kde je hustota vyšší. Ukazuje se, že kromě bohatého spektra jednodušších látek (HCN, formaldehyd, ..) se v pračnech nachází fullereny a především polycyklické aromatické uhlovodíky, které mají poměrně slušný potenciál představovat základ organické chemie v rodících se planetách. V drobném množství se vyskytují i aminokyseliny. Většina těchto látek je však, jakmile se hvězda zažehne, rozbita UV zářením - dokonce ani v kometárním materiálu se ve Sluneční soustavě již polycyklické aromatické uhlovodíky nenašly.

Aminokyseliny a další stavební bloky však není, jak se ukazuje, žádný problém v redukční atmosféře připravit abioticky (viz Millerův experiment), dokonce ani báze nukleových kyselin (Oró experiment). Jediný problém je s výrobou a především udržením cukrů, které se velmi rychle rozpadají. Pokud se soudí, že na zrodu života musela být molekula, která byla schopná se replikovat, čímž by se nastartoval mechanismus evoluce, a pokud by hlavním kandidátem byla molekula založená na nukleových kyselinách (nejspíše forma RNA, protože DNA nemá řadu jejích funkcí, z čehož se dá soudit, že se vyvinula později účelově), hledá se její obdoba, která by neobsahovala ribosu, která byla v raných podmínkách patrně velmi vzácná. Skutečně se ukazuje, že existují peptidové nukleové kyseliny (PNA), které fungují a ribosu k tomu nepotřebují - ty mohly být prekurzorem života založeného na RNA. Další variantu do hry vnesl článek D. H. Lee et al., Nature 382 (1996) 525–528. Bylo zjištěno, že za jistých podmínek existují proteiny, které se samy dokáží replikovat, není tedy nutné, aby tuto funkci hned od začátku zastávaly nukleové kyseliny. Která z variant se v přírodě nakonec realizovala se zatím neví.

Myslím, že biochemici a biofyzici by ocenili daleko víc chemických detailů, které se na přednášce rozebírají. (Alternativní báze jiných forem nukleových kyselin, alternativa k proteinům jako takovým, kde není vše vázáno striktně přes peptidickou vazbu, ale přesto je potřeba střídání kladných a záporných bloků kvůli foldingu (př. amidy, sulfoamidy, fosfoamidy, ale ne estery), apod. [4]) Já se však na ně dívám spíš jako na obrázky. Rozhodně přednášku doporučuji všem, kteří nejdou ve fyzice jen po aplikacích a rádi se zamýšlí i nad možnými jinými způsoby fungování světa, nebo jeho fungování v dobách, ze kterých nemáme příliš mnoho informací k bádání.

Shrnutí zdrojů, které by mohly stát za pozornost:

Počet kvantových stavů ve spektru molekul

2010-03-19T21:56:00.019+01:00

Zdá se, že poslední dobou jsem přešel už jen ke střídání článků fyzikálních a fantaskních, takže abych neporušil tradici, zde přichází serioznější zamyšlení fyzikální. Dnes jsem se již podruhé setkal s tvrzením, že Morseho potenciál, používaný často pro popis vibrací molekul, „má tu chybu“, že předpovídá pouze konečné množství diskrétních kvantových stavů ve svém spektru. Nikdo mi však zatím nedal odpověď na otázku, proč se vlastně v přírodě očekává, že by molekuly ve svém energetickém spektru měly mít nekonečno diskrétních stavů. Tedy kromě faktu, že to platí pro atom vodíku, který se umí vyřešit přesně a jehož energie poslušně sledují úměru 1/n². U Morseho potenciálu nebo konečné potenciálové jámy je zase počet stavů konečný.

Vzpomněl jsem si na jeden trik, který se používá v běžném odvození Chandrasekharovy meze u bílých trpaslíků a plyne ze statistické fyziky. Jak všichni víme, princip neurčitosti zaručuje, že součin neurčitosti v poloze a hybnosti je vždy větší nebo roven určité mezi. To ale také mj. znamená, že kvantová částice zaujímá na fázovém prostoru jistý minimální objem - jakmile ji lokalizujeme v polohách, rozplizne se v hybnostech a naopak. A teď si stačí uvědomit, že každý potenciál vytyčuje nějaký objem fázového prostoru, kde je energie nižší než v nekonečnu. Například u konečné potenciálové jámy je to její šířka krát hybnost, kterou by částice potřebovala k překonání okraje. Počet „minimálních krychliček“ je tedy nutně konečný a tedy i počet stavů v jejím energetickém spektru. To samé platí, jak jsem si v hodině spočítal, i pro Morseho potenciál. Pro Coulombův potenciál je naopak takový fázový objem nekonečný , což odpovídá řešení atomu vodíku. Pro potenciály klesající s vyšší mocninou bude fázový objem kolem nekonečna konečný a v počátku nekonečný.

A jak je to tedy s molekulami? Mohlo by se zdát, že vyřešit mnohorozměrný problém pro všechny částice bude problém, ve skutečnosti ale není. Fázový objem totiž může být nekonečný jen když jsou si některé částice hodně blízko (mají velké hybnosti), nebo když jsou hodně daleko (mají velké polohy). Když jsou elektrony blízko jádrům, řídí se vždy Coulombickým potenciálem, což znamená, že nekonečno stavů se sem neschová. (Mj. proto, že žijeme v trojrozměrném světě, např. ve vícerozměrném světě je fázový objem v blízkosti jader nekonečný, takže elektrony padají na jádra.) Proto se situace rozhodne jenom v nekonečnu. Pokud se molekula dá rozdělit na neutrální podsystémy tak, že energie takovéto disociace je nižší než kdybychom utrhli libovolný nabitý kus a poslali jej do nekonečna, dostali jsme se do kontinua při konečném fázovém objemu a počet diskrétních kvantových stavů ve spektru bude tedy konečný. A naopak, pokud se energie začne blížit libovolné disociační energii, která postačuje k odtržení nabitého podsystému, uvidíme nekonečné diskrétní spektrum. Molekula vodíku by tak měla mít spektrum konečné a Morseho potenciál by měl být podezříván neprávem.

⚛⚛⚛

Scifi a cestování časem

2010-02-07T00:39:00.031+01:00

Jedno z témat velice bohatých na přemýšlení, je cestování v čase. Po přečtení několika inspirujících sci-fi románů jsem nad jeho rozebíráním strávil nejeden večer. Fyzikálních článků se o něm příliš nevyskytuje - zajímavosti kolem něj se totiž asi poměrně těžko formalizují, nebo jsou příliš spekulativní, aby se mohly objevit v seriózní vědě. Chtěl bych předeslat, že i když, jako fyzik, konstruuji argumenty založené na fyzice a možná vědecky se tvářící, všechno jsou to jenom matematicky nepodložené úvahy - ve skutečnosti si nemyslím, že by cestování časem bylo pravděpodobné. Pokud jste si toho vědomi, pak se jistě nenecháte zmást a můžete kriticky číst dál.

Na Wikipédii se dočtete, že modelů cestování v čase, které se objevují ve sci-fi je poměrně hodně. Fyzikálně relevantní mi však připadnou jen dva - deterministický (ať už jde o jakoukoliv klasickou teorii, která jej popisuje), nebo kvantový. Ve většině článku se budu věnovat tomu prvnímu, protože je poměrně jednoduché ho rozmyslet, zatímco tvrdit něco o tom druhém si troufám jenom velice opatrně.

Deterministický model
Model cestování časem, který odpovídá klasickým teoriím (obecné relativitě, .. ) je založený na tom, že existuje jen jedna historie daná počáteční podmínkou rovnic teorie, je pevná a nezměnitelná. (Také Novikovův princip selfkonzistence.) Tento model používá třeba známý film Terryho Gilliama „12 Opic“ nebo velice inspirující povídka Grega Egana, „Deník sta světelných let“ ilustrující spoustu zvláštních vlastností takového světa.

Obecně vžitá představa, že cestou do minulosti minulost změníme tady neplatí. Nezměníme ji. Ani o chlup. Představte si třeba, že byste měli stroj času a rozhodli se, že strašně zbohatnete, protože stokorunu, kterou máte v kapse, pošlete do minulosti, kde si ji vyzvednete. Budete ji tedy mít dvakrát - jednou v minulosti v kapse a pak podruhé vypadenou ze stroje času. Obecně vžitá představa napovídá, že čekáte od rána ve svém pokoji a v 12:00 pošlete stovku do času 10:00. To vyvolá druhou, změněnou historii, kdy jste během svého čekání dostali v 10:00 stovku z budoucnosti a můžete teď obě stovky utratit. (Nebo ještě několikrát poslat časem a pak utratit - ona je to technicky pořád ta samá.) Ve skutečnosti to tak ale není. Není žádná „změněná historie“, je jenom jedna historie, takže pokud jste odhodlaní svůj fígl provést a čekáte ve svém pokoji, v 10:00 dostanete stovku z budoucnosti, žádný první průchod se nekoná. Navíc už musíte tu stovku, kterou máte v kapse, poslat sobě do minulosti, takže s ní vlastně stejně nemůžete zaplatit. (Za předpokladu, že víte, že stovku jste si poslali sami.) Celé si to můžete představit, jako byste do grafu, jehož jeden směr je čas a druhý prostor, nakreslili celou dráhu stovky. Může se proplétat tam a zpátky v čase, ale nikdy se nestane nic skutečně paradoxního - protože by to nešlo nakreslit.

Na tomto modelu je zajímavé, že vaše volba poslat si stovku je vlastně pouze iluzorní - pokud máte pravdivou informaci z budoucnosti o tom, že jste něco udělali, nelze to změnit. To řeší i známý babiččin paradox - pokud se v minulosti pokusíte zabít svého předka, jednoduše selžete. Něco vám v tom zabrání, protože vy jste přece naživu.

Co na to entropie?
Člověk nemusí zase až tak moc přemýšlet, aby mu došlo, že v deterministickém modelu světa není něco v pořádku s entropií. Čím víc se budete snažit změnit věci, které zjevně změnit nelze, tím divnější náhody se budou dít, aby vám v tom zabránily. Je zjevné, že s entropií v přítomnosti stroje času není něco v pořádku - je podezřele nízká. Pokud jsem potkal sám sebe z budoucnosti, můžu se klidně pouštět do extrémně nebezpečných přestřelek a soupeři mne vždy zázračně minou. Stroj času nastavuje v budoucnosti jakousi podmínku a entropie se může zvyšovat jen v rámci jejího splnění - proto je obecně nižší. Dalo by se i argumentovat, že vyrobit stroj času se zkrátka nepovede, právě proto, že by to vyžadovalo příliš velké snížení entropie.

Částice s uzavřenou světočárou (ČsUS)
Pak je tu ještě jeden zajímavý úhel pohledu na otázku entropie. Počáteční podmínka v minulosti předepisuje pohyb všech částic, které se v minulosti vyskytovaly, nebo vzniknou později jejich interakcí. Strojem času ale mohou procházet takzvané částice s uzavřenou světočárou. Ty chodí časem tam a zpátky a vždy se vrátí do svého původního stavu. Na papíře znázorňujícím jednoznačnou historii by uzavírali smyčku, proto s uzavřenou světočárou. Pokud není jejich výskyt počáteční podmínkou rovnic omezen, existuje mnoho možných rozložení částic s uzavřenou světočárou. Příroda nutně vybere takové rozložení, které je slučitelné s původní počáteční podmínkou (pokud takové existuje). Potom je možné, že právě ony způsobí pokles entropie. Vypadá to sice jako neskutečná náhoda, ale ve skutečnosti je to jediné rozmístění, které mohou zaujmout. Ovšem pokud není rozmístění částic s uzavřenou světočárou jednoznačné z rovnic, pak padá původní teze, že existuje jen jedna historie - mohl bych přecházet v rámci třídy selfkonzistentních historií daných možným uspořádáním ČsUS.

Klasickým případem takového objektu ve velkém měřítku by byl prsten, který nikdo nevyrobil. Dostal jsem ho od své babičky, pak jsem se vrátil do časů jejího mládí a tam jsem jí ho dal. Tento prsten nikdy nevznikl. Vypadá to jako paradox, ale ve skutečnosti je to jenom podivná vlastnost světa - není na tom nic, co by ve skutečnosti s něčím nesedělo. Trochu paradoxní je, že prsten nesmí stárnout. V odpovídajících bodech časové smyčky musí být přesně takový, jaký má být - čili jeho entropie musí někde klesat. D. I. Novikov na tento paradox údajně odpověděl tak, že není důvod, aby potřebnou energii a snížení entropie nedodal okolní svět. Koneckonců entropie je stejně zmanipulovaná přítomností stroje času. (Mj. cestovatel časem v podobné smyčce by se nejen nikdy nenarodil, ale zároveň by musel v určitých místech mládnout a zapomínat, což skutečně vypadá hodně podezřele, přesto to není nic jiného, než co jsme řekli, že se děje zmíněnému prstenu.)

Paradox teorie, kterou nikdo nevymyslel
Dálší známý paradox, který ve skutečnosti není paradoxem, je případ teorie, kterou nikdo nevymyslel. Představte si, že vezmu učebnici obecné relativity a půjdu ji do minulosti ukázat Einsteinovi. Ten ji jen opíše z učebnice. Já jsem ji ale taky nevymyslel, protože jsem se ji zprostředkovaně naučil od něj. Teorii tak nevymyslel nikdo. Ve skutečnosti ale o paradox nejde, je to jen neobvyklé chování světa - nic s ničím ve sporu nakonec není.

Zajímavý vhled mi nedávno poskytl Majk při jedné zajímavé diskusi - že totiž pokud máme svět, kde se cestuje časem jak píšeme, tak se podobné teorie budou vyskytovat kolem míst, kde by někdo skutečně byl schopný je vymyslet. Ona ta informace totiž nevniká náhodně, jen proto, že může, ale jako reakce na podobu okolního světa. K pochopení toho, proč by tvrzení mělo platit, je užitečné si představit opět iterativní pohled na cestování časem. Kdybych byl reportér, který má za úkol natočit bitvu u Waterloo, v první iteraci se vrátím časem a natočím ji. Pak se ale vrátím časem ne zpátky do přítomnosti, ale do doby, než jsem na cestu vyrazil a dám si hotové záběry, abych si ušetřil práci. V druhé iteraci dostanu hotové záběry, které jsem nikdy nemusel točit a půjdu je ukázat zaměstnavateli. Ve skutečnosti samozřejmě žádné iterace nejsou - existuje jen jedna historie, která plyne z rovnic - dejme tomu že ta, kde dostanu záběry zadarmo. Ale zadarmo je dostanu právě proto, že jsem je „mohl“ snadno i natočit. Podobně se Shakespearovy díla objeví samy od sebe pouze pokud je Shakespeare mohl stejně dobře i napsat.

Zločinci, které nikdo nehlídá
Úžasným vhledem, tentokrát Grega Egana z výše zmiňované povídky je, že v deterministickém modelu, kde si posíláme informace o budoucnosti do minulosti, poklesne kriminalita, aniž by skutečně existovalo nějaké komando, které by pravidelně jezdilo zločiny řešit. Pokud by totiž zločinec zločin spáchal, policie „by se byla“ varovala včetně detailů a na daném místě čekala s potřebnou silou, aby zločinu zabránila. Pokud by ale zločinec měl možnost a věděl, že bude zatčen, „byl by“ se varoval, ať zločin neprovádí (pokud třeba nejednal v afektu, apod. - těchto zločinů se to netýká) a tedy by vůbec nebylo třeba žádného zásahu policie. Nakonec by se tedy o vykrádačku bank pokoušeli jen ti zločinci, ketří jsou tak dobří, že zvládnou akci provést i přes nastoupenou policii - a těch je jistě málo. Podobné závěry by se daly udělat i o ekonomice nebo vládnutí obecně .. pokud bychom si ovšem z budoucnosti nelhali nebo nebyli v ní donuceni si lhát ..

Strojočasové počítače
V souvislosti s předešlými mne napadla myšlenka strojočasového „počítače“. Co kdybych měl (algoritmizovatelný) problém, který spočívá v prozkoušení všech možností? Třeba chci porazit soupeře bez stroje času v šachu. Očísluju si možné partie a když na konci prohraju, pošlu si průběh partie, která se hrála. Pokud dostanu na začátku průběh partie, zahraju partii s číslem o jedna vyšším. Očekávám, že pokud můžu vyhrát, vyhraju a pokud vyhrát nemůžu, dostanu partii s nejvyšším číslem a zahraju ji. Tím vyřeším mnoho problémů v konstatním čase na jeden průchod.

Pokud bych měl soupeře, který také vlastní stroj času a naše algoritmy byly ve sporu (třeba když se snaží každý z nich vyhrát kámen, nůžky, papír), pak se něco musí pokazit. Takže nejspíš proces selže na nejchybovější součástce (lépe, aby to nebyl člověk ). Myslím, že podobné téma by bylo slušným základem sci-fi povídky, ale nemám fantazii, abych vymyslel scénář .

Kvantový model
Zatímco deterministický model je na analýzu zdánlivě jednoduchý, u kvantového si příliš jistý nejsem. Zatímco totiž běžné fyzikální předpovědi nezáleží na tom, jakou interpretaci kvantové mechaniky používám, protože předpovědi jsou vždy stejné, s cestováním v čase to tak není, protože to nám umožňuje provádět kvalitativně nové experimenty. Například je možné, že kvantová mechanika nám sice neumožňuje ze znalosti aktuálního stavu světa předpovídat nic jiného než pravděpodobnosti jevů, ale jevy jsou přesto determinovány. Stroj času by takovou skutečnost odhalil, protože informace o budoucích měřeních jím poslané by se plnily.

Známá Everettova interpretace mnoha světů je jeden z modelů, který umožňuje vysvětlit některé postuláty QM z jiných a nevyžaduje přítomnosti vnějších pozorovatelů. V takovém modelu je stav vesmíru dán jedním vlnovým vektorem. Jeho vývoj by se dal popsat jako interference mnoha klasických historií, neboli mnoha světů. Jakmile se tyto jednotlivé klasické historie liší o informaci uložené v makroskopických objektech - takové informace totiž pak navzájem již pravděpodobně neinterferují - jsou tyto světy oddělené a nelze mezi nimi z našeho pohledu přecházet. Svět se tedy při každé kvantové volbě dělí na různě pravděpodobně zastoupené varianty, které se všechny realizují.

V takovém modelu by pravděpodobně bylo to, co v minulosti ze stroje času vylézá, interferencí možných budoucností a historie by se změnit dala, protože jsme dostali informaci z možné budoucnosti. (Tento scénář používá třeba seriál FlashForward.) Co by ale ve skutečnosti ze stroje času vyběhlo si netroufám bez pořádné matematiky ani hádat - je totiž možné, že budoucí ústí by rozbíhání možných světů významně ovlivnilo právě proto, že budoucí události mohou být měřené v minulosti.

Perličky z nerovnovážné statistické termodynamiky

2009-11-20T16:11:00.007+01:00

S přechodem na biofyziku jsem se trochu bál toho, že veškeré přednášky budou vesměs experimentálního rázu. O to více jsem byl překvapen, když jsem zjistil, že jsem se dostal k hodně přednáškám teoretickým, a to rozhodně velmi zajímavým. Asi nejvíce překvapující a novou pro mne je nerovnovážná statistická fyzika a termodynamika přednášená Dr. Šandou, na kterou tímto příspěvkem vlastně dělám reklamu.

Člověk se zde dozví o poměrně exotických objektech, jako je Wignerův operátor hustoty, který představuje nejbližší kvantovou obdobu statistického rozdělení pravděpodobnosti obsazení stavu na fázovém prostoru a má tu pozoruhodnou vlastnost, že na hodně malých oblastech FP může být i záporný. To je pro pravděpodobnost trochu divné .. ale vše se spraví jakmile integrujeme dost velkou oblast, aby byl uspokojen princip neurčitosti a pravděpodobnosti jsou pak vždy kladné. To vše v rámci probírané látky. Člověk se však dozví i spoustu zajímavostí navíc, které jsou od Dr. Šandy bonusem. U některých mi to nedá a musím se o nich rozepsat konkrétně, dokud je mám v čerstvé paměti. (V důsledku asi budu někde fakticky nepřesný, ale snad přimhouříte oko.)

Jedna z hodně zajímavých oblastí je popis Brownova pohybu a difuze pomocí stochastických sil. Takové síly působí náhodně a my známe jen jejich korelační funkce (<F(t)F(0)> a vyšší - zkrátka určují, že pokud částici náhodná síla kopla teď, v následujících chvílích bude mít trochu jinou pravděpodobnost kopnutí, než kdybychom o prvním kopnutí nevěděli). Všechno se přitom zjednoduší, jsou-li korelační funkce δ-funkce. Pokud pak chceme spočítat, jak se pod vlivem δ-korelované stochastické síly bude částice pohybovat na dlouhou vzdálenost, potřebujeme z jistých technických důvodů počítat integrály, kde tato δ-funkce sedí právě na hranici integrační oblasti. A nyní ta zajímavost: Zatímco pro fyzika je přirozené započítat půlku z δ-funkce (což odpovídá představě, že je to vlastně jen velmi lokalizovaná funkce, kterou integrační oblast rozpůlí), matematici používají v podstatě stejný popis pro analýzu fluktuací cen akcií na finančních trzích. Ve svém popisu do integrálu berou δ-funkce celou. (Itō-Stratonovichovo dilema.) Rozdíl v ceny na finančním trhu a brownovské částice je tedy v podstatě v tomto detailu. A zajímavá je jeho interpretace: Zahrnutí půlky δ-funkce odpovídá tomu, že část informace o korelaci je v minulosti a část v budoucnosti. Zkrátka pokud na částici teď působila síla, je jakási šance, že ještě chvíli působit bude. Oproti tomu zahrnutí celé δ-funkce vlastně znamená, že všechna informace je v minulosti a my do budoucna o fluktuaci nevíme nic. To je pro finanční trhy velice přirozené, protože pokud by někdo tuto informaci měl, skoupil by akcie o kterých ví, že porostou a tím by vnesl fluktuaci ceny, která původní informaci o budoucím vývoji ceny vymaže.

Wikipedie, ilustrativní obrázek.

Dalším velmi přínosným a pro mne novým vhledem byla statistika Léviho stabilních distribucí, která má hluboký dopad na statistiku obecně, i když si to mnoho lidí vůbec neuvědomuje. Obecně se totiž soudí, že pokud mám rozdělení mnoha náhodných vlivů, výsledné rozdělení odpovídá Gaussově funkci. To nám říká tzv. centrální limitní věta. Ta ovšem platí pouze v případech, že zkoumaná distribuční funkce má konečný druhý moment (rozptyl). Jako hezký fyzikální vhled, proč tomu tak je, beru fakt, že Gaussova funkce je funkcí, která maximalizuje entropii při fixní střední hodnotě a rozptylu. Jakmile je rozptyl nekonečný, maximalizace entropie selhává a není důvod, aby výsledné rozdělení bylo gaussovské. Pak nastupují tzv. Léviho stabilní distribuce, což jsou funkce které se pouze škálují, pokud sčítám výsledky měření podle více takovýchto rozdělení. (Tj. jen se škálují při konvoluci..) Jejich třída je obecně širší - má čtyři parametry, které vesměs charakterizují střední hodnotu (je-li konečná), asymetrii a parametry algebraických ocasů. (Rozdělení s divergujícím rozptylem typicky má algebraický ocas klesající pomaleji než 1/x^3, který divergenci způsobuje.)

Co je zajímavé je, že pokud je limitní rozdělení Léviho distribuce, neplatí základní věci ze statistiky, na které jsme zvyklí. Např. pokud odhadujeme průměr rozdělení z měřených dat, typicky spočítáme průměr hodnot. Pokud prokládáme daty závislost, používáme metodu nejmenších čtverců. (Obojí se odvodí z principu maximální pravděpodobnosti - zkoumáme, za jaké podmínky máme největší pravděpodobnost na správný fit, a pokud je rozdělení chyb gaussovské, vyjdou nám tato pravidla.) Pokud není, pak ani jedna z těchto metod nefunguje! Hodnoty, které pravděpodobně jsou z algebraických ocasů rozdělení musíme vážit nějakou funkcí, která je typicky charakteristická pro danou Léviho distribuci a vše se komplikuje.

Zajímavé také je, že k tomuto patologickému chování dochází poměrně často. Pro fyziky třeba jakékoliv statistiky řídící se Lorentzovým rozdělením. Ale třeba také výpočty kolem 6 degrees of sepatation, rozdělení velikosti měst (Zipfovo rozdělení), nebo rozdělení majetku napříč populací (Paretovo rozdělení). Z toho, jak podotkl Dr. Šanda, plyne např. to, že průměrná mzda může být nejenom nevypovídající (protože běžného člověka spíš zajímá medián), ale navíc i zavádějícím způsobem vysoká oproti skutečnosti, protože při jejím výpočtu se dost možná vychází z mylného předpokladu gaussovského rozdělení chyb.

Musím říci, že zajímavých věcí podobného rázu je na přednášce mnoho a mně nezbývá, než se těšit na další.

Srážka rotujících n-rozměrných koulí a termodynamika

2009-08-13T18:38:00.023+02:00

Srážka rotujících n-rozměrných koulí je něco, co mi vždycky vrtalo hlavou. Ačkoliv to někteří z vás možná budou považovat za triviální problém, našel jsem v něm celkem netriviální aspekty, o které se v tomto příspěvku podělím. Jaké je přesně zadání?

Mějme soubor dokonale tuhých koulí o daných poloměrech. Koule mohou také obecně rotovat. Sráží se tak, že se zachovává energie, hybnost i moment hybnosti. Najděme takový přepis působících sil, který bude při dostatečně velkém souboru takových koulí imitovat „správnou“ termodynamiku.

Co myslím tou „správnou“ termodynamikou? V tom se právě ukáže být háček, ale původně jsem měl namysli splnění ekvipartičního principu, který se většinou považuje za hodně obecný a v klasické mechanice všeobecně platný.

Dynamika
Jak srážet nerotující koule je poměrně jednoduché.

(1) Převedeme do těžišťové soustavy.
(2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
(3) U složky na střed otočíme znaménko.
(4) Převedeme do původní soustavy.

Takováto simulace automaticky ekvipartiční princip splňuje, i pokud máme různé hmoty koulí. To nás příliš nepřekvapí (i když by mělo..).

Jak je to ale s rotací? Jak ji vlastně reprezentovat? Většinou se k popisu používá (pseudo)vektor úhlové rychlosti. Pro zobecnění do n-rozměrů ale není příliš vhodný - to je vidět už když zkoumáme rotaci dvojrozměrného disku - ten má přece jen jednu úhlovou rychlost, ne dvě, jak bychom od vektoru očekávali! To je dané tím, že vektor úhlové rychlosti není vektor, nýbrž pseudovektor (jako všechny objekty vytvořené vektorovým součinem) - jde o tzv. Hodgeův duál „správně“ invariantního objektu - antisymetrického tenzoru druhého řádu.

To ostatně můžeme ukázat jednoduchou analogií - co je rychlost? Snadno nahlédneme z Taylorova rozvoje funkce polohy s(t), že jde o první derivaci, vektor, který stojí před členem dt:

s(t) = s(0) + v(0) dt + ...

Pokud je rotace daná maticí otočení A(t), která vzniká obecným součinem n vhodně zvolených generátorů rotace kolem jednotlivých os:

,

,

kde v osách jedné roviny jsou vždy na příslušných místech sinus a kosinus a zbytek vypadá jako jednotková matice. Pokud úhly pootočení závisí na čase jako φ(t), ψ(t) a rozvineme vše do Taylorova rozvoje do prvního řádu v dt, rozvité generátory vypadají jako

,

,

Pokud tedy rozvineme A(t) do prvního řádu v čase, můžeme získat jedině to, co bychom získali nějakým součinem rozvitých generátorů G_ij. Všimněme si, že nediagonální členy těchto matic jsou antisymetrické. Tuto vlastnost bude mít do prvního řádu v dt i každý jejich součin (protože na diagonálu se dostanou jen násobky dvou mimodiagonálních elementů, alespoň dt² , které zanedbáme + to chce trochu rozmýšlení). Proto se dá napsat Taylorův rozvoj matice otočení jako:

A(t) = A(0) + ω(0) dt,

kde A(0) je původní pootočení (sem jsme posbírali všechny členy bez dt) a ω(0) je (nutně antisymetrická) matice úhlové rychlosti (sem jsme posbírali všechny členy úměrné dt). To je jen náhled. Analogicky se moment hybnosti nedefinuje v n-rozměrech jako (pseudo)vektor, ale jako tenzor druhého řádu vytvořený jako

L_ij = x_i p_j - x_j p_i.

Tento tvar je podezřele známý z kvantové mechaniky. Důležité je, že při srážce se zachovává. Nyní tedy můžeme shrnout to, co děláme, do bodů:

(1) Převedeme do těžišťové soustavy.
(2) Rozložíme hybnost na směr na střed a na něj kolmý směr.
(3) U složky na střed otočíme znaménko.
(4) Z kolmé složky hybnosti a poloh těžišť spočteme moment hybnosti L_ij = x_i p_j - x_j p_i
(5) Libovolně vyměníme moment hybnosti mezi momenty hybnosti obou míčků (¹l_ij , ²l_ij) a momentem hybnosti L_ijdaném pohybem těžišť v těžišťové soustavě.
(6) Vhodnou inverzí soustavy z bodu 4. spočteme z L_ij novou hybnost kolmou na střed pro každý z míčků (každý z nich dostane moment hybnosti nepřímo úměrný své hmotě, aby se zachovala i hybnost - v tom, jak rozdělovat moment hybnosti mezi ně volnost nemáme, narozdíl od nezávislých rotací míčků).
(7) Přidáme dvojici sil ve směru spojnice středů mířící od nich. A to takové velikosti, aby výsledná energie byla stejná jako před srážkou. (Touto dodatečnou silou se zjevně nezmění moment hybnosti vůbec ničeho.)
(8) Převedeme do původní soustavy.

Termodynamika
Podobnou simulaci jsem si provedl - výměnu v bodě (4) jsem zkusmo specifikoval tak, že momenty hybnosti se mění tak, aby se vyrovnaly. (To mi přišlo přirozené - termodynamická rovnováha systému koneckonců k takovému výsledku vede.) Byl jsem ale silně překvapený, zjevně nebyl splněn ekvipartiční princip - rotační stupně volnosti měly podstatně méně energie než by jim příslušelo! Docela dlouho jsem bádal nad tím, čím je to způsobené (ekvipartiční princip jsem si zafixoval jako obecné pravidlo platné skoro pro všechny systémy). Přišlo mi hodně zajímavé, že kromě jednoduché kinematiky modelu a integrálů pohybu je potřeba splnit další požadavky, abychom dostali „korektní termodynamiku“. Jedniné řešení, které jsem ale vymyslel je takové, že síly budou zvoleny tak, aby energie každé srážky byla po odrazu vybrána podle Boltzmannova rozdělení - což, jak jistě uznáte, je trochu podvod .

Ve skutečnosti jsem se ale mýlil - se spolužáky jsme prošli předpoklady odvození ekvipartičního principu a zjistili jsme, že zdaleka není tak obecný, jak jsem myslel. Obecně se odvozuje ze střední hodnoty derivace Hamiltoniánu násobené obecnou souřadnicí, podle které derivujeme, ale známá formulace „každý stupeň volnosti má stejnou střední energii“ platí jen pro Hamiltoniány kvadratické v potenciálu či hybnosti. (Sem mj. spadá v dobrém přiblížení v podstatě celá chemie (pokud nejsou stupně volnosti kvantově zamrzlé), takže není divu, že je tato formulace často popisována jako tolik obecná.)

Popsaný model navíc z žádného Hamiltoniánu nevychází - je to jenom přepis pro síly. Takže bychom vlastně neměli očekávat nic - je spíš zajímavou otázkou, proč dokud nezahrneme rotace, ekvipartiční princip vůbec platí?

P.S.
Při přemýtání nad tímto problémem a následnou diskusí jsem narazil na zajímavá skripta z kinetiky, zde, zde, zde, zde a zde.

Hraní s červími děrami - elektrostatika/dynamika

2009-07-06T22:02:00.002+02:00

Hračce zvané červí díry jsem zůstal věrný kupodivu dlouho. Poté, co jsme vyřešili „zjevné“ problémy, začal mi vrtat hlavou složitější problém - co se stane s ústími červí díry, pokud k němu přiblížíme náboj? Je zjevné, že by náboj měl skrz ústí působit. Ale jak přesně? Dále je téměř zjevné, že na obou ústích musí být stejný potenciál, kdyby nebyl, dala by se z červí díry těžit energie tak, že budeme chodit kolem dokola v nekonzervativním poli. Rozhodl jsem se sem vypsat své nápady, jak postupně přicházely, abych demonstroval, jak je někdy cesta k poznání krkolomná. (Jenom chci podotknout ke značení, že používám jednotky c = 1, G = 1, 1/4 pi ε₀ = 1, ...)

Naivní potenciál
Úplně první potenciál, který mne napadl, vypadal jako φ = Q/min(r_přímo,r_skrz). Myšlenka vychází z toho, že náboje můžeme k sobě přibližovat po kterékoliv spojnici - proto je nejvýhodnější použít tu nejkratší. Zajímavým jevem, který se objevil v takovém potenciálu, je síla působící na obě ústí, která nezávisí na jejich náboji, ale na náboji objektů, které se přiblížily tak, že ústí mezi nimi představují zkratku. To je zajímavé zejména tím, že by se to jistě týkalo třeba i gravitační síly (ať už Newtonovské, nebo linearizované OTR). Takový potenciál má ale ten problém, že se vůbec neopírá o žádné polní řešení a síla se objevuje okamžitě. Proto jsem posléze tuto myšlenku opustil.

Náboj extremizující akci
Další myšlenka, jak se vyhnout složitým výpočtům, byla, že na obou ústích mohou vznikat náboje. A to tak, že v topologicky ztotožněných bodech jsou vždy opačné (aby se náboj zachoval) - jak se náboj mění se potom určí, jako by šlo o dynamickou proměnnou - z Euler-Lagrageových rovnic. Zde jsem došel k výsledku, že dochází k polarizaci takovým způsobem, že na bližším ústí se generuje stejný náboj, který je větší, je-li náboj blíže. V důsledku je červí díra pro každý bodový náboj neprůchozí, protože energie nutná k jeho přiblížení k (i nebodovému) ústí, je nekonečná. Dokonce být nekonečná musí, protože na ústích není stejný potenciál, takže náboje nesmí procházet skrz kvůli zachování energie.. Navíc tato cesta taky nevypadá příliš Lorentz-invariantně, takže jsem ji také záhy opustil.

Sčítání po všech cestách
Dalším z možných přístupů bylo zkoušet sčítat příspěvky Q/r po všech cestách - kdy jdeme přímo k testujícímu náboji, kdy projdeme jedním ústím a zkrátíme si cestu, kdy projdeme ústím, jdeme zpět a projdeme jím znovu a pak jdeme k testovacímu náboji, atd. plus to samé pro druhé ústí. Pokud jsme na spojnici ústí, dostaneme tak

Tato suma diverguje. To by samo o sobě nevadilo, protože se dá udělat „přirozená“ normalizace - derivace potenciálu je síla, takže posčítáme derivace sčítanců - sumy zde již konvergovat budou, a potom zpět zintegrujeme. Problém je ovšem v něčem jiném - síla do nekonečna nebude ubývat jako 1/r², ale jako 1/r. To už samozřejmě vadí, protože bychom chtěli, aby se existence červí díry nedala rozpoznat na dálku - v takovém potenciálu ovšem neexistuje úniková rychlost, takže červí díra by se dala změřit libovolně daleko (o globálních vlivech, např. na vzdálené galaxie, nemluvě.) Dále si můžeme všimnout, že ani touto cestou nedostaneme stejný potenciál na obou ústích..

Nasadíme kulovou inverzi
Chvíli jsme zkoušeli s Mikulášem jít k problému tak, že si budeme představovat, že jedno ústí je prázdná koule. Pole náboje v ní má normální průběh .. poté vezmeme vnitřek, provedeme na něj kulovou inverzi a invertovaným polem obložíme druhé ústí.. (Předpokládáme, že je kulové a má stejný tvar.) Nejdřív se mi to zdálo jako skvělá myšlenka, protože jednak zaručuje stejný potenciál na obou ústích a jednak je velice podobný předchozímu přístupu, kde jenom dodává tlumící člen úměrný úhlové velikosti ústí, takže řady se najednou chovají hezky. Dokonce jsem si říkal, že by bylo skvělé vyřešit rovnou dynamiku tak, že si představuji, že vnějšek druhého ústí se namapuje dovnitř koule - prvního ústí, akorát se upraví index lomu tak, aby přímkové paprsky chodily po kružnicích přes střed (s možnou transformací času), jak se při kulové inverzi sluší. To by indukovalo transformaci permitivit a dalších veličin s polem spojených, čímž bychom dynamický problém v prostoru s podivnou topologií převedli na problém v normálním prostoru.. (To, že první ústí je zobrazeno samo do sebe, by se dalo vyřešit sečtením vhodné řady, díky linearitě.)

Po chvilce počítání jsem ale zjistil, že takový radiálně symetrický průběh indexu lomu v kouli neexistuje (musel by být různý pro různé vstupující paprsky, což by nešlo zobecnit na elektromagnetickou vlnu). Navíc jsme jaksi přehlédli, že kulová inverze řešení Laplaceovy rovnice nezaručuje, že invertované pole ji bude řešit - je to jen speciální rys řešení, který splňuje rozložení náboje, jde-li o vodivou kouli. (Pokud tomu někdo rozumíte víc a chcete mne opravit, tak mi prosím napište, třeba komentář.) Myšlenka tedy padá.

Topologický tank
Po počátečních neúspěších jsem se rozhodl na to jít trochu pořádněji. Řešíme relativistickou rovnici ◻A^μ = -J^μ. Její řešení můžeme hledat pomocí rozkladu D'Alembertiánu do jeho vlastních hodnot - to v rovném prostoru vypadá přesně jako řešení rovnice výše pomocí Fourierovy transformace, ve skutečnosti jde ale o obecnější přístup. Hledáme Greenovu funkci takovou, že

◻_x G(x|x') = δ(x|x').

Protože vlastní funkce D'Alembertiánu tvoří úplný systém¹, suma jejich skalárních součinů sama se sebou (ovšem v bodech x, x') dá δ(x|x'). Protože po zapůsobení D'Alembertiánu vyskočí na tomto skalárním součinu čtverec vlastní hodnoty, je nutně Greenova funkce suma přes všechny vlastní funkce f_k(x) z výrazu f_k(x)f_k(x')/k². (k je multiindex představující zároveň vlastní hodnoty tak, že k² jsou vlastní hodnoty, nikoliv jejich čtverce¹.)

A co jsou ty vlastní funkce? V Minkowského časoprostoru bez červí díry tvoří jejich úplný systém funkce exp(i k_μ x^μ) a vlastní hodnoty jsou k_μ k^μ. V časoprostoru s červí dírou s ústími posunutými o Δx^μ ale mohou existovat jen takové řešení, že potenciál na obou ústích je stejný. To implikuje podmínku

k_μ Δx^μ = 2

π n, což v praxi znamená, že pokud vyšleme elektromagnetickou vlnu ve směru spojnice ústí, budou povoleny jenom některé její frekvence. Bohužel ovšem v rovnicích nikde nevystupuje naše vzdálenost od ústí (čehož jsem si samozřejmě všimnul až dlouhém řešení těch integrálů

), takže ať jsme libovolně daleko, přítomnost červí díry poznáme tak, že si laserem o určité frekvenci v daném směru neposvítíme. To je globální efekt, který určitě nechceme .. musíme proto připustit, že na ústích se skutečně generuje nějaký proud, čistě přes topologii cesta nevede. Zajímavost: V tomto přístupu integrujeme přes všechny hodnoty

k_μ

, nejen přes světelné vektory

k_μ k^μ

= 0, - tato podmínka vznikne až tím, co je pod integrálem. V tom vidím analogii s virtuálními částicemi, které mohou být off-shell, tedy nesplňovat relativistickou relaci

p μ p μ = m 02

.

Zdroje:

Electromagnetic ﬁeld near cosmic string, P. Krtouš
Huygens’ principle, the free Schrödinger particle and the quantum anti-centrifugal force, M A Cirone , J P Dahl, M Fedorov, D Greenberger and W P Schleich, Appendix

detaily výpočtů (zatím) neuvádím..

Indukovaný čtyřproud
Víme-li tedy, že pro normální chování našich červích děr je potřeba indukovat na nich čtyřproud, je otázkou, jak to udělat. Není těžké ukázat, že když zvolíme libovolné (stejné) rozložení náboje na ústích, Poissonova rovnice půjde s touto okrajovou podmínkou splnit. (Platit to pravděpodobně bude platit i pro dynamiku.) To je ovšem příliš mnoho možností - chtělo by to mít jednoznačné chování, abychom z modelu mohli vyzískat konkrétní předpovědi. Jedna z možností, která mne napadá, je, že se podíváme, jaké pole přichází k prvnímu ústí, a pak se podíváme, jaký čtyřproud na druhém ústí je potřeba vygenerovat, aby byl čtyřpotenciál stejný. Potom od obou ústí odečteme takový čtyřproud, aby jejich součet v každém bodě byl nula. (To opět nezpůsobí rozdíl ve čtyřpotenciálu.)

Takové řešení by mělo fungovat, ale přijde mi trochu ad hoc - zatím si navíc nejsem jistý, jestli je správně Lorentz-invariantní, ani jsem nezkonstruoval žádné analytické řešení pro nebodová ústí. (Tam nejde podmínka splnit stejnosti potenciálů takto splnit.) „Výzkumy“ stále pokračují .. pokud jste se dočetli až sem, tak upřímně, klobouk dolů. Popravdě tenhle článek stejně píši spíš pro sebe, abych si urovnal myšlenky.. takže dobrou noc, můj milý deníčku..

P.S.

Konečnost energie procházejícího náboje ve variantě indukovaný čtyřproud
Rozložení náboje na ústích umím spočítat jen pro speciální případy, naštěstí však stačí k rozhodnutí otázky konečnosti energie. Zajímá nás rozdíl energie pole v případě, že náboj je volný/daleko od ČeD, a kdy je náboj blízko ČeD. Důležitá speciální případ je, je-li ústí ČeD rovina. Pak jednoduše mezi rovinami/ústími pole není - končí v jedné rovině a spojitě navazuje ve druhé. V takovém případě má pole stejnou energii jako kdyby tam ČeD vůbec nebyla. Druhý speciální případ je, kdy se náboj dotýká malé ČeD. To vypadá jako dva bodové náboje poloviční velikosti - čili energie je opět stejná jako pro volný náboj. Obecně energie stejná není, ale tyto dva případy dostatečně přiblíženého náboje stačí k tomu, abychom mohli usoudit, že energie přiblíženého náboje je konečná a tedy může projít skrz.

Hraní s červími děrami

2009-06-14T19:23:00.013+02:00

Nedávno mi Mikuláš položil otázku, zda bych uměl vymyslet nějaké věrohodné sci-fi-povídání - základ pro možnost kosmických letů tak, aby zněl fyzikálně co nejvěrohodněji. (Pro účely případného RPG.) Z hlediska sci-fi je potřeba mít možnost rychle cestovat mezi hvězdami, což se ale samozřejmě bije s požadavkem, aby nejvyšší dovolená rychlost byla rychlost světla. Po poměrně vydatné inspiraci Eganovou Diasporou jsem celou myšlenku postavil na červích děrách - topologických zkratkách časoprostorem. Nakonec se z toho vyklubala překvapivě plodná debata.

Problém s červími děrami (neřešili jsme mechanismus jejich vzniku - předpoklad byl, že ústí červích děr jsou třídy topologicky sjednocených bodů Minkowkého časoprostoru na světočarách jejich ústí, tj. vnitřní délka červí díry je nulová a ČeD je implicitně stabilní) je, že umožňují vznik časových paradoxů. Pokud se stane, že jedno ústí je v minulosti druhého, lze ČeD procházet do minulosti. (Když mezi ústími existuje uzavřená časupodobná trajektorie.) To bychom sice mohli vyřešit podobným modelem cestování časem, jako byl prezentován např. ve Dvanácti opicích, tj. časoprostor je zadán tak, že chování cestovatele v čase je předurčeno takovým způsobem, že nikdy nemůže způsobit časový paradox - pokud se o to pokusí, je z toho vymanipulován sérií nepravděpodobných událostí, které se najednou semelou. Takové řešení však není moc praktické, pokud chceme hrát RPG, kde postavy mají svobodnou vůli, takže jsme přemýšleli dál.

Další možností bylo, že napříč celým prostoročasem se táhne prostorupodobná nadplocha, která definuje privilegovanou vztažnou soustavu. Červí díry by potom vždycky vedly z jedné do druhé tak, že vejdu jedním koncem a na druhé straně vystoupím tam, kde se světočára druhého ústí protíná se stejnou nadplochou - současně v privilegované soustavě. Takové řešení je jistě funkční, ale bourá princip ekvivalence vztažných soustav, takže jsme se s ním rovněž nespokojili na dlouho.

Pokud nemá být žádná soustava privilegovaná a určovat globální „teď“, musí existovat jiný mechanismus, který časovým paradoxům zabrání. Takový mechanismus nabízí zpětná vazba a teorie pole. Jakmile jsou ústí od sebe vzdálená světlupodobně, mohou mezi ústími procházet fotony v nulovém čase. To jednak způsobí silnou zpětnou vazbu - zesílení šumu ve směru mezi ústími, a rovněž, protože jsou ústí „libovolně blízká“, můžeme předpokládat, že jakmile se k sobě ústí přiblíží tak, že by mohly vytvořit stroj času, buďto se objeví libovolně velká odpudivá síla, která jim znemožní se do oblasti dostat („soukromý horizont“), nebo se ústí vlivem silné interakce rozpadnou a jejich energie se uvolní podél jejich spojnice. V prvním případě přitom není potřeba předpokládat, že síla může být libovolně velká - pokud mají červí díry nějakou stabilizační energii, nad kterou se již rozpadají, pak pokud proti odpudivé síle budeme tlačit dostatečně, způsobíme rozpat ČeD. Později jsem se snažil najít, zda někdo nespočítal, jestli síla vyvolaná průchodem virtuálních částic zkratkou mezi ústími bude přitažlivá či odpudivá (odpověď se zjevně dá získat jen z topologie, není potřeba specifikovat interakční vrchol pro ČeD), leč bez úspěchu.

Pokud červí díru vytvoříme lokálně, nemusíme vůbec řešit „nepovolené otevření“ - každé lokální otevření je povolené.

ČeD vzdálena prostorupodobně, zjevně není strojem času, světelné signály prochází stále do budoucnosti.

ČeD vzdálená světlupodobně - signály mezi ústími prochází v nulovém čase, signál efektem zpětné vazby zesiluje kosmické pozadí, navíc prolétající virtuální částice nejspíš vyvolávají pole libovolné intenzity.

Máme-li vyřešenu možnost vzniku strojů času, je stále potřeba rozmyslet některé přirozené otázky, které by existence ČeD našeho typu vyvolávala. Co například zákony zachování? Je například vidět, že moment hybnosti (a tím pádem ani poloha těžiště), se zachovávat nemusí. To by samo o sobě vadit nemuselo. Zachování energie by mělo jít zaručit, není žádný důvod, proč nemohlo být splněno. Zachování hybnosti by bylo zachováno, pokud by byly ústí ČeD buďto byla dvojrozměrná a natočena vždy stejně, nebo byla trojrozměrná a směr průchodu by se zachoval. (V obecné relativitě by vše bylo složitější, ale záměrně jsme zkoumali jenom Minkowského model.)

Pokud skrz ČeD působí nějaké pole, pak za předpokladu rovného prostoru jednoduše bude působit po všech spojnicích - jak vnějškem, tak ústími ČeD. To nás přivedlo až k otázce, co se stane s ČeD vhozenou do černé díry. (To je mj. často nadnášená otázka i v odborných článcích.) Usoudili jsme, že jestliže pole působí i skrz ústí, pak jakmile jedno ústí propadne horizontem, horizont „vyteče“ ústím na druhé straně a černá díra se rozdělí na dvě menší. Nejprve jsme měli obavy, že (z požadavku vyrovnání teploty) vzniknou dvě ČD stejné hmotnosti, což by např. značně rozhodilo dynamiku galaxie při případném pádu ČeD do ČD v jejím jádru. Situaci ale překvapivě zachraňuje termodynamika černých děr, která požaduje, aby plocha horizontů událostí rostla (protože nese značnou entropii) - ČD obalivší nevpadlé ústí tedy bude jenom tak velká, jak velké je zvýšení entropie, které pád ústí do ČD může způsobit - to znamená, že hmotnost výsledné sekundární ČD by měla být škálově srovnatelná s hmotností ČeD. Informaci tedy z ČD dolovat stále nejde.

ČeD s postupně vzdalujícím se ústím - dilatací času vzniká časový posun mezi ústími (spojené jsou vždy k-té tečky navzájem), červená křivka vyznačuje mez, za kterou se vzdálené ústí nesmí vrátit - tato oblast se dá stáhnout k nule, pokud ústí oddalujeme pomalu a nevzniká časový rozdíl.

Pokud řešíme interakci několika červích děr, je situace stejná - opět zkoumáme možnost vzniku světlupodobných uzavřených trajektorií mezi ústími - a to, kdy se objeví, stanovuje oblasti, do kterých navzájem ČeD nesmí vstoupit. Zajímavé je snad jen provlečení jedné ČeD druhou - pak se časové rozdíly jejich ústí zdědí od červí díry, kterou jsme prošli - opět se stačí dívat na to, jak odtikává vlastní čas prošlé ČeD.

Zbytečné počty?

2009-04-26T20:14:00.005+02:00

Vždycky jsem k fyzice přistupoval trochu po svém - jakmile jsem se naučil nějakou novou teorii, hned jsem se ptal, co by se stalo, kdyby nebyl splněný tenhle předpoklad, nebo kdybychom tohle chtěli formulovat obecněji. Typické příklady jsou - jak by vypadal atom vodíku v n-rozměrném prostoru? Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Apod. Vždy mi to přišlo hodně zajímavé. Jakmile se ale někdo zeptá, k čemu to je, musím říct, že k ničemu. Kdo by zaměstnal architekta, aby mu navrhnul čtyřrozměrný dům?

Když jsem si ale pár věcí dával dohromady, uvědomil jsem si, že skoro s každým podobným zobecněním jsem se naučil něco důležitého. Nedá mi to a musím se s nejzajímavějšími „absurdními“ výpočty, které jsem prováděl. (Popravdě se divím, že jsem o nich zatím ještě nepsal.)

Jak vypadá n-rozměrný vodík?

Tohle byla možná nejpoučnější vynaložená práce, k jejíž některým důležitým výsledkům mě kdysi navedl Luboš Motl. Lehčí část je najít rovnici pro radiální část vlnové funkce. Dojde se k zajímavému výsledku - zatímco ve 3-D je energie vodíku kvantovaná, ve čtyřrozměrném prostoru není a ve více rozměrech je elektron spadený v jádře. Nejprve mi tento výsledek přišel hodně překvapující, pak mi ale došlo, proč to tak musí být - když si spočítáte energii planety obíhající ve 4-D, zjistíte, že je volná. Pokud jenom změníte směr rychlosti, uletí - úniková energie je stejná jako kinetická energie oběhu. Proč elektron ve více rozměrech padá na jádro je ale ještě více překvapivé - jednoduše proto, že elektron v základním stavu drží princip neurčitosti. Pokud byste jej chtěli smáčknout více, bude lokalizovanější v poloze, a musí proto být méně lokalizovaný v hybnosti. Energie příslušná této hybnosti roste jako p², takže jako 1/r². Tento člen v jisté vzdálenosti od jádra převáží Coulombický člen -1/r a nastane rovnováha. Ve více rozměrech bude vypadat Coulombický potenciál jako -1/r^(n-2), takže ve 4-D bude elektron vždy volný a ve více-D bude muset spadnout na jádro, protože potenciál je už moc strmý. Zajímavý závěr: Za chemickou vazbu i stabilitu atomů může vlastně princip neurčitosti!

Dálnice - Newton

Kolik pólů má n-rozměrná rotující planeta? Ne, vážně jste čekali, že tohle bylo k něčemu dobré, kromě poznatku, že lineární algebra je užitečná?

Co dělá Lorentzovu grupu tak speciální, že je vůči ní fyzika invariatní? Dá se vymyslet jiná grupa, ze které by plynula jiná relativita? Dá se nad takovou grupou postavit obecná relativita? Tohle jsou rovněž „zbytečné“ otázky, a přesto odpověď na ně dává nečekané vhledy. Poincarého grupa je totiž skutečně speciální jenom tím, že jsou vůči ní fyzikální zákony invariantní. Kdybychom si vymysleli jinou grupu a formulovali vůči ní invariantní zákony? Samozřejmě to jde. Třeba ve světě, který je kromě rotací, translací a boostů invariantní ještě vůči boostům kolem nějakého vektoru úhlové rychlosti, by byly vztažné soustavy rotující vůči sobě konstantní úhlovou rychlostí úplně stejné. Kromě zákonů zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti a spinu, (u kterého mi doteď není úplně jasné, jestli je to skutečně jen moment hybnosti, když vzniká díky jiné symetrii, byť se chová stejně), bychom zde měli tři nové zachovávající se veličiny.) Zajímavý závěr: Zatím nevím, jak by se nad obecnou grupou budovala obecná relativita, ale pokud na to přijdu, pak mi to určitě pomůže lépe pochopit, jestli je její geometrická interpretace něčím zvláštním, nebo jestli je to něco, co se dá udělat pro každou z možných speciálních relativit - například Newtonova teorie se dá zapsat geometricky, ale ne pomocí metriky, jen pomocí afinních konexí.

Vyvolávají nutně červí díry paradoxy? Tahle úvaha mě napadla, když jsme s Mikulášem diskutovali, zda bych byl schopný vytvořit alespoň rámcově udržitelnou omáčku pro nějaké sci-fi, kde je samozřejmě cestování ke hvězdám samozřejmostí. Kdo zná trochu STR, snadno uvidí, co je za problém s cestováním nadsvětelnou rychlostí - vždy se najde pozorovatel, který uvidí takového cestovatele cestovat do minulosti. Takže je porušena kauzalita, což by nešlo. U červích děr (ala Stargate) k tomu zdánlivě nedochází, ale problém nastane, kdy se má určit, které body světočáry jedné červí díry vás přenesou do kterých bodů druhé červí díry, tedy jaké je společné „teď“. Pokud pak máte více červích děr na jednom místě, pak obecně vedou do různých teď (protože s jednou z nich jsem mohl pohybovat a tím její rychlost plynutí času měnit.) Takže i červí díry mají problém. Pak jsem si ale uvědomil, že problém se dá obejít i tak, že se budeme tvářit, že v časoprostoru je definovaná prostorupodobná nadplocha, která určuje globální teď. (A zejména, pokud by ji byly schopné rozeznat třeba jen některé druhy částic, bychom se mohli tvářit, že by se dala klidně později objevit a dnes se o ní jednoduše neví.) Taková nadplocha by umožnila se vyhnout paradoxům s časem (warpový nebo červoděrový cestovatel může vždycky jít nejlépe rovnoběžně s nadplochou, takže nikdy nesměřuje do minulosti). Tím neutrpí princip konstantní rychlosti světla, ale půjdou pak postavit přístroje, které poznají vyjímečnou vztažnou soustavu, pro kterou je naše nadplocha současností. Pak samozřejmě nejsou všechny vztažné soustavy rovnocenné. Zajímavý závěr: člověk si alespoň lépe uvědomí, na jakých axiomech STR stojí a že není potřeba rovnou bourat princip konstantní rychlosti světla, když už potřebujeme funkční sci-fi svět.

Dálnice - STR, obzor se křiví, barví Dopplerovým jevem a mění se intenzita.

Dalších podobných úvah mám hodně, ale nemám je všechny zdaleka tak rozmyšlené, abych u nich mohl zajímavosti vypíchnout - jen namátkou - Jak by vypadala kvantová teorie, která dává pohybovou rovnici obsahující i vyšší řády v čase? (A zrychlení a další veličiny, jsou stavové.) Jaké zajímavé důsledky dává kalibrační teorie, kde za kalibračně invariantní pole nebereme Diracovo pole s poločíselným spinem, ale pole se spinem vyšším? Jaké zajímavé termodynamické důsledky se objeví, pokud do hry zahrneme stroj času? (Co se stane s entropií, když jednou z podmínek je, že světočáry se musí navázat?) Atd. atp. Na první pohled jsou to úvahy zbytečné, ale člověk nikdy neví ..

Výběrová pravidla

2008-11-19T10:45:00.011+01:00

Výběrová pravidla v molekulové spektroskopii mi vrtala hlavou už dlouhou dobu. Poměrně dlouho jsem o nich diskutoval s Luckou a v poslední době s Maruškou a snažil jsem se je vysvětlit fundamentálními argumenty, kterým bych rozuměl. Ale až nedávno se mi podařilo celou skládanku složit. (Jako fyzik nespecialista jsem nikdy neměl přednášku, která by se tématu týkala a chemikům zase celou věc podají s tak malým množstvím matematiky, že jsem nebyl dlouho schopný chybějící články najít.) Jak to tedy je?

Počítáme v klasické kvantové mechanice, záření tedy nepopisujeme jako proud fotonů, ale zkrátka jako rovinnou vlnu (vlnová délka je mnohem delší než rozměry molekuly) a vše v prvním řádu teorie poruch (takže intenzita elektrického pole záření musí být dostatečně malá). A jaká vlastně výběrová pravidla jsou? Ta nejobecnější (nezávislá na symetriích molekuly, kromě symetrie osové, kterou předpokládáme kdykoliv, když vůbec hovoříme o orbitálním impulsmomentu (=momentu hybnosti) dílčích elektronů) tvrdí, že přechody, při kterých se mění multiplicita (2S+1, kdy S je velikost součtu spinů elektronů v molekule) a přechody, kde se celkový orbitální impulsmoment mění víc jak o jedničku, jsou zakázány. Proč?

Odpověď má několik úrovní složitosti, na kterou můžeme jít. Nejjednodušší je říci, že na zářivých přechodech se nejvíce podílí interakce elektrického dipólu molekuly (suma -e r_i). Operátor elektrického dipólu zjevně na spiny elektronů vůbec nepůsobí, takže multiplicita je jasná. Potom lze říci, že foton má spin 1, takže může předat nejvíce jedničkový impulsmoment, a protože nepůsobí na spiny, tak jedině orbitálnímu momentu elektronu (kterému ho předat musí, takže delta l není nula, po přičtení k ostatním orbitálním momentům ale celkové delta L být nulové může.) Prostorový moment hybnosti fotonu se zase neprojeví, protože je foton moc velký a působí příliš homogenně, než aby mohl do elektronu „šťouchnout“ ze strany (čímž by mu předal libovolně velký moment hybnosti nepocházející z jeho spinu) - toto je možné až v kvadrupólovém a vyšším multipólovém modelu, které se ale uplatní až pro fotony s kratší vlnovou délkou.

Proč jenom te té červené čáře zprava tak dlouho trvá?

Teď bychom to mohli zabalit a s takovou odpovědí se spokojit. Ale jak to tak bývá, pravda je složitější (a hezčí). Předně: co nám říká, že foton má spin zrovna jedna? Použili jsme tu jakousi, sice pravdivou, ale do argumentace ad hoc vloženou skutečnost .. jak se spin fotonu odráží ve struktuře operátorů interakce s elektromagnetickým polem? Odpověď je schovaná ve skládání impulsmomentů: procesu, při kterém přejdeme z báze stavů, kdy známe velikosti a z-ové složky spinů a orbitálních impulsmomentů do báze, kdy známe velikost a z-ovou složku celkového spinu a orbitálního momentu všech elektronů v molekule. Dá se totiž ukázat (zájemce odkazuji na příslušnou kapitolu Formánkovy knihy), že operátory odpovídající vektorům (jako operátor elektrického nebo magnetického dipólu), komutují s operátory impulsmomentů takovým způsobem, že jeho vlastní stavy vždy mění nejvíce o jedničku. (Tenzorové operátory o dvojku, ... ) Informace o tom, že foton má spin 1 je tedy schovaná už v operátoru elektrického a magnetického dipólu! (Tady můžete tušit hlubokou souvislost mezi elektromagnetickým polem a fotony, které ho utváří - kdyby měl například foton spin dva, nemohl by působit změnu elektrického dipólu a ten by se proto zachovával - podobné souvislosti nám třeba říkají, že graviton musí mít spin 2, i kdybychom o něm jinak nic nevěděli, ale to odbíhám.) Když se navíc podíváme na operátor elektrického dipólu, zjistíme, že je lichý. Změna souřadnic na opačné mění jeho znaménko. Jelikož je rychlost změny v poruchové teorii úměrná integrálu přes Ψ^* Â Ψ, vidíme, že dipólová interakce musí měnit paritu prostorové části vlnové funkce, což je další z výběrových pravidel! (Kdyby ne, pro každý bod daného integrálu se podíváme do protějšího bodu a zjistíme, že má integrand opačné znaménko, naintegrujeme tedy nulu..)

To nejzajímavější ale teprve přichází - ono totiž není úplně pravda, že by se spin elektronu (rozumějmě jeho z-ová složka) nemohl změnit - vždyť foton má i magnetickou složku (byť velmi slabou, takřka zanedbatelnou), takže interakcí s vlastním magnetickým momentem elektronu může k překlopení dojít.. pravidlo o tom, že se multiplicita nemění je ale přesto pořád platné, jak je to možné?! K překlopení dochází vlivem magnetického dipólu molekuly - to je sudý vektorový operátor. Mění tedy velikost impulsmomentu o jedna (viz Formánek...), ale přitom nemění paritu prostorové části! Protože je ale tato parita dána jako (-1)^l, nemůže tato interakce zvednout orbitální impulsmoment (to by změnila paritu, musí tedy překlopit spin - právě jednoho elektronu). Jaktože se tedy nezmění multiplicita?

To, že prostor je symetrický vůči rotaci má hluboké důsledky. Bez toho by se nezachovával moment hybnosti a všechno kolem spinů by vypadalo úplně jinak..

Připomeňme, že multiplicita je funkcí celkového spinu molekuly, takže operujeme v bázi s ostrou hodnotou velikosti a z-ové složky celkového spinu |S,S_z,L,L_z>. Co v ní znamená, že se překlopí spin jednoho elektronu? To zjistíme přechodem do báze s ostrými hodnotami impulsmomentů jednotlivých elektronů, rozepíšeme |S,S_z,L,L_z> jako sumu příslušných stavů v dané bázi násobených Clebsch-Gordanovými koeficienty. (Ty nám říkají, jak přecházet mezi jednotlivými ireducibilními reprezentacemi SO(3) grupy). (Rozpis do této báze si bohužel musíte jenom představovat, protože Google ještě nezačlenil do Bloggeru TeX.) Pak se podíváme na relaci ortogonality

<S',S'_z,L',L'_z|S,S_z,L,L_z>=δ_SS' δ_SzSz' δ_LzLz' δ_LL' .

Každý z bra/ketů vlevo je součtem mnoha bra/ketů s ostrou hodnotou spinů a orbitálních momentů jednotlivých elektronů násobených C-G koeficienty. Tyto relace nám také říkají, že pokud se žádné ze spinů nepřeklopí, musí být S = S', aby byl výsledek nenulový. Co se ale stane, když se překlopí právě jeden elektron? Zjevně vůbec nic! Jen bázové vektory u nichž měl spin nahoru se vymění s těmi, kde měl spin dolů, protože ale přes tyto vektory sčítáme, stejně prosčítáme přes všechny - překlopení spinu u jednoho elektronu je ekvivalentní s přejmenováním jednoho ze sčítacích indexů a proto se pravidlo o zachování multiplicity neporuší...

Nejtěžší na konec - je potřeba si uvědomit, že tato krásná konzistentní argumentace se zakládá na mnoha aproximacích, které nejsou vždy splněny a proto je potřeba i vědět, proč všechno nefunguje úplně spolehlivě a trochu si teorii pobořit Tato pravidla se mohou narušovat třeba tím, že do hry vstoupí vyšší multipóly (ať už elektrické nebo magnetické). Tyto příspěvky jsou však slabé. Největší rozdíl udělá porušení LS-vazby, tedy fakt, že pokud se elektrony pohybují dostatečně rychle, klasická teorie nestačí a je potřeba použít relativistické opravy. V relativitě ovšem nekomutují spiny s orbitálními momenty. Proto obecně neexistují bázové funkce |S,S_z,L,L_z> a nemá smysl rozlišovat multiplicitu a orbitální momenty. Pak se multiplicita mění jednoduše proto, že se ani o počátečním ani koncovém stavu nedá říci, jakou že to multiplicitu přesně měl.

(Užitečné zdroje zde, zde a zde ...)

Greg Egan

2008-07-30T08:32:00.011+02:00

Netajím se s tím, že mám rád sci-fi a fantasy. Čím je příběh exotičtější a čím víc nutí člověka přemýšlet, tím spíš se mi zalíbí. Odpůrci žánru často tvrdí, že zde je mnoho braků, které nestojí ani za otevření. To je pravda - čím víc knih jsem přečetl, tím jsem vybíravější (a zároveň o výběr přicházím, protože dobrých autorů skutečně není moc). Jedním z mistrů sci-fi je i australský spisovatel Greg Egan, kterého doslova chválím kudy chodím. Podívejme se na něj blíže.

Sci-fi je žánr, který dobře definoval jeden z jeho hlavních představitelů, Arthur C. Clarke: „Cokoliv, co by se v budoucnu mohlo stát sem patří, zbytek je fantasy.“ Sám se tohoto hesla držel - ve svých knihách se poměrně důsledně (i když taky ne docela) opíral o fyziku - popisoval lety k planetám, ke hvězdám a vůbec rozvoj lidstva. To je taky to, co si lidé většinou pod sci-fi představí. Lety do vesmíru a popis příběhů kosmonautů. Zdaleka ne každý autor se ale držel čistého sci-fi stylu, třeba ve slavné Duně mají hlavní hrdinové věštecké a telepatické schopnosti, zato příběh je tak silný, že takové mouchy vyrovná, Star Trek se zase nevyhnul warpovému pohonu a transportérům, které jsou snad ještě více technicky problematické a např. Star Wars má zase řád Jedi a Sílu. Všechny tyto mají zajímavý příběh a svět, ve kterém se odehrávají, ale o tom, že by se něco takového stalo následníkům lidí nemůže být řeč.

Naproti tomu Egan se drží (sub)žánru hard sci-fi - důkladně technicky popisuje, co a jak se v jeho světě děje. Nebojí se témat, kterým se ostatní vyhýbají, protože se zdánlivě hodně těžko vysvětlují a jsou nezvyklé a těžko uchopitelné. Většina jeho knih nastoluje spoustu provokativních otázek (kde jedna z nich např. vyprovokovala naši diskusi s Mikulášem o několik příspěvků níž). A k tomu všemu je potřeba ještě zmínit slovo transhumanismus (tedy zamýšlení nad tím, čím by se lidé pomocí techniky mohli časem stát) - to je to, o čem Egan píše především.

Jednou z hlavních linií jeho příběhů tvoří knihy Město permutací, Diaspora, Schild's ladder a Incandescence. Nejsou sice tak úplně ze stejného světa, ale všechny rozebírají stejnou představu budoucnosti lidstva, jen v různých etapách. Město permutací popisuje dobu, kdy počítače budou natolik výkonné, že si bohatí lidé mohou dovolit nechat pravidelně dělat sken svého těla. Jakmile zemřou, nechají se pustit na nejmodernějším hardwaru - ne jako nějací roboti, ale jako kopie - lidé, kteří žijí ve virtuální krajině, podobně jako postavy v nějaké počítačové hře. S tím je samozřejmě spojena spousta etických otázek. Měly by takové kopie mít lidská práva? A co na to veřejnost, když nejbohatší vrstva lidí přejde do počítačů a zajistí si (téměř) nesmrtelnost - a přitom efektivně budou vlastnit většinu prostředků? Nejdůležitější otázka se ale týká podstaty lidského vědomí - jak počítačový program vnímá sám sebe, jaké otázky bychom si museli položit, kdybychom se třeba mohli zkopírovat a spustit dvakrát, atd. (A vůbec, přečtete si knihu, nebudu kazit překvapení, protože vážně stojí za to.)

Naproti tomu Diaspora se odehrává podstatně dál v budoucnosti. Hlavní hrdinové už jsou jenom počítačové programy, které obývají virtuální krajinu, kterou si přizpůsobují dle svých potřeb. Fyzicky se přitom nacházejí v Polis, výpočetním uzlu zakopaném na nespecifikovaném místě pod zemí. Takové prostředí se může zdát natolik cizí, že musí být těžké o něm cokoliv psát, natož aby se v něm odehrával napínavý příběh. Egan to však zvládá výborně. Pokud např. hlavní hrdinové chtějí nějak vnímat skutečný svět, použijí některou z mnoha kamer, byť by třeba byla na oběžné dráze Jupitera - mohou se tam „podívat přímo“. Zajímavá je i výprava k původním lidem (na níž stráví hlavní hrdinové pouhý jeden den, který jim ale vzhledem k tomu, jak rychle počítač normálně běží, přijde skoro jako rok) - jednoduše přehrají sami sebe do robota, který je zanese kamkoliv bude potřeba. Další zajímavý problém byl např. jak má člověk, který žije tisíce subjektivních let ukládat svou paměť - nemůže si pamatovat vše najednou, ale taky by bylo hloupé vše zapomínat, takže část paměti mají jen pasivně „na vyžádání“. Nejlepší momenty samozřejmě neprozradím. O této knize bych řekl, že to bylo nejlepší sci-fi, jaké jsem kdy četl.

Schild's ladder naopak sleduje ty „lidi“ v daleké budoucnosti, kteří se rozhodli, že zůstanou ve fyzických tělech. Všichni mají v hlavě počítač, který nahrazuje mozek (to je ostatně společný rys mnoha Eganových knih - organický mozek nikdy nositeli nezaručí dlouhý život, proto je nutné vymyslet flexibilnější náhradu - tato varianta se sama nabízí), těla přitom střídají podobně jako oblečení. Tady se poprvé zabývá cestováním - pokud chce člověk cestovat, jednoduše se na druhou planetu pošle jako světelný signál (příslušně kvantově zašifrovaný), na druhé straně mu jednoduše dají nový procesor a tělo .. má to ale háček. Protože nejde cestovat rychleji než světlo, pokud se vydáte 300 světelných let daleko, vrátíte se nejdřív za 600 let. To ale znamená, že se vám všichni, koho jste znali, velice odcizí. Proto se cestování bere jako trochu zvláštní forma zábavy, ke které se neodhodlají zdaleka všichni. Dokonce je popisována planeta, jejíž obyvatelé se rozhodli mnohokrát zpomalit své myšlenkové pochody, aby mohli na případné cestovatele solidárně počkat. (Jako i předtím, tady též nechávám stranou děj knihy - jenom pro kamarády fyziky prozradím, že lidstvo při jednom experimentu vytvoří vakuum, které je stabilnější a energeticky výhodnější než to naše .. naštěstí není lorentz-invariantní a šíří se jenom půlkou rychlosti světla... ehm .. když jsme u toho, taky se tak těšíte, až nám spustí urychlovač? (Jenom vás straším...)) Co se této série knih týká, tak mi Greg Egan přijde jako novodobý Jules Verne, zkrátka píše budoucí historii, jen si na její realizaci budeme muset pár (set) tisíc let počkat.

Trochu stranou je kniha Teranesia, která si pohrává s evolucí - co kdyby se najednou začala chovat jinak, než čekáme? (S příslušně dechberoucím, rozhodně nijak spirituálním, závěrem.) Např. Úzkost zase vezme doslova myšlenku antropocentrismu. Vesmír je tu jenom proto, že nad ním někdo přemýšlí .. z takových předpokladů se dá vyvodit kde co. Tady mi ale trochu vadila Eganova příliš horlivá propagace teorie všeho a krajního materialismu, celkově je ale kniha relativně dobrá. Naposled zmíním Karanténu, která mi přišla oproti zbytku hodně slabá, protože Egan píše o kvantové mechanice, kterou ale pořádně nepochopil, takže co popisuje je čiré fantazírování. (Což sám na jedné Usenetové diskusi říká.) Rozhodně ale všem doporučuji krátkou sbírku povídek - Axiomat. (A začněte rovnou od druhé povídky, abyste neřekli, že jsem blázen, že něco tak překombinovaného čtu. )

Psal bych ještě dál, jsem zkrátka nadšený, protože jsem v USA dokoupil i knihy, které u nás nevyšly, ale myslím, že na krátký článek to stačí...

Anketa

2008-06-20T16:50:00.006+02:00

Večer před zkouškou z pole jsem se trochu odreagovával - zredukoval jsem celou úvahu z příspěvku Trocha blábolologie na úvodní motto a posílal jsem jsem lidem po icq anketu o tomto znění:

Kdyby existoval mechanismus, který v určitém věku nahradí Tvůj biologický mozek počítačem, který obsahuje (dostatečně podrobnou) softwarovou simulaci Tvého mozku a zaručil by Ti tak možnost žít stokrát delší dobu, než je možné pro biologický mozek, podstoupil bys tento zákrok, nebo by ses bál, že při něm zemřeš a místo Tebe nastoupí někdo jiný?

K tomu jsem vysvětloval, že simulace běží na úrovni neuronů, ale už ne na úrovni atomů a že je to, dejme tomu, dobře zavedená společenská praxe - nikdo z Tvých známých si na ni nestěžoval, všichni byli po zákroku úplně stejní jako dříve. (Alespoň se tak chovali, a to i v drobných aspektech - rozdíl nepoznají ani lidé, kteří jsou si opravdu blízcí.) Další podmínka byla, že zákrok je potřeba podstoupit v nějakém konkrétním věku, třeba v padesáti letech. Rozhodně ne až poté, co se např. dozví, že umírá. Nešlo mi o to, jestli by člověk chtěl žít tak dlouho, ale o to, jestli by se bál, že při tomto procesu "on zůstane sebou samým".

Výsledek je skutečně překvapující - anketa je mimořádně vyrovnaná.

Stav: 20:18 ve prospěch ano

Ke stavu nepřičítám hlasy v komentářích na našem třídním blogu - emaracaně a případné komentáře tohoto příspěvku.

Zajímavé je, že není příliš rozdíl v odpovědích kluků a holek. Naopak korelaci věřící/nevěřící bych rozhodně čekal. Tuhle statistiku jsem ale nedělal. Když už nic, tak jsem si při rozesílání ankety dobře zadiskutoval, protože důvody lidí pro volbu ano/ne jsou skutečně hodně různé, takže se na to člověk podívá z více perspektiv.
A co byste odpověděli vy?

Inspirace zkouškovým

2008-06-07T16:29:00.006+02:00

Tak tu máme opět zkouškové a s ním spojené období inspirace a aktivity (povětšinou shrnutelné jako vyhánění matematiky, co by se člověk učit měl, matematikou jinou). (Než se pustím k ostatnímu tak si rovnou postěžuji, že nám zápočty začali až docela pozdě ve zkouškovém, takže vzhledem k odletu do U.S. stihnu jen dvě zkoušky a ještě budu rád, takže mám jediné štěstí, že už všechno potřebné mám. I když mne pořád štvou ušlé znalosti..)

Ale zpět k inspiracím: nedávno jsem objevil velice rozsáhlé diskusní fóra, e-mailové konference USENET, které jsou momentálně pod správou Googlu jako Google Groups. Výhodou je, že diskusní skupiny mají hodně členů, čímžto pádem se zde najdou i skuteční odborníci na daná témata, což je přesně to, co zvídavý fyzik potřebuje. Ihned jsem se zařadil do skupiny o relativitě, částicové fyzice a vědě ve scifi. Rozebírali jsme několik témat a hned se ukázalo, že tím, že je čtenářů skupiny hodně, jsou odpovědi dosti kvalitní (i když ne zase až tak rychlé ).

Krychličkové vesmíry
Jedno ze zapomenutých témat, které jsem rozebíral kdysi dávno: Představme si vesmír, který je tvořen krychlí, jejíž protější stěny jsou topologicky ztotožněné. (Jde vlastně o povrch 3-toru.) Toto téma jsem kdysi nadhodil v M&M a pak jsme jej řešili s Mikulášem. Zajímavým důsledkem uzavřenosti vesmíru je např., že aby se daly splnit Maxwellovy rovnice, musí být celkový náboj ve vesmíru nulový. (Vidět je to na příkladě samostatného náboje .. ve všech směrech od něj by musel potenciál růst .. protože je ale vesmír konečný, nemůže růst neustále - bod jeho obratu bude právě opačný náboj.) Tento postřeh jsem nadhodil jako připomínku k tématu o tom, co by se stalo, kdyby byl celý vesmír mírně nabitý .. podle mého by v důsledku musel být nekonečný. Na to ovšem kdosi okamžitě oponoval, že v uzavřeném vesmíru nemůžu mít žádnou hmotu .. alespoň ne podle Newtonova zákona - je to logické - argument je stejný, jako v případě nábojů, jen chybí "záporná hmota".

Je to jednoduchý postřeh, který jsem si ale kdysi neuvědomil a počítal jsem gravitační působení v krychličkovém vesmíru jako součet řady. (Vyskládáme krychlemi celý prostor tak, že se budou přes každou stěnu opakovat. Každý zdroj gravitačního pole pak započteme nekonečněkrát.) Tehdy jsem si všiml, že nemůžeme sčítat gravitační potenciály, protože součet diverguje .. teď mi došlo, že skutečně musí divergovat i součet sil. (Jinak by byly porušeny integrální věty.) Jako důsledek jsem začal přemýšlet nad otázkou, co s tím udělá obecná relativita (a nadhodil to relativistům do fóra). Jak zkrátka vypadá Schwarzschildovo řešení na konečné varietě? Tuším zradu v tom, že rozložení hmoty a topologii vesmíru nemůžeme volit náhodně, protože jedno ovlivňuje druhé, stejně jsem ale zvědavý, jaké odpovědi se mi dostane.

Dostalo se mi odkazu na tento článek - černá díra se v malých vzdálenostech moc neliší od normální černé díry v plochém vesmíru, na středních vzdálenostech je skoro newtonovská a na velkých vzdálenostech metrika přechází na kosmologické řešení .. tohle by člověk přesně čekal .. skoro jsem teď na vážkách, jestli pro ty náboje vůbec můžu vycházet z Maxwellových rovnic...

Neutrinová chemie
Tohle skvělé téma nadhodil kdosi ve skupině o vědě ve scifi. Otázka je, jak bude vypadat vesmír, ve kterém budou bosony zprostředkující slabou interakci (zodpovědnou třeba za beta-rozpad) podstatně lehčí. (Ale ne zas tolik, aby byl elektron nestabilní a rozpadal se na ně.) Zajímavým důsledkem je, že neutrina budou daleko reaktivnější, než jsou v našem vesmíru - mohly by se dokonce vázat k jádrům, sami k sobě nebo k elektronům. Nebyl jsem sice se svými znalostmi z teorie pole určit, která z těchto interakcí bude přitažlivá a která odpudivá, dobře mířenou otázkou do fóra jsem však zjistil, jak by potenciál buzený Z/W-bosonem vypadal. Vznikne jako fourierova transformace propagátoru dané částice a neutrino by se tedy nacházelo v Yukawově potenciálu. To mě motivuje zkusit si vyřešit vázané stavy Diracovy rovnice pro Yukawův potenciál. (Neutrino bude díky své malé hmotnosti silně relativistické, takže Schrödingerova rovnice nestačí.) Každopádně (nejen) díky tomuhle tématu se mi začíná teorie pole skutečně líbit.

Yukawův a Coulombův potenciál .. jste-li dost blízko, oba se chovají stejně, jakmile se ale vzdalujete, příspěvek hmotných bosonů rychle klesá, jak „vypůjčená“ energie pro tvorbu těchto virtuálních částic začíná být příliš velká, aby se „schovala pod princip neurčitosti“.

Doufám, že motivační nápady ještě přibudou, pokud ano, tak je sem určitě doplním..

Nové, lepší ELO?

2007-11-07T10:16:00.000+01:00

Systém hodnocení ELO stejnojmenného Američana maďarského původu, prof. Arpáda Ela (mj. fyzika), je dnes asi nejlepší a nejpoužívanější systém hodnocení výkonů hráčů her pro dva hráče. Používá se především pro šachy a GO.

Důvod, proč je tak dobrý, je, že se nesnaží hráče odměňovat za jejich výhry. (Jako je tomu třeba v tenise - čerpám z Wiki - kde je např. fixně určeno, že za Wimbledon, jako cenný turnaj, získává hráč pětkrát víc bodů než za běžný jiný turnaj - toto číslo není ničím podložené a tudíž neměří sílu hráče objektivně.) Namísto toho se snaží o skutečné statistické vyhodnocení: když hráč A vyhrává nad hráčem B na 75 %, přisoudíme hráči A elo o 200 vyšší. Pak přijde hráč C a prohrává s Bčkem v 75 % případů, takže má elo celkem 400 pod hráčem A. Celý systém je jenom porovnávací - neumí např. ani porovnávat současné hráče s těmi v minulosti, (protože elo podléhá inflaci/deflaci.)

Jaký představuje rozdíl oproti jiným systémům můžete zjistit zavítáním na server kurnik.org, který jej implementoval. Tam skutečně elo ukazuje výkonnost hráče. Naproti tomu jiné servery, které naivně implementovaly např. systém „vyhraješ-dostaneš bod“ (hry.cz), neumí říct o skutečné kvalitě hráče vlastně nic.

J.Sonas navrhuje na základě měření místo logistické křivky použít jednoduchou přímku...

Přesto ještě není vůbec jasné, jak by se měla tabulka ela konstruovat. Když se podíváme na příklad výše, jaká je ve skutečnosti pravděpodobnost, že A vyhraje nad C? Standardní elo používané v šachu říká, že 91 %, je to ale jenom hodnota spočítaná za některých předpokladů - ve skutečnosti by se měla měřit. Elo nejprve použil předpoklad, že hráči mají stejné výkyvy hry, které se řídí normálním rozdělením, podle čehož křivku odvodil (jako CDR normálního rozdělení). Později se ale ukázalo, že se (kupodivu!) výkony hráčů řídí spíše logistickým rozdělením. Navíc bylo zohledněno i to, že ne všichni hráči mají stejné výkyvy - tzv. koeficientem rozvoje. To už ale zabíhám do přílišných detailů.

Včera jsem nad tím přemýšlel a našel jsem článek člověka, který porovnával hry mnoha hráčů s různými ely ke skutečnému „změření“ křivky ela. Kupodivu zjistil, že ještě lepším fitem než je logistické rozdělení, je zkrátka přímka.. Zároveň navrhuje použít dynamické koeficienty rozvoje, které by se mohly lišit pro různě dlouhé šachové hry.

Tak se dostávám k věci, kvůli které jsem vlastně včera elo vyhledal: porovnávání „hloubky her“. Pokud totiž každému začátečníkovi dám do začátku ELO 1200 a všichni mají stejný koeficient rozvoje, (jako je tomu třeba na zmiňovaném kurniku), pak by časem rozptyl el měl udávat složitost hry. Pokud se v šachu vyskytují mezi běžnými hráči elisté v rozsahu 680-2800 (na serveru kurnik, elo je posunuté proti FIDE) a v mlýnu 1090-2500, udává to (alespoň teoreticky), že šachy jsou složitější hra, v člověče nezlob se totiž budou hrát zhruba všichni stejně a jen složitá pravidla šachů poskytnou možnost se ve hře zlepšovat.

Bohužel kurnik.org asi není dost dobrým zdrojem odkud čerpat - hráči mohou vhodným výběrem soupeřů své elo neúměrně zvyšovat, takže i u jednoduchých her budou lidé s vysokými hodnotami - a to měření pokazí. Pro přesné měření by musel hráče rozlosovat počítač. (Triviální příklad hry s nulovou hloubkou je NIM (odebírání sirek), kde každý zná výherní strategii - kdo začíná - vyhraje. Pokud by se hrála na kurniku, hráči by se prosazovali na místo začínajícího a ti „tvrdohlavější“ by měli elo přímo obrovské - při rozlosování počítačem by naopak byl rozptyl jenom statistický, protože každý s každým vyhrává v půlce případů).

Zajímavé věci jsou zkrátka všude, stačí se dívat